Opérations sur les fractions
Une pizzeria de Lyon vend ses pizzas entières. Hier, les $\dfrac{3}{8}$ des pizzas vendues étaient des margheritas et un quart étaient des reines. Quelle fraction des ventes reste-t-il pour les autres pizzas ? Pour répondre, il faut savoir additionner et soustraire des fractions. Tu vas voir comment faire, puis comment multiplier, diviser et résoudre des problèmes.
Simplifier une fraction
Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par le même nombre non nul.
Pour simplifier, on cherche un diviseur commun. Le plus efficace est le PGCD, mais on peut aussi simplifier en plusieurs étapes.
Avec la décomposition en facteurs premiers, c'est encore plus sûr : $\dfrac{42}{56}=\dfrac{2\times3\times7}{2\times2\times2\times7}=\dfrac{3}{4}$.
Simplifier au maximum : a) $\dfrac{42}{56}$ b) $\dfrac{90}{135}$ c) $\dfrac{-24}{36}$ d) $\dfrac{144}{60}$
Simplifier au maximum :
- a) $\dfrac{42}{56}$
- b) $\dfrac{90}{135}$
- c) $\dfrac{-24}{36}$
- d) $\dfrac{144}{60}$
Additionner et soustraire
Pour additionner ou soustraire, il faut des parts de même taille : on met les fractions au même dénominateur.
Pourquoi ? Trois huitièmes plus un huitième, ce sont quatre huitièmes : on compte des parts de la même taille, le dénominateur ne change pas.
Retour à la pizzeria : $\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{8}=\dfrac{5}{8}$. Il reste donc $1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}$ des ventes pour les autres pizzas.
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : a) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}$ b) $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}$ c) $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{10}{9}$…
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
- a) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}$
- b) $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}$
- c) $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{10}{9}$
- d) $\dfrac{4}{7}\div\dfrac{8}{21}$
Dans un collège de Lille, $\dfrac{3}{8}$ des élèves sont demi-pensionnaires, $\dfrac{1}{4}$ sont externes et les autres sont internes. a) Quelle fraction des élèves est…
Dans un collège de Lille, $\dfrac{3}{8}$ des élèves sont demi-pensionnaires, $\dfrac{1}{4}$ sont externes et les autres sont internes.
- a) Quelle fraction des élèves est interne ?
- b) Il y a $480$ élèves. Combien sont internes ?
Multiplier et diviser
Pourquoi ? Prendre $\dfrac{1}{2}$ de $\dfrac{1}{3}$ d'une tablette, c'est la couper en $3$ puis chaque morceau en $2$ : on obtient $6$ parts, donc $\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\times1}{2\times3}$.
Pour diviser par $\dfrac{8}{21}$, on se demande combien de fois $\dfrac{8}{21}$ « rentre » dans le nombre : c'est pourquoi on multiplie par $\dfrac{21}{8}$, l'inverse.
Prendre une fraction d'une quantité
« Prendre les $\dfrac{3}{4}$ de $60$ € » signifie multiplier : $\dfrac{3}{4}\times60=\dfrac{180}{4}=45$ €. On peut aussi calculer $60\div4=15$ puis $15\times3=45$.
Calculer : a) $\dfrac{3}{4}$ de $60$ € b) $\dfrac{2}{5}$ de $35$ kg c) $\dfrac{5}{8}$ de $2$ heures, en minutes
Calculer :
- a) $\dfrac{3}{4}$ de $60$ €
- b) $\dfrac{2}{5}$ de $35$ kg
- c) $\dfrac{5}{8}$ de $2$ heures, en minutes
Calculer et simplifier : a) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3}$ b) $\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{5}\right)\div\dfrac{7}{10}$ c)…
Calculer et simplifier :
- a) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3}$
- b) $\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{5}\right)\div\dfrac{7}{10}$
- c) $\dfrac{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{5}{8}}$
Expressions et problèmes
Priorités et fractions imbriquées
Les priorités sont celles de toujours : parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions. Une grande barre de fraction joue le rôle de parenthèses : $\dfrac{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{\frac{5}{8}}$ signifie $\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)\div\dfrac{5}{8}$.
Résoudre un problème de partage
Méthode :
-
On repère le tout : il correspond à la fraction $1=\dfrac{n}{n}$.
-
On calcule la fraction du reste par une soustraction : $1-\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{3}$.
-
On relie la fraction à la valeur connue : si $\dfrac{a}{b}$ du total vaut $V$, alors le total vaut $V\div\dfrac{a}{b}=V\times\dfrac{b}{a}$.
Vérification : Lina reçoit $\dfrac{1}{4}\times120=30$ €, Hugo $40$ €, et $30+40+50=120$ €. ✓
Lors d'une randonnée dans les Vosges, Léo parcourt $\dfrac{2}{5}$ du trajet le matin, puis, l'après-midi, $\dfrac{1}{3}$ de ce qu'il lui restait à parcourir après le…
Lors d'une randonnée dans les Vosges, Léo parcourt $\dfrac{2}{5}$ du trajet le matin, puis, l'après-midi, $\dfrac{1}{3}$ de ce qu'il lui restait à parcourir après le matin.
- a) Quelle fraction du trajet total parcourt-il l'après-midi ?
- b) Quelle fraction du trajet reste-t-il à parcourir le soir ?
- c) Le trajet total fait $30$ km. Quelle distance reste-t-il ?
Soit $A=\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{6}\times\left(\dfrac{7}{2}-\dfrac{4}{3}\right)$ et $B=\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}}{1-\dfrac{5}{12}}$. a) Calculer $A$ et $B$ sous…
Soit $A=\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{6}\times\left(\dfrac{7}{2}-\dfrac{4}{3}\right)$ et $B=\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}}{1-\dfrac{5}{12}}$.
- a) Calculer $A$ et $B$ sous forme de fractions irréductibles.
- b) Comparer $A$ et $B$.
- c) Calculer $A\div B$.
Trois associés se partagent un bénéfice. Alice reçoit $\dfrac{2}{5}$ du bénéfice, Bilal reçoit $\dfrac{1}{3}$ du bénéfice, et Chloé reçoit le reste, soit $2\,400$ €. a)…
Trois associés se partagent un bénéfice. Alice reçoit $\dfrac{2}{5}$ du bénéfice, Bilal reçoit $\dfrac{1}{3}$ du bénéfice, et Chloé reçoit le reste, soit $2\,400$ €.
- a) Quelle fraction du bénéfice Chloé reçoit-elle ?
- b) Calculer le bénéfice total.
- c) Calculer la part d'Alice et celle de Bilal.
Un réservoir est rempli aux $\dfrac{3}{5}$. On y ajoute $120$ L et il est alors rempli aux $\dfrac{3}{4}$. a) Quelle fraction de la capacité représentent les $120$ L…
Un réservoir est rempli aux $\dfrac{3}{5}$. On y ajoute $120$ L et il est alors rempli aux $\dfrac{3}{4}$.
- a) Quelle fraction de la capacité représentent les $120$ L ajoutés ?
- b) En déduire la capacité du réservoir.
- c) On vide ensuite les $\dfrac{2}{3}$ du contenu. Quel volume reste-t-il ?