Caractéristiques d'une fonction

Pour qu'une relation soit considérée comme une fonction, à chaque valeur de la variable ($x$) doit correspondre au plus une seule valeur de l'image ($y$).

Observer le graphique suivant et dire s'il représente une fonction ou non en utilisant la « règle de la droite verticale ».

L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs que prend la variable $x$, tandis que l'ensemble image est l'ensemble des valeurs que prend la variable $y$.

Observer la courbe de la fonction suivante (représentée par le segment orange, extrémités comprises) et donner son ensemble de définition et son ensemble image sous forme d'intervalles.

1. a) Donner l'ensemble de définition de la fonction.

1. b) Donner l'ensemble image de la fonction.

On dit qu'une fonction est continue si on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. Si elle présente des sauts ou des interruptions, elle est dite discontinue.

Le graphique suivant montre le prix du parking d'un centre commercial en fonction du nombre d'heures écoulées. Indiquer si la fonction est continue ou discontinue et, dans le cas où elle est discontinue, préciser pour quelles valeurs de $x$ se produisent les sauts.

Dans une entreprise de messagerie, le coût d'envoi d'un colis dépend de son poids. Cependant, le tarif change brusquement lorsqu'on dépasse certains paliers de poids. Observer la courbe de la fonction coût :

Répondre aux questions suivantes sur la continuité :

1. Cette fonction est-elle continue ? Justifier en décrivant ce qui se passe aux points $x = 2kg$ et $x = 5kg$ (représentés par les sauts sur le graphique).

2. Indiquer l'ensemble de définition et l'ensemble image de cette fonction d'après le dessin.

3. Si un colis pèse exactement $2kg$, quel est son coût ? Observer les points pleins et vides pour décider.

Une fonction est croissante si, lorsque $x$ augmente, $y$ augmente. Elle est décroissante si, lorsque $x$ augmente, $y$ diminue.

Marc fait une randonnée. Le graphique suivant représente son altitude à chaque instant. Identifier les intervalles de temps (axe $x$) pendant lesquels Marc monte (fonction croissante) et ceux pendant lesquels il descend (fonction décroissante).

Les maximums sont les points les plus hauts d'une zone de la courbe, et les minimums sont les points les plus bas.

Dans un jeu vidéo, l'énergie d'un personnage varie selon le graphique ci-dessous. Donner les coordonnées $(x, y)$ des points qui représentent un maximum local et un minimum local dans cette aventure.

Manon utilise une trottinette électrique pour aller au collège. Le graphique suivant montre le pourcentage de batterie restant en fonction de la distance parcourue en kilomètres.

Analyser le graphique et répondre :

1. a) Quels sont l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction ?

1. b) La fonction est-elle croissante ou décroissante ? Que signifie cela dans le contexte du problème ?

1. c) En quel point la courbe coupe-t-elle l'axe $y$ (ordonnée à l'origine) et que représente ce point ?

Le graphique suivant montre l'évolution du pourcentage de batterie d'un smartphone au cours d'une journée, depuis le réveil de l'utilisateur à $08:00$ jusqu'à sa mise en charge le soir.

À partir du graphique, analyser les caractéristiques suivantes :

1. Indiquer les intervalles de temps sur lesquels la fonction est décroissante et ce que cela signifie dans ce contexte.

2. Existe-t-il un intervalle sur lequel la fonction est constante ? Si oui, l'indiquer et proposer une situation réelle expliquant pourquoi la batterie ne diminue pas pendant ce temps.

3. Déterminer la valeur maximale et la valeur minimale de la batterie sur l'intervalle observé.

Une chaîne YouTube analyse le nombre de « J'aime » que reçoit une vidéo pendant les $12$ premières heures suivant sa publication. La fonction est représentée par le graphique suivant :

En observant le graphique, répondre :

1. Identifier les intervalles de croissance et de décroissance.

2. Indiquer les coordonnées approximatives des maximums et minimums locaux.

3. Quel est le maximum global de la fonction sur cette période ? Expliquer la différence entre ce point et un maximum local.

On remplit un réservoir d'eau avec une pompe qui verse un débit constant. Au bout de $10$ minutes, la pompe est arrêtée pendant $5$ minutes pour vérifier une vanne, puis le remplissage reprend plus lentement.

1. Esquisser un graphique représentant la hauteur de l'eau en fonction du temps.

2. Identifier si la fonction obtenue est continue ou discontinue.

3. Indiquer les intervalles de temps sur lesquels la fonction est croissante et l'intervalle sur lequel elle est constante.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

La température d'un four industriel varie au cours d'un processus de fonderie. Il est allumé, monte jusqu'à sa température de fonctionnement, se maintient stable, puis refroidit rapidement à l'ouverture de la porte.

À partir du graphique ci-dessus, répondre :

1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction (durée totale du processus) ?

2. Quel est le maximum de la température et pendant quel intervalle de temps est-il atteint ?

3. À quel moment la porte du four s'ouvre-t-elle ? Justifier la réponse en s'appuyant sur le sens de variation de la fonction.

