Écriture scientifique et préfixes
Ton téléphone affiche « 128 Go », la lumière du Soleil met environ 8 minutes à nous parvenir, un virus mesure 0,000 000 12 m… Comment écrire et comparer des nombres aussi grands ou aussi petits sans se perdre dans les zéros ? C'est le rôle de l'écriture scientifique.
Puissances de 10
Une puissance de 10 s'écrit avec un exposant : $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$.
Pour un exposant négatif, on passe à l'inverse : $10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = 0{,}001$.
Et $10^0 = 1$.
Multiplier par $10^n$ décale la virgule de $n$ rangs vers la droite, multiplier par $10^{-n}$ la décale de $n$ rangs vers la gauche. La raison : chaque rang à gauche vaut dix fois plus qu'un rang à droite.
Pour calculer, on revient à la définition : $10^{3} \times 10^{2} = (10 \times 10 \times 10) \times (10 \times 10) = 10^{5}$. De même $\dfrac{10^{5}}{10^{2}} = \dfrac{10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}{10 \times 10} = 10^{3}$.
Calculer et donner le résultat en notation scientifique : a) $(3\times10^{4})\times(2\times10^{3})$ b) $\dfrac{8\times10^{9}}{2\times10^{4}}$ c)…
Calculer et donner le résultat en notation scientifique :
- a) $(3\times10^{4})\times(2\times10^{3})$
- b) $\dfrac{8\times10^{9}}{2\times10^{4}}$
- c) $(5\times10^{-3})\times(4\times10^{-2})$
L'écriture scientifique
Exemples : $45\,000 = 4{,}5 \times 10^{4}$ et $0{,}0032 = 3{,}2 \times 10^{-3}$.
Écrire en notation scientifique : a) $45\,000$ b) $0,0032$ c) $720\times10^{5}$ d) $0,6\times10^{-3}$
Écrire en notation scientifique :
- a) $45\,000$
- b) $0,0032$
- c) $720\times10^{5}$
- d) $0,6\times10^{-3}$
Préfixes et conversions
Pour les très grandes ou très petites mesures, on utilise des préfixes.
| Préfixe | Symbole | Puissance de 10 |
|---|---|---|
| nano | n | $10^{-9}$ |
| micro | µ | $10^{-6}$ |
| milli | m | $10^{-3}$ |
| kilo | k | $10^{3}$ |
| méga | M | $10^{6}$ |
| giga | G | $10^{9}$ |
| téra | T | $10^{12}$ |
Convertir, c'est remplacer le préfixe par sa puissance de 10. Exemple : $250\ \text{nm} = 250 \times 10^{-9}\ \text{m} = 2{,}5 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
Pour une unité au cube, on élève aussi la puissance de 10 au cube : les exposants se multiplient par 3.
Convertir : a) $3$ km en mm b) $250$ nm en m (notation scientifique) c) $5$ Go en octets (un gigaoctet vaut $10^9$ octets) d) $4,2$ µm en m
Convertir :
- a) $3$ km en mm
- b) $250$ nm en m (notation scientifique)
- c) $5$ Go en octets (un gigaoctet vaut $10^9$ octets)
- d) $4,2$ µm en m
Un transistor mesure environ $14$ nm de large. Un cheveu a un diamètre d'environ $70$ µm. a) Exprimer ces deux longueurs en mètres en notation scientifique. b) Combien…
Un transistor mesure environ $14$ nm de large. Un cheveu a un diamètre d'environ $70$ µm.
- a) Exprimer ces deux longueurs en mètres en notation scientifique.
- b) Combien de transistors alignés tiennent dans la largeur d'un cheveu ?
Calculer avec l'écriture scientifique
On multiplie les facteurs décimaux entre eux et les puissances de 10 entre elles, puis on remet le résultat en écriture scientifique.
Pour convertir des secondes en minutes et secondes, on divise par 60 : le quotient entier donne les minutes, le reste donne les secondes.
Pour une addition, on ne peut pas additionner directement les exposants : on met les deux termes sur la même puissance de 10.
Quand le produit des facteurs dépasse 10, on ajuste : $(5 \times 10^{-3}) \times (4 \times 10^{-2}) = 20 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{-4}$.
La lumière se déplace à $3\times10^{8}$ m/s. Le Soleil est à $1,5\times10^{11}$ m de la Terre. a) Calculer, en secondes, le temps que met la lumière du Soleil pour…
La lumière se déplace à $3\times10^{8}$ m/s. Le Soleil est à $1,5\times10^{11}$ m de la Terre.
