Racine carrée et théorème de Pythagore
Tu poses une échelle de 4 m contre un mur, avec le pied à 1,2 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? Pour répondre, il faut savoir « défaire » un carré : c'est le rôle de la racine carrée.
Racine carrée d'un nombre positif
Un carré de côté 5 cm a pour aire $5^2 = 25$ cm². Et si on connaît l'aire et qu'on cherche le côté ? On cherche un nombre positif dont le carré vaut 25 : c'est 5.
Les carrés parfaits à connaître : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169$.
Quand $a$ n'est pas un carré parfait, $\sqrt{a}$ n'est pas décimal. On distingue deux écritures :
-
la valeur exacte : $\sqrt{17}$ ;
-
une valeur approchée donnée par la calculatrice : $\sqrt{17} \approx 4{,}123$, soit $4{,}1$ au dixième près.
Calculer les racines carrées suivantes : a) $\sqrt{49}$ b) $\sqrt{121}$ c) $\sqrt{0,25}$ d) $\sqrt{\dfrac{9}{16}}$
Calculer les racines carrées suivantes :
- a) $\sqrt{49}$
- b) $\sqrt{121}$
- c) $\sqrt{0,25}$
- d) $\sqrt{\dfrac{9}{16}}$
Un carré a une aire de $17$ cm². a) Donner la valeur exacte de la longueur de son côté. b) Donner une valeur approchée de cette longueur au dixième près, à l'aide de la…
Un carré a une aire de $17$ cm².
- a) Donner la valeur exacte de la longueur de son côté.
- b) Donner une valeur approchée de cette longueur au dixième près, à l'aide de la calculatrice.
Le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le côté le plus long est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.
La réciproque existe aussi : si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle est rectangle en $A$. Si l'égalité est fausse, il n'est pas rectangle.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calculer la longueur $BC$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm.
Calculer la longueur $BC$.
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$ avec $DE = 5$ cm et $EF = 9$ cm. a) Donner la valeur exacte de $DF$. b) Donner la valeur approchée de $DF$ au millimètre près. c)…
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$ avec $DE = 5$ cm et $EF = 9$ cm.
- a) Donner la valeur exacte de $DF$.
- b) Donner la valeur approchée de $DF$ au millimètre près.
- c) Calculer l'aire exacte du triangle $DEF$ sous la forme $a\sqrt{b}$, puis son arrondi au dixième de cm².
Problèmes avec Pythagore
On revient à l'échelle. Le mur et le sol forment un angle droit : l'échelle, le mur et le sol dessinent un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle.
Une échelle de $4$ m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé sur le sol horizontal à $1,2$ m du mur. a) Calculer la hauteur exacte atteinte par l'échelle…
Une échelle de $4$ m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé sur le sol horizontal à $1,2$ m du mur.
- a) Calculer la hauteur exacte atteinte par l'échelle sur le mur.
- b) Donner cette hauteur arrondie au centimètre près.
- c) Pour des raisons de sécurité, le pied doit être à au moins $1$ m du mur. Cette condition est-elle respectée ?
Un terrain rectangulaire $ABCD$ mesure $AB = 40$ m et $AD = 30$ m. Une allée suit la diagonale $[AC]$. Un jardinier part de $A$, longe $[AB]$ puis $[BC]$ jusqu'en $C$ ;…
Un terrain rectangulaire $ABCD$ mesure $AB = 40$ m et $AD = 30$ m. Une allée suit la diagonale $[AC]$. Un jardinier part de $A$, longe $[AB]$ puis $[BC]$ jusqu'en $C$ ; un autre va directement de $A$ à $C$ par l'allée.
- a) Calculer la distance parcourue par chacun.
- b) Calculer la différence entre les deux distances.
- c) Un carré a la même aire que le terrain. Donner la valeur exacte de son côté sous la forme $a\sqrt{b}$, puis montrer que ce côté est inférieur à la longueur de l'allée.
Simplifier des écritures avec des racines
Une règle est utile pour $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ :
Pour additionner des racines, on les rend « semblables », comme $3x + 2x = 5x$ :
Pour un produit : $\sqrt{12}\times\sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
Enfin, l'identité remarquable $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ donne, avec une racine : $(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2) = 7 - 4 = 3$.
Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ le plus petit possible (ou sous la forme d'un entier lorsque c'est possible) : a) $\sqrt{50}$ b)…
Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ le plus petit possible (ou sous la forme d'un entier lorsque c'est possible) :
- a) $\sqrt{50}$
- b) $\sqrt{72}$
- c) $\sqrt{12}\times\sqrt{3}$
- d) $\sqrt{45}+\sqrt{20}$
Soit $A = 3\sqrt{20} - \sqrt{80} + \sqrt{5}$ et $B = (2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)$. a) Montrer que $A = 3\sqrt{5}$. b) Calculer $B$. c) Le nombre…
Soit $A = 3\sqrt{20} - \sqrt{80} + \sqrt{5}$ et $B = (2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)$.
- a) Montrer que $A = 3\sqrt{5}$.
- b) Calculer $B$.
- c) Le nombre $\dfrac{A\times B}{\sqrt{5}}$ est-il un entier ? Justifier.
On considère un carré $ABCD$ de côté $x$ cm et un triangle équilatéral de côté $6$ cm et de hauteur $h$ cm. a) Calculer la valeur exacte de $h$ (on pourra utiliser le…
On considère un carré $ABCD$ de côté $x$ cm et un triangle équilatéral de côté $6$ cm et de hauteur $h$ cm.
- a) Calculer la valeur exacte de $h$ (on pourra utiliser le théorème de Pythagore).
- b) En déduire l'aire exacte du triangle équilatéral.
- c) Pour quelle valeur exacte de $x$ le carré a-t-il la même aire que ce triangle ? Donner ensuite l'arrondi au dixième.
L'essentiel
-
$\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est $a$ ; $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.
-
Si $a$ n'est pas un carré parfait, on donne la valeur exacte ($\sqrt{17}$), puis une valeur approchée avec la calculatrice.
-
Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés. Sa réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle.
-
Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$.
-
Pour aller plus loin (hors programme) : $\sqrt{a\times b} = \sqrt{a}\times\sqrt{b}$ permet d'écrire $a\sqrt{b}$.
-
Retour au début : l'échelle atteint $\sqrt{14{,}56} \approx 3{,}82$ m de hauteur.