Triangles rectangles

Les deux cordes principales qui maintiennent le mât central d'un chapiteau, du sommet jusqu'au sol, forment entre elles un angle droit. Le mât mesure $4\text{ m}$ de hauteur et l'une des cordes est ancrée à $3,2\text{ m}$ de la base du mât. À quelle distance de la base l'autre corde est-elle ancrée ?

Un menuisier découpe deux cales en bois en forme de triangle rectangle. La première a des côtés de l'angle droit de $15\text{ cm}$ et $20\text{ cm}$. La seconde a une hypoténuse de $50\text{ cm}$ et un côté de l'angle droit de $30\text{ cm}$. Vérifier par le calcul si les deux cales sont semblables.

Deux panneaux de signalisation en forme de triangle rectangle sont semblables. Le plus petit côté de l'angle droit du petit panneau mesure $30\text{ cm}$ et son aire est de $600\text{ cm}^2$. Si le plus petit côté de l'angle droit du grand panneau mesure $60\text{ cm}$, quelle est l'aire du grand panneau ?

Une pyramide droite à base carrée est coupée par un plan parallèle à la base au tiers de sa hauteur (mesurée depuis le sommet). Si l'aire de la section obtenue est de $15\text{ cm}^2$, quel est le volume de la pyramide initiale sachant que sa hauteur totale est de $18\text{ cm}$ ?

Dans la cour de votre lycée, vous voulez mesurer la hauteur du panier de basket avec la méthode du miroir (fondée sur l'égalité des angles d'incidence et de réflexion de la lumière, qui produit des triangles rectangles semblables). Vous posez un miroir plan horizontal sur le sol à $2,25\text{ m}$ du pied du poteau du panier. Vous reculez en ligne droite et vous vous placez à $1,20\text{ m}$ du miroir, point d'où vous voyez précisément l'arceau reflété. Vos yeux sont à $1,60\text{ m}$ du sol.

1. a) Avant tout calcul algébrique, observer le rapport entre la distance du miroir au panier ($2,25\text{ m}$) et la distance du miroir à vous ($1,20\text{ m}$). Estimer si la hauteur du panier sera supérieure, inférieure ou égale au double de la hauteur de vos yeux ($3,20\text{ m}$), en justifiant votre estimation intuitive.
2. b) Écrire la proportion de similitude entre les deux triangles rectangles, calculer la valeur exacte de la hauteur du panier et dire si le résultat confirme votre estimation préalable et s'il est cohérent avec les dimensions réelles d'un panier de basket réglementaire.

Pour mesurer la hauteur d'une éolienne, une ingénieure place un miroir plan sur le sol à $12\text{ m}$ du pied de la tour. Elle recule de $1,5\text{ m}$ à partir du miroir jusqu'à voir le point le plus haut de l'éolienne reflété exactement au centre du miroir. Si les yeux de l'ingénieure sont à $1,6\text{ m}$ du sol, calculer la hauteur de l'éolienne.

Sur un billard, une boule doit toucher la bande et rebondir vers une poche, en formant deux triangles rectangles semblables. La boule est à $20\text{ cm}$ de la bande et la poche à $60\text{ cm}$ de cette même bande. Si la distance horizontale parallèle à la bande entre la boule et la poche est de $100\text{ cm}$, à quelle distance horizontale de la position initiale de la boule l'impact sur la bande doit-il avoir lieu ?

Dans un bijou, un carré de côté $x$ est inscrit dans un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6\text{ mm}$ et $8\text{ mm}$, de telle sorte que le sommet de l'angle droit du triangle coïncide avec un sommet du carré et que le sommet opposé du carré se trouve sur l'hypoténuse. Calculer la valeur de $x$ en utilisant les triangles semblables.