- a) Calculer, en secondes, le temps que met la lumière du Soleil pour atteindre la Terre.
- b) Convertir ce temps en minutes et secondes.
Un disque dur de $2$ To stocke des photos de $4$ Mo chacune (on prend $1$ To $=10^{12}$ octets et $1$ Mo $=10^{6}$ octets). a) Combien de photos peut-on stocker ? Donner…
Un disque dur de $2$ To stocke des photos de $4$ Mo chacune (on prend $1$ To $=10^{12}$ octets et $1$ Mo $=10^{6}$ octets).
- a) Combien de photos peut-on stocker ? Donner le résultat en notation scientifique puis en écriture décimale.
- b) Donner un ordre de grandeur du nombre de disques nécessaires pour stocker $10^{9}$ photos.
Soit $A=\dfrac{6\times10^{-5}\times 1,5\times10^{8}}{3\times10^{2}}$. a) Calculer $A$ et donner le résultat en notation scientifique. b) Soit…
Soit $A=\dfrac{6\times10^{-5}\times 1,5\times10^{8}}{3\times10^{2}}$.
- a) Calculer $A$ et donner le résultat en notation scientifique.
- b) Soit $B=2,4\times10^{4}+3\times10^{3}$. Donner $B$ en notation scientifique.
- c) Calculer $\dfrac{B}{A}$ et donner son écriture scientifique.
Ordres de grandeur
Un ordre de grandeur est une valeur approchée simple, en général une puissance de 10 (ou un nombre à un chiffre fois une puissance de 10). Il sert à estimer vite, à vérifier un calcul et à comparer.
Méthode : on arrondit chaque nombre à un seul chiffre significatif, puis on calcule.
Pour arrondir à deux chiffres significatifs, on garde les deux premiers chiffres (en partant du premier chiffre non nul) et on regarde le suivant : s'il vaut 5 ou plus, on augmente le dernier chiffre conservé.
Pour comparer deux tailles, on compare leurs exposants : un cheveu de $7 \times 10^{-5}$ m contre un transistor de $1{,}4 \times 10^{-8}$ m. Le rapport est de l'ordre de $\dfrac{10^{-4}}{10^{-8}} = 10^{4}$.
La masse de la Terre est d'environ $5,97\times10^{24}$ kg et celle du Soleil d'environ $1,99\times10^{30}$ kg. a) Combien de fois la masse du Soleil contient-elle celle…
La masse de la Terre est d'environ $5,97\times10^{24}$ kg et celle du Soleil d'environ $1,99\times10^{30}$ kg.
- a) Combien de fois la masse du Soleil contient-elle celle de la Terre ? Donner un ordre de grandeur puis une valeur arrondie en notation scientifique à deux chiffres significatifs.
- b) Un atome d'hydrogène a une masse d'environ $1,67\times10^{-27}$ kg. Estimer le nombre d'atomes d'hydrogène dans le Soleil, en supposant qu'il n'est constitué que d'hydrogène.
Un virus a un diamètre de $1,2\times10^{-7}$ m. On suppose qu'il est sphérique. a) Calculer son volume en m³ avec $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$, en notation scientifique…
Un virus a un diamètre de $1,2\times10^{-7}$ m. On suppose qu'il est sphérique.
- a) Calculer son volume en m³ avec $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$, en notation scientifique arrondi à deux chiffres significatifs.
- b) Combien de ces virus pourraient, au maximum, tenir dans un volume de $1$ mm³, en négligeant les espaces vides entre les virus ? On donnera un ordre de grandeur.
- c) Est-il raisonnable de dire qu'il en tient « un milliard » ? Justifier.
Retour au début : « 128 Go » vaut $1{,}28 \times 10^{11}$ octets, et la lumière met $\dfrac{1{,}5 \times 10^{11}}{3 \times 10^{8}} = 500$ s, soit environ 8 minutes, pour venir du Soleil.
L'essentiel
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Notation scientifique : $a \times 10^{n}$ avec $1 \le a < 10$ et $n$ entier relatif.
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$10^{-n} = \dfrac{1}{10^{n}}$ ; multiplier par $10^{n}$ décale la virgule de $n$ rangs.
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Préfixes : nano $10^{-9}$, micro $10^{-6}$, milli $10^{-3}$, kilo $10^{3}$, méga $10^{6}$, giga $10^{9}$, téra $10^{12}$.
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Produit et quotient : on traite à part les nombres et les puissances de 10, puis on remet en écriture scientifique. Somme : même puissance de 10 d'abord.
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Ordre de grandeur : on arrondit à un chiffre significatif pour estimer et vérifier.