Exercices: Échelle des aires et des volumes

Deux figures planes sont semblables, avec un rapport d'agrandissement $k = 3$.

a) Par quel nombre les longueurs sont-elles multipliées ?

b) Par quel nombre l'aire est-elle multipliée ?

c) S'il s'agissait de solides, par quel nombre le volume serait-il multiplié ?

Deux carrés sont semblables, avec un rapport $k = 2$. Si le petit a un côté de $5$ cm :

a) Quelle est la longueur du côté du grand ?

b) Quelles sont les aires des deux carrés ?

Un cube a une arête de $4$ cm et un autre cube, semblable au premier, a une arête deux fois plus longue.

a) Quel est le volume de chaque cube ?

b) Combien de fois le volume du grand cube est-il plus grand que celui du petit ?

Sur un plan à l'échelle $1:100$, une pièce occupe $12\ \text{cm}^2$. Quelle est son aire réelle ? L'exprimer en mètres carrés.

On agrandit une photo de $40\ \text{cm}^2$ avec une photocopieuse à $150\%$. Quelle est l'aire de l'agrandissement ?

Sur une maquette à l'échelle $1:50$, un réservoir a un volume de $80\ \text{cm}^3$. Quel est le volume du réservoir réel ? L'exprimer en mètres cubes.

Dire si ces affirmations sont vraies ou fausses, en justifiant :

a) Si je double les côtés d'un rectangle, je double son aire.

b) Le rapport des aires de deux figures semblables est le carré du rapport de similitude.

c) Si le rapport d'agrandissement de deux solides est $2$, le volume du grand est $8$ fois celui du petit.

d) Sur un plan à l'échelle $1:50$, un centimètre carré du plan représente $50\ \text{cm}^2$ réels.

Observer les deux rectangles semblables de la figure.

a) Vérifier que le rapport d'agrandissement est $3$.

b) Si l'aire du petit rectangle est $8\ \text{cm}^2$, quelle est l'aire du grand ?

Erreur d'un autre. Marc veut imprimer une banderole publicitaire pour la fête du quartier à partir d'un croquis qui mesure $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ (aire : $600\text{ cm}^2$). Pour la banderole finale, il décide de tripler la taille de tous les côtés, avec un rapport d'agrandissement $k = 3$. À l'imprimerie, Marc calcule le coût en disant : « Comme j'ai multiplié les côtés par $3$, il me faudra exactement trois fois plus de toile et d'encre, soit $3 \cdot 600 = 1800\text{ cm}^2$ ».\n\na) Sans calculer les nouvelles longueurs des côtés, expliquer avec vos mots pourquoi le raisonnement de Marc est erroné, en vous appuyant sur la relation entre longueurs et aires.\nb) Corriger le calcul : quelle sera l'aire réelle de la banderole en $\text{cm}^2$ et en $\text{m}^2$ ? Par quel nombre la consommation de toile et d'encre est-elle réellement multipliée ?

Estimer et vérifier. Un glacier artisanal vend des pots cylindriques semblables en deux tailles. Le pot « Petit » a un diamètre de $6\text{ cm}$ et une contenance de $125\text{ ml}$. Le pot « Géant » est exactement semblable au petit, mais son diamètre mesure $12\text{ cm}$.\n\na) Estimer : Avant de faire des calculs avec des formules, réfléchir : quand le diamètre double, le pot géant contiendra-t-il deux fois plus de glace ($250\text{ ml}$), quatre fois plus ($500\text{ ml}$) ou bien davantage ? Écrire votre prédiction en expliquant brièvement sur quoi vous vous appuyez.\nb) Vérifier : Déterminer le rapport d'agrandissement $k$ et calculer la contenance exacte du pot géant en millilitres.\nc) Comparer le résultat avec votre estimation initiale et dire s'il est raisonnable que le pot géant coûte le triple du petit, compte tenu de la quantité de glace qu'il contient.

Pour la maquette d'un quartier, on a construit deux petites maisons semblables avec un rapport d'agrandissement $1,5$. La petite maison a nécessité $7,2\ \text{dm}^2$ de carton et son volume intérieur est de $6,4$ litres.

a) Quelle quantité de carton faudra-t-il pour la grande maison ?

b) Quel sera son volume intérieur ?

Deux aquariums sont semblables : le petit mesure $40$ cm de long et le grand $80$ cm.

a) Quel est le rapport d'agrandissement ?

b) Si le verre du petit aquarium a coûté $30\text{ €}$, combien coûtera celui du grand, au même prix par unité de surface ?

c) Si remplir d'eau le petit coûte $5\text{ €}$, combien coûtera le remplissage du grand ?

Une artiste peint une fresque à partir d'une esquisse de $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ en appliquant un rapport d'échelle $k = 8$.

a) Quelles seront les dimensions de la fresque ?

b) Quelle sera sa surface ?

c) Si un pot de peinture couvre $2\ \text{m}^2$, combien de pots faudra-t-il au minimum ?

Sur le plan d'un lotissement, dessiné à l'échelle $1:75$, un jardin rectangulaire occupe $96\ \text{cm}^2$. Quelle est la surface réelle du jardin en mètres carrés ?

Un chantier naval construit une maquette d'un voilier à l'échelle $1:40$ qui pèse $3$ kg. Si le bateau réel était construit avec les mêmes matériaux et la même masse volumique moyenne, quelle serait sa masse ? Exprimer le résultat en tonnes.

