Inéquations

Écrire sous forme d'intervalle et représenter sur la droite réelle les valeurs de $x$ qui vérifient l'inégalité $-3 \le x < 5$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Résoudre l'inéquation du premier degré suivante :

$4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$

Marcos doit résoudre l'inéquation linéaire $-3x + 12 \ge 0$ et écrit dans son cahier les étapes suivantes :

$-3x + 12 \ge 0$

$-3x \ge -12$

$x \ge \frac{-12}{-3}$

$x \ge 4$

Il conclut en affirmant que l'ensemble des solutions est l'intervalle $[4\ ;\ +\infty[$.

1. a) Sans encore résoudre l'inéquation, vérifier ce qui se passe si l'on remplace $x$, dans l'inéquation de départ, par une valeur appartenant à l'ensemble de Marcos, par exemple $x = 5$. L'inégalité est-elle vérifiée ?
2. b) Repérer et expliquer en argumentant quelle règle sur les inégalités Marcos a oublié d'appliquer entre la deuxième et la troisième ligne. Pourquoi le sens d'une inégalité change-t-il quand on multiplie ou divise par un nombre négatif ?
3. c) Corriger la démarche et écrire l'ensemble des solutions correct sous forme d'intervalle.

Résoudre l'inéquation linéaire avec dénominateurs :

$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$

Résoudre l'inéquation du premier degré avec fractions et parenthèses :

$\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$

Traduire en langage algébrique et résoudre : « Le triple d'un nombre, diminué de $4$ unités, est au plus égal à $11$ ».

Pour valider une matière, un élève doit avoir une moyenne d'au moins $5$ points aux trois contrôles du trimestre. S'il a obtenu $3,5$ et $4,2$ aux deux premiers contrôles, quelle note devra-t-il obtenir au troisième pour valider ? (La note maximale est $10$.)

Pour se rendre à son lycée et à ses activités extrascolaires au mois d'octobre, Lucie envisage deux options de transport en commun :

• Option A (carte rechargeable) : elle paie $2,50$ € pour la carte physique (paiement unique) et $1,35$ € par trajet effectué.

• Option B (abonnement jeune mensuel) : tarif forfaitaire de $21,40$ € par mois avec trajets illimités.

1. a) Estimer : sans poser d'équations, calculer mentalement le coût de 10 et de 20 trajets avec l'option A et estimer entre quelles dizaines de trajets se situe le moment où l'abonnement jeune devient plus avantageux. Expliquer votre estimation.
2. b) Calculer : poser une inéquation où l'inconnue $x$ est le nombre entier de trajets nécessaires pour que l'option B soit strictement plus économique que l'option A. La résoudre pas à pas.
3. c) Vérifier : déterminer le nombre minimal exact de trajets à partir duquel l'abonnement devient avantageux et comparer ce résultat à votre estimation préalable. Si Lucie prévoit de ne faire que 12 trajets dans tout le mois, quelle option lui conseilleriez-vous ?

Résoudre le système d'inéquations à une inconnue suivant :

$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$

Trouver la solution du système d'inéquations suivant :

$\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$

On considère le système d'inéquations linéaires à une inconnue suivant, dans lequel figure un paramètre réel $k$ :

$\begin{cases} 2(x - 1) < x + 3 \\ 3x + k \ge 7 \end{cases}$

1. a) Résoudre la première inéquation séparément et exprimer sa solution sous la forme d'un intervalle ouvert.
2. b) Isoler l'inconnue $x$ dans la seconde inéquation en fonction du paramètre $k$. Résoudre ensuite le problème inverse : déterminer la valeur exacte que doit prendre $k$ pour que la solution finale du système (l'intersection des deux inéquations) soit exactement l'intervalle semi-ouvert $[-1 ; 5[$.
3. c) Étudier ce qui se passe lorsque l'on fait varier la valeur de $k$ : pour quelles valeurs de $k$ le système est-il incompatible (il n'a aucune solution) ? Justifier la conclusion en s'appuyant sur la représentation graphique des intervalles sur la droite réelle et sur la définition de l'intersection d'ensembles.

Résoudre l'inéquation avec valeur absolue $|x - 3| \le 5$ et exprimer sa solution sous forme d'intervalle.

Le service de contrôle qualité d'une usine d'embouteillage d'huile d'olive à Nîmes programme ses machines pour remplir des bouteilles de $1$ litre. Une bouteille est acceptée si le volume réel d'huile, $x$ (en litres), appartient à l'intervalle $[0,98;\ 1,02]$.

1. a) Exprimer cette condition d'acceptation par une inéquation avec valeur absolue de la forme $|x - a| \le k$, en déduisant et en indiquant en argumentant quel nombre représente le centre $a$ et quelle est la marge de tolérance $k$.
2. b) À l'inverse, une bouteille est considérée comme défectueuse et rejetée si elle ne respecte pas ce standard. Écrire l'inéquation avec valeur absolue qui décrit les bouteilles rejetées et exprimer l'ensemble des volumes défectueux comme la réunion de deux intervalles disjoints.

Vérifier si les points $A(2\,;\,-1)$, $B(0\,;\,3)$ et $C(-1\,;\,-2)$ sont solutions de l'inéquation à deux inconnues $3x - 2y \le 4$.

Écrire le système d'inéquations à deux inconnues dont la solution correspond à la région colorée sur la figure suivante.

Un agriculteur veut mettre en bouteilles sa production d'huile. Sachant qu'il dispose de bouteilles de $2$ litres et de $5$ litres, et qu'il a strictement moins de $100$ litres d'huile, écrire une inéquation linéaire à deux inconnues qui modélise cette situation. S'il a déjà rempli $10$ bouteilles de $5$ litres, combien de bouteilles de $2$ litres peut-il remplir au maximum ?

