Opérations sur les puissances

Écrire les multiplications répétées suivantes sous forme de puissance, puis calculer leur valeur numérique. Rappel : la base est le nombre qui se répète et l'exposant indique combien de fois il apparaît.

1. a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
2. b) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
3. c) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
4. d) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

On considère un Rubik's Cube classique. On sait que sur chaque arête (côté) il y a 3 petites pièces.

Exprimer à l'aide d'une puissance le nombre de petites pièces qui forment le cube entier et calculer sa valeur.

Observer le dessin pour t'aider :

Calculer la valeur des puissances suivantes en tenant compte des propriétés de la puissance d'exposant 0 et de la puissance de base 1. Attention aux signes.

1. a) $5^0$
2. b) $23^1$
3. c) $1^{15}$
4. d) $(-8)^0$
5. e) $123^0 + 1^{20}$

Utiliser les propriétés du produit de puissances de même base pour simplifier ces expressions et les écrire sous la forme d'une seule puissance. Il n'est pas nécessaire de calculer le résultat final, il suffit d'exprimer la puissance obtenue.

1. a) $5^3 \cdot 5^4$
2. b) $(-3)^2 \cdot (-3)^5$
3. c) $x^2 \cdot x^6 \cdot x$
4. d) $10^3 \cdot 10^2 \cdot 10^4$

Appliquer la propriété du quotient de puissances de même base pour réduire les expressions suivantes à une seule puissance. Rappel : il faut soustraire les exposants.

1. a) $\frac{7^8}{7^3}$
2. b) $2^{12} : 2^{10}$
3. c) $\frac{(-4)^5}{(-4)^2}$
4. d) $\frac{a^6}{a}$

Simplifier au maximum les expressions suivantes en combinant les propriétés des puissances que tu as apprises (produit et quotient de puissances de même base). Exprimer le résultat sous la forme d'une seule puissance.

1. a) $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$
2. b) $\frac{x^7}{x^2 \cdot x^3}$
3. c) $(3^2 \cdot 3^4) : 3^5$
4. d) $\frac{10^6 \cdot 10^2}{10^8}$

Lors d'un contrôle de 3e, Chloé doit simplifier l'opération $2^3 \cdot 2^4$. Elle écrit dans son cahier le développement suivant :

$$2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2)^{3+4} = 4^7$$

1. a) Identifier et décrire les deux erreurs conceptuelles distinctes commises par Chloé dans sa démarche.
2. b) Expliquer, en revenant au sens de base de la puissance comme multiplication répétée (sans se limiter à citer la formule par cœur), pourquoi, lorsqu'on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants alors que la base reste inchangée.
3. c) Corriger l'exercice en écrivant la solution correcte sous la forme d'une seule puissance de base 2 et calculer sa valeur numérique finale.

Simplifier les expressions suivantes en utilisant la propriété de la puissance d'une puissance. Le résultat doit être exprimé sous la forme d'une seule puissance.

1. a) $(3^2)^4$
2. b) $(x^3)^5$
3. c) $((-2)^2)^3$
4. d) $((a^2)^3)^4$

Dans ces cas, les bases sont différentes mais les exposants sont égaux. Appliquer les propriétés correspondantes pour regrouper les bases et exprimer le résultat sous la forme d'une seule puissance.

1. a) $2^3 \cdot 5^3$
2. b) $12^4 : 4^4$
3. c) $(-2)^5 \cdot 3^5$
4. d) $\frac{20^2}{5^2}$

Calculer le résultat de l'expression suivante en appliquant les propriétés des puissances avant de calculer la valeur finale. Remarquer que toutes les bases sont le même nombre négatif :

$$ \frac{(-3)^5 \cdot (-3)^2 \cdot (-3)}{(-3)^4} $$

Rappel : lorsqu'un nombre n'a pas d'exposant visible, son exposant est 1.

On considère un carré dont le côté mesure $2^4$ centimètres.

1. Exprimer le périmètre du carré sous la forme d'une unique puissance de base 2 (il n'est pas nécessaire de calculer le nombre final, uniquement la puissance).

2. Exprimer l'aire du carré sous la forme d'une unique puissance de base 2.

Simplifier l'expression littérale suivante à l'aide des propriétés des puissances. Le résultat final ne doit pas comporter d'exposants négatifs :

$$ \frac{a^3 \cdot b^{-4} \cdot a^{-2}}{a^5 \cdot b^{-6}} $$

Effectuer et simplifier l'expression suivante à l'aide des propriétés des puissances de base rationnelle. Exprimer le résultat sous la forme d'une fraction irréductible avec un exposant positif :

$$ \left[ \left( \frac{2}{5} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^5 \right] : \left( \frac{5}{2} \right)^2 $$