Soit la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Réaliser une étude de ses principales caractéristiques :

1. Calculer les points d'intersection avec l'axe $X$ (en résolvant l'équation $f(x) = 0$) et avec l'axe $Y$ (en calculant $f(0)$).

2. Déterminer les coordonnées du sommet sachant que l'abscisse se calcule avec la formule $x = \frac{-b}{2a}$. S'agit-il d'un maximum ou d'un minimum global ?

3. Indiquer l'intervalle sur lequel la fonction est décroissante.

Une fonction est périodique si sa courbe se répète à l'identique à intervalles réguliers, appelés période.

Le signal d'un moniteur cardiaque se répète de façon régulière. Observer le graphique et déterminer la valeur de la période (la distance sur l'axe $x$ nécessaire pour effectuer un cycle complet).

Les fonctions peuvent présenter une symétrie. Une fonction est paire si elle est symétrique par rapport à l'axe $y$ (comme dans un miroir). Elle est impaire si elle est symétrique par rapport à l'origine du repère $(0\,;\,0)$.

Déterminer quel type de symétrie (paire, impaire ou aucune) présentent les deux courbes suivantes :

Un capteur de pression sur une machine industrielle enregistre un cycle qui se répète toutes les quelques secondes. La pression $P$ (en bars) dépend du temps $t$ (en secondes) selon le graphique suivant :

En s'appuyant sur l'information visuelle :

1. Expliquer en justifiant pourquoi cette fonction est périodique.

2. Si les pics de pression maximale ont lieu à $t = 2$ s, $t = 10$ s et $t = 18$ s, quelle est la valeur de la période $T$ ?

3. Quelle pression le capteur enregistrera-t-il à l'instant $t = 82$ s ?

Un architecte conçoit une arche décorative pour l'entrée d'un musée, dont la forme suit une fonction symétrique. L'axe de symétrie coïncide avec l'axe des ordonnées $Y$.

Analyser la symétrie de la fonction :

1. Expliquer la différence entre une fonction paire et une fonction impaire. De quel type est cette fonction ?

2. Si l'on sait que le point $(-3 ; 0)$ appartient à la courbe, quel autre point peut-on affirmer qui lui appartient par symétrie ?

3. Indiquer le point d'intersection avec l'axe des abscisses (axe $X$) et le point d'intersection avec l'axe des ordonnées (axe $Y$) pour cette structure.

Un système intelligent de gestion de l'énergie pour un logement bioclimatique régule l'allumage du chauffage selon la température extérieure. La fonction $f(x)$ représente la dépense en euros par heure en fonction de la température $x$ en degrés Celsius :

$$f(x) = \begin{cases} -0,5x + 8 & \text{si } x < 10 \\ 3 & \text{si } 10 \le x < 20 \\ 0,1x^2 - 4x + 7 & \text{si } x \ge 20 \end{cases}$$

Vous disposez de sa courbe sur l'intervalle de températures $[-10 ; 30]$. À l'aide de celle-ci et de l'expression de $f$, analyser les caractéristiques suivantes de la fonction :

1. a) Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction pour l'intervalle de températures $[-10 ; 30]$.

1. b) Étudier la continuité. Existe-t-il des points de discontinuité ? Si oui, indiquer de quel type ils sont et leur signification dans le contexte des économies d'énergie.

1. c) Déterminer les intervalles de monotonie (croissance et décroissance).

Un drone de surveillance forestière décolle pour effectuer une inspection. Son altitude $h$ en mètres en fonction du temps $t$ en minutes est donnée par le graphique ci-joint. La mission dure exactement 60 minutes.

1. a) Indiquer les intervalles sur lesquels la fonction est constante et expliquer ce que fait le drone à ces moments-là.
2. b) Identifier tous les maximums et minimums locaux et globaux.
3. c) Si le drone a besoin d'une altitude minimale de $10$ mètres pour détecter la chaleur, sur quels intervalles de temps sa mission est-elle efficace ?
4. d) La fonction est-elle périodique ? Justifier en s'appuyant sur l'allure de la courbe.

On conçoit un capteur de lumière pour une serre automatique. L'intensité lumineuse $I$ (en lux) suit un motif qui se répète toutes les 24 heures. On sait qu'à 0 h (temps $t=0$) l'intensité est de $0$ lux et qu'elle atteint son maximum de $1200$ lux à 12 h.

1. a) Si la fonction est symétrique par rapport à la droite $t=12$ à l'intérieur de chaque cycle de 24 heures, quelle sera l'intensité à 18 h si elle est de $450$ lux à 6 h ?
2. b) Sachant que la fonction est périodique de période $T=24$, calculer la valeur de l'intensité lumineuse aux temps $t=30$, $t=54$ et $t=108$ heures.
3. c) Cette fonction pourrait-elle être impaire ? Justifier en analysant l'ensemble image de l'intensité (qui ne peut pas être négative).