Une petite entreprise fabrique deux types d'écouteurs sans fil : le modèle Alfa et le modèle Beta. Le modèle Alfa nécessite $3$ heures de montage et $1$ heure de calibrage, tandis que le modèle Beta nécessite $2$ heures de montage et $2$ heures de calibrage. L'entreprise dispose au maximum de $120$ heures pour le montage et de $80$ heures pour le calibrage par semaine. Poser le système d'inéquations qui définit la région admissible et indiquer s'il serait possible de fabriquer $20$ écouteurs Alfa et $25$ écouteurs Beta en une semaine.

Observer la région admissible bornée suivante (un triangle) et déterminer le système de trois inéquations linéaires à deux inconnues qui la définit.

Un régime équilibré exige que l'apport quotidien de deux aliments, $A$ et $B$, fournisse au moins $60$ g de protéines et ne dépasse pas $80$ g de lipides. Chaque portion de $100$ g de l'aliment $A$ contient $15$ g de protéines et $10$ g de lipides. Chaque portion de $100$ g de l'aliment $B$ contient $10$ g de protéines et $20$ g de lipides. En notant $x$ et $y$ le nombre de portions de $100$ g des aliments $A$ et $B$ consommées respectivement, écrire le système d'inéquations et déterminer s'il est possible de consommer exactement $3$ portions de $A$ et $2$ portions de $B$ en respectant les contraintes.

Résoudre l'inéquation du second degré $x^2 - 16 < 0$. Exprimer la solution sous forme d'intervalle.

Résoudre l'inéquation du second degré $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Exprimer la solution sous forme d'intervalle.

La base d'un rectangle mesure $5$ cm de plus que sa hauteur. Si le périmètre du rectangle doit être supérieur à $30$ cm mais que son aire ne peut pas dépasser $150$ cm$^2$, entre quelles valeurs se situe la mesure de la hauteur ?

La Sécurité routière rappelle que sur chaussée mouillée la distance de freinage augmente notablement. Pour une voiture particulière, la distance de freinage $d$ (en mètres) en fonction de la vitesse de circulation $v$ (en km/h) peut être modélisée par la formule approchée :

$d = 0,005 \cdot v^2 + 0,2 \cdot v$

Sur un tronçon urbain scolaire sous la pluie, la distance maximale disponible pour freiner face à un imprévu sans dépasser le passage piéton est de $30$ mètres (c'est-à-dire $d \le 30$).

1. a) Modéliser la situation en posant une inéquation du second degré par rapport à la vitesse $v$.
2. b) Transformer l'inéquation pour avoir zéro dans le second membre, trouver les racines de l'équation du second degré associée et construire le tableau de signes correspondant pour déterminer son ensemble de solutions mathématique.
3. c) Interpréter l'intervalle obtenu en tenant compte de la réalité physique du problème : quelle est la plage de vitesses sûres auxquelles le véhicule peut circuler ? Justifier pourquoi l'intervalle mathématique doit être borné à gauche.

Déterminer les valeurs du paramètre $m$ pour que l'inéquation du second degré $x^2 - mx + 9 > 0$ soit vérifiée pour tout nombre réel $x$.

On lance une fusée jouet verticalement vers le haut. La hauteur $h$ (en mètres) atteinte par la fusée en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par l'expression $h(t) = 30t - 5t^2$. Pendant quel intervalle de temps la fusée se trouvera-t-elle à une hauteur strictement supérieure à $25$ mètres ?

Pour résoudre l'inéquation du second degré $x^2 - 2x - 8 \le 0$, deux camarades proposent des stratégies différentes :

• Méthode A (algébrique) : calculer les racines de $x^2 - 2x - 8 = 0$, factoriser sous la forme $(x - 4)(x + 2) \le 0$, partager la droite réelle en trois intervalles et dresser un tableau de signes en évaluant des valeurs test.

• Méthode B (géométrique / fonctionnelle) : interpréter l'expression comme la fonction parabolique $y = x^2 - 2x - 8$, observer que ses branches sont tournées vers le haut ($a = 1 > 0$) et qu'elle coupe l'axe $X$ en ses racines, et en déduire visuellement l'intervalle où la courbe est en dessous ou au-dessus de l'axe ($y \le 0$).

1. a) Résoudre l'inéquation par les deux méthodes et vérifier que l'on obtient le même ensemble de solutions.
2. b) Justifier laquelle des deux méthodes vous semble la plus efficace et la moins risquée en termes d'erreurs de signes lors d'un contrôle.
3. c) Considérer maintenant l'inéquation $x^2 - 2x + 5 \le 0$. Le calcul de ses racines montre que le discriminant est négatif (il n'existe pas de racines réelles). Expliquer comment la méthode B permet de déduire la solution presque immédiatement sans tableau de signes, et déterminer en justifiant la solution de cette inéquation.

Résoudre l'inéquation suivante qui combine valeur absolue et polynômes du second degré :

$|x^2 - 5x| < 6$

Résoudre l'inéquation rationnelle suivante, en étudiant le signe sur les intervalles correspondants :

$\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$

Résoudre l'inéquation polynomiale de degré supérieur en factorisant au préalable le polynôme :

$x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$

Résoudre l'inéquation rationnelle, en veillant à bien effectuer les calculs avant d'étudier les signes (rappel : on ne peut pas éliminer des dénominateurs contenant l'inconnue) :

$\frac{x + 1}{x - 2} > \frac{1}{2}$