Simplifier l'opération suivante et exprimer le résultat sous la forme d'une seule puissance de base 2. Pour cela, il faudra d'abord décomposer en produit de facteurs premiers les bases qui ne sont pas des nombres premiers :

$$ 16 \cdot 2^5 \cdot 4^3 $$

Simplifier la fraction numérique suivante en décomposant d'abord les bases en produit de facteurs premiers, puis en appliquant les propriétés des puissances :

$$ \frac{15^2 \cdot 4^2}{6^3 \cdot 10^2} $$

Pour simplifier et calculer la valeur numérique de l'expression $\frac{12^4 \cdot 5^4}{30^3}$, Sergio et Alba débattent de la stratégie la plus adaptée :

• Sergio propose de décomposer d'abord toutes les bases en produit de facteurs premiers ($12 = 2^2 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$) et d'utiliser les propriétés du produit et du quotient de puissances de même base.

• Alba propose d'appliquer d'abord la propriété des puissances de même exposant au numérateur pour le regrouper sous la forme $(12 \cdot 5)^4 = 60^4$, puis d'exprimer 60 sous la forme $2 \cdot 30$ pour travailler avec la base 30 du dénominateur.

1. a) Résoudre l'expression en suivant pas à pas la proposition de Sergio.
2. b) Résoudre l'expression en appliquant la stratégie proposée par Alba.
3. c) Comparer les deux méthodes : laquelle vous semble la plus efficace dans ce cas précis ? Justifier votre choix en analysant la quantité de calculs et le risque d'erreur de chacune.

Simplifier l'expression suivante jusqu'à obtenir une unique puissance de base première positive. Pour cela, vous devrez appliquer les propriétés des puissances, décomposer les bases en produit de facteurs premiers et être très attentif aux signes et aux exposants négatifs.

$$ \frac{(-2)^4 \cdot (2^3)^{-2} \cdot 16}{\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot (-8)^{-2}} $$

Rappel : décomposer des nombres comme 16 et 8 en base 2 est la première étape clé.

Sans utiliser la calculatrice pour obtenir la valeur finale, ranger les nombres suivants du plus petit au plus grand. Pour cela, il faut chercher un exposant commun ou une base commune qui permette de les comparer mentalement.

$$ A = 2^{45} \quad ; \quad B = 3^{36} \quad ; \quad C = 5^{18} $$

Aide : essayer d'exprimer tous les exposants comme des multiples d'un même nombre (chercher le PGCD des exposants).

Déterminer la valeur de l'inconnue $x$ dans chacune des égalités suivantes, en utilisant les propriétés des puissances pour égaliser les exposants :

1. a) $5^x \cdot 5^3 = 5^9$
2. b) $(3^4)^x = 3^{12}$
3. c) $\frac{7^8}{7^x} = 7^2$

Le ministère de la Transition écologique coordonne les travaux de reboisement dans une zone de la Sierra de Gata (Estrémadure). Pour organiser la plantation d'arbres autochtones, le terrain a été divisé en $3^3$ parcelles principales. Dans chaque parcelle, $9^2$ secteurs ont été aménagés, et dans chacun de ces secteurs on a planté exactement 27 plants de chêne vert.

1. a) Écrire une unique opération avec des puissances représentant le nombre total de chênes verts plantés dans la zone.
2. b) Décomposer les bases en produit de facteurs premiers et appliquer les propriétés des puissances pour exprimer le nombre total de chênes verts sous la forme d'une unique puissance de base 3. Combien d'arbres ont été plantés au total ?
3. c) Pendant les premières semaines, chaque plant doit recevoir $3^{-2}$ litres d'eau par heure grâce à un système d'irrigation localisée. Exprimer sous la forme d'une unique puissance de base 3 le nombre de litres d'eau consommés en une heure par l'ensemble de la plantation.

Déterminer la valeur de l'inconnue $x$ dans l'équation exponentielle suivante, en utilisant les propriétés des puissances pour regrouper les termes. Toutes les bases peuvent s'exprimer comme des puissances du même nombre premier.

$$ 27^2 \cdot 9^{-x} = \frac{1}{3^x \cdot 81} $$

Simplifier l'expression littérale suivante à l'aide des propriétés des puissances. Le résultat final ne doit comporter ni exposants négatifs ni parenthèses.

$$ \left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-3} : \left( \frac{a^3}{b^2} \right)^2 $$

Une équipe de cybersécurité à Lille génère des codes d'accès chiffrés. Un code maître $K$ est défini à partir de l'expression suivante :

$$K = \frac{15^a \cdot 18^b}{10^c \cdot 12^d}$$

où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres entiers positifs.

En simplifiant l'expression par décomposition des bases en facteurs premiers et application des propriétés des puissances, les analystes observent que les bases 2 et 5 disparaissent totalement (leurs exposants résultants sont égaux à 0), de sorte que le résultat final se simplifie en $K = 3^6$.