Dans un atelier de découpe laser, on doit percer une ouverture carrée à l'intérieur d'une plaque en forme de triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$. L'équipe de conception envisage deux configurations possibles pour placer le carré :

• Configuration 1 : le carré s'appuie sur le sommet de l'angle droit du triangle, de sorte que deux de ses côtés reposent sur les côtés de l'angle droit et que le sommet opposé se trouve sur l'hypoténuse.

• Configuration 2 : un côté entier du carré repose sur l'hypoténuse, et ses deux autres sommets touchent chacun un côté différent de l'angle droit.

1. a) Dans la configuration 1, identifier les triangles rectangles semblables délimités par le carré à l'intérieur du triangle principal et calculer la longueur exacte du côté de ce carré ($x_1$).
2. b) Dans la configuration 2, calculer d'abord la hauteur relative à l'hypoténuse du triangle initial. Ensuite, grâce à la similitude entre le petit triangle supérieur qui surmonte le carré et le triangle initial, poser l'équation correspondante et calculer la longueur exacte du côté du carré ($x_2$).
3. c) Justifier mathématiquement laquelle des deux configurations permet d'obtenir un trou carré d'aire plus grande et déterminer l'écart en pourcentage entre les deux aires.

Un topographe veut calculer la largeur d'une rivière. Pour cela, il se place sur une rive et observe un arbre sur la rive opposée. Il marche $30\text{ m}$ le long de la rive (perpendiculairement à la visée initiale) et plante un jalon. Puis il marche encore $6\text{ m}$ dans la même direction, tourne de $90^\circ$ en s'éloignant de la rivière et marche $4\text{ m}$ jusqu'à voir le jalon aligné avec l'arbre. Quelle est la largeur de la rivière ?

Dans un site du parc national d'Ordesa et du Mont-Perdu (Huesca), un groupe de gardes forestiers doit estimer la largeur d'un ravin inaccessible dans lequel coule une rivière torrentielle. Sur la rive opposée se trouve une balise verticale $R$ fixée dans la roche. Pour appliquer la méthode du jalon depuis leur rive accessible, ils effectuent les repérages suivants en ligne droite le long du bord :

• Ils plantent un jalon $A$ juste en face de la balise $R$, de sorte que la visée $RA$ soit perpendiculaire à la rive.

• Ils marchent $15\text{ m}$ le long de la rive et plantent un jalon $B$.

• Ils continuent de marcher $5\text{ m}$ de plus dans la même direction et marquent le point $C$.

• Depuis $C$, ils s'éloignent de la rive perpendiculairement à celle-ci jusqu'à trouver un point $D$ d'où le jalon $B$ et la balise $R$ sont parfaitement alignés. Ils mesurent la distance parcourue : $CD = 8\text{ m}$.

1. a) Démontrer quel critère garantit que les triangles rectangles $\triangle RAB$ et $\triangle DCB$ sont semblables.
2. b) Traduire la situation par une égalité de rapports et calculer la largeur du ravin ($RA$).
3. c) Si, faute de place sur la rive, ils avaient placé le jalon $B$ à $10\text{ m}$ de $A$ et à $10\text{ m}$ de $C$, de combien de mètres auraient-ils dû s'éloigner depuis $C$ pour aligner la visée ? Expliquer quel avantage technique ou de précision apporte le choix de distances différentes plutôt qu'égales.

Dans une étude de statique, deux poteaux verticaux de hauteurs $a = 120\text{ cm}$ et $b = 80\text{ cm}$ sont séparés d'une distance $d$. De la base de chaque poteau, on tend un câble jusqu'au sommet de l'autre poteau. Les câbles se croisent à une hauteur $h$. Démontrer, à l'aide de triangles semblables, que la hauteur $h$ à laquelle ils se croisent ne dépend pas de la distance $d$, et calculer sa valeur.

Une feuille de papier rectangulaire de $8\text{ cm}$ de large et $15\text{ cm}$ de long est pliée de sorte que deux sommets opposés coïncident. Le pli obtenu est un segment de droite. Calculer la longueur de ce pli en s'appuyant sur les triangles rectangles semblables qui se forment.