1. a) Décomposer les bases composées ($15$, $18$, $10$ et $12$) en produit de facteurs premiers et écrire l'expression en regroupant les exposants des bases 2, 3 et 5 en fonction des inconnues $a$, $b$, $c$ et $d$.
2. b) Écrire les égalités que doivent vérifier les exposants des bases 2 et 5 pour que les deux disparaissent dans le résultat final.
3. c) Si la configuration du système impose $c = 1$ et $d = 1$, déduire en justifiant les valeurs numériques exactes que doivent avoir les exposants $a$ et $b$, et vérifier pas à pas que la valeur obtenue pour $K$ coïncide avec $3^6$.

Calculer la valeur exacte de l'opération combinée suivante, en appliquant d'abord les propriétés des puissances et en passant à l'écriture scientifique avant d'effectuer les calculs.

$$ \frac{ 3,5 \cdot 10^{-5} + 150 \cdot 10^{-7} }{ 0,02 \cdot 10^4 \cdot (10^{-2})^3 } $$

Exprimer le résultat final en écriture scientifique.

Un serveur de stockage de données dans le cloud a une capacité totale de 16 pétaoctets (Po). Sachant que les équivalences informatiques sont des puissances de 2 (et non de 10) d'après le tableau suivant :

• $1 \text{ KB} = 2^{10} \text{ octets}$

• $1 \text{ MB} = 2^{10} \text{ KB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ PB} = 2^{10} \text{ TB}$

Si un fichier de photographie haute résolution occupe $2^{24}$ octets, combien de photographies tiennent au total sur le serveur ? Exprimer le résultat sous la forme d'une puissance de base 2.

Un disque dur externe a une capacité de stockage de 1 To (téraoctet). Sachant que les équivalences approchées dans le système binaire sont :

• $1 \text{ To} = 2^{10} \text{ Go}$

• $1 \text{ Go} = 2^{10} \text{ Mo}$

Si une photographie de haute qualité occupe $2^4$ Mo, combien de photographies tiennent au total sur le disque dur ? Exprimer le résultat sous la forme d'une puissance de base 2.

Concevoir trois opérations arithmétiques différentes dont le résultat final est exactement la puissance $3^8$, en respectant obligatoirement dans chaque cas la condition indiquée :

1. a) Un produit de deux puissances de base 3 dans lequel aucun exposant n'est un nombre pair.
2. b) Un quotient de deux puissances de bases différentes et de même exposant.
3. c) Une puissance d'une autre puissance dans laquelle l'un des exposants en jeu est un entier relatif négatif.

Justifier dans chaque question la propriété des puissances qui garantit que ta proposition donne exactement $3^8$.

Observer la suite de figures suivante, générée par un processus fractal.

1. On part d'un carré plein de côté 1 mètre (itération 0).

2. On divise le carré en 4 carrés égaux et on supprime celui en haut à droite (itération 1).

3. On répète le processus avec chacun des 3 carrés restants (itération 2).

Calculer l'aire totale (la somme des aires des carrés noirs) à l'itération 5. Exprimer le résultat sous la forme d'une unique puissance.

Un Rubik's Cube géant est formé de petits cubes unitaires. On sait que le volume total du grand cube est de $27^4$ unités de volume.

1. Exprimer la longueur de l'arête du grand cube sous la forme d'une puissance de base 3.

2. Si l'on peint en rouge la face extérieure de chaque petit cube unitaire, quelle est l'aire totale peinte en rouge sur l'ensemble du cube géant ? Exprimer le résultat sous la forme $2 \cdot 3^n$.

(Rappel : le grand cube a 6 faces et l'aire d'une face est côté $\cdot$ côté.)

L'INSEE conserve des copies de sauvegarde de données de recensement dans deux centres de serveurs indépendants, appelés nœud A et nœud B :

• Le nœud A contient $8^7$ blocs de données.

• Le nœud B contient $4^{11}$ blocs de données.

1. a) Avant tout calcul écrit, faire une estimation intuitive argumentée : à votre avis, lequel des deux nœuds contient le plus de blocs de données ? Expliquer quel élément a le plus pesé dans votre première impression (la valeur de la base ou la grandeur de l'exposant ?).
2. b) Vérifier rigoureusement votre estimation : exprimer le nombre de blocs de chaque nœud sous la forme d'une puissance de base 2 en utilisant la décomposition en facteurs premiers et la propriété de la puissance d'une puissance.
3. c) Calculer le quotient entre le nœud de plus grande capacité et celui de plus petite capacité. Combien de fois plus d'informations l'un contient-il par rapport à l'autre ?
4. d) À la vue du résultat, expliquer pourquoi, lorsqu'on compare des grandeurs exponentielles, l'intuition visuelle fondée uniquement sur la taille apparente de la base induit souvent en erreur.