Une sculpture et sa miniature souvenir sont semblables, avec un rapport d'agrandissement $5$.

a) Si l'on utilise $120$ mL de peinture pour peindre la miniature, combien de litres faudra-t-il pour peindre la sculpture ?

b) Si la miniature pèse $2$ kg et que les deux sont faites du même matériau, quelle est la masse de la sculpture ?

Sur un plan à l'échelle $1:2\,000$, un terrain de football occupe $17,5\ \text{cm}^2$.

a) Quelle est son aire réelle en mètres carrés ?

b) Est-elle proche de l'aire réglementaire d'un terrain de football, d'environ $7\,000\ \text{m}^2$ ?

Observer les deux cubes de la figure : le petit a une arête de $2$ cm et le grand, de $6$ cm. Le volume du petit cube est $8\ \text{cm}^3$.

a) Quel est le rapport d'agrandissement ?

b) Calculer le volume du grand cube sans utiliser la formule du volume du cube, à partir du volume du petit.

c) Si l'aire totale du petit cube est $24\ \text{cm}^2$, quelle est l'aire totale du grand ?

Problème inverse. Une entreprise de colis durables souhaite redessiner sa boîte standard en carton. Elle va commander un nouveau modèle exactement de même forme (semblable), mais aux dimensions réduites pour que la surface totale de carton nécessaire soit $64\,\%$ de la surface de la boîte d'origine (c'est-à-dire que l'aire de la nouvelle boîte est $0,64$ fois l'aire de l'ancienne).\n\na) Établir la relation entre les aires et en déduire le rapport de réduction $k$ entre la nouvelle boîte et la boîte d'origine.\nb) Si la hauteur de la boîte d'origine était de $35\text{ cm}$, quelle doit être la hauteur du nouveau modèle ?\nc) Quel pourcentage du volume d'origine la nouvelle boîte conservera-t-elle ? Le volume diminue-t-il dans la même proportion que le carton ? Justifier la réponse en interprétant le rapport des volumes.

Modéliser. Une coopérative oléicole de Jaén commercialise son huile d'olive vierge extra gourmet dans des bouteilles en verre de forme semblable, en deux formats : une bouteille individuelle de $100\text{ ml}$ et une bouteille familiale de $800\text{ ml}$.\n\na) Les deux bouteilles sont des solides semblables. À partir de leurs contenances, déterminer le rapport d'agrandissement $k$ entre la bouteille familiale et l'individuelle.\nb) Si la bouteille individuelle a une hauteur de $14\text{ cm}$, quelle sera la hauteur de la bouteille familiale ?\nc) Si l'étiquette adhésive qui entoure la bouteille individuelle a une aire de $25\text{ cm}^2$, combien de centimètres carrés mesurera l'étiquette de la bouteille familiale ?\nd) Pour fabriquer le corps de la bouteille individuelle, on utilise $120\text{ g}$ de verre fondu (qui forme uniquement la paroi extérieure du récipient, dont l'épaisseur est la même dans les deux formats). Un ouvrier affirme que pour la bouteille familiale il faudra $960\text{ g}$ de verre ($8$ fois plus). Dire si l'ouvrier a raison ou non, en indiquant la quantité réelle approximative de verre nécessaire.

a) Le rapport des aires de deux figures planes semblables est $9$. Quel est le rapport d'agrandissement ou de réduction entre leurs côtés ? Et le rapport entre leurs périmètres ?

b) Les volumes de deux solides semblables sont dans le rapport $\frac{27}{8}$. Quel est le rapport d'agrandissement ou de réduction ?

c) Les aires de deux parcelles semblables sont dans le rapport $\frac{1}{4}$. Quel est le rapport de leurs côtés ?

Un projecteur forme un carré de $1,5$ m de côté sur un écran situé à $3$ m. Lorsqu'on éloigne l'écran jusqu'à $6$ m, l'image reste carrée, comme le montre la figure.

a) Quel est le rapport d'agrandissement entre les deux images ? Combien mesure le côté du carré à $6$ m ?

b) Combien de fois l'aire de l'image éloignée est-elle plus grande que celle de l'image proche ?

c) Comme la même quantité de lumière se répartit sur toute la surface, avec quelle fraction de luminosité par mètre carré voit-on l'image à $6$ m par rapport à $3$ m ?

d) À quelle distance faudrait-il placer l'écran pour que l'aire de l'image soit $9$ fois l'aire initiale ?

Une entreprise de déménagement veut « doubler la capacité » de ses cartons cubiques et décide de les fabriquer avec une arête deux fois plus longue. Le patron affirme : « Comme ça, il y rentrera deux fois plus de choses ».

a) Expliquer l'erreur du patron.

b) Combien de fois plus de capacité le nouveau carton aura-t-il réellement ?

c) Si le petit carton a un volume de $27\ \text{dm}^3$, quel sera le volume du nouveau ?

Deux réservoirs cylindriques sont semblables et le rapport de leurs hauteurs est $2$. Remplir d'eau le petit réservoir coûte $15\text{ €}$ et peindre sa surface extérieure coûte $40\text{ €}$.

a) Combien coûtera le remplissage d'eau du grand réservoir ?

b) Combien coûtera la peinture de sa surface extérieure ?

c) Un ouvrier affirme que « tout coûtera le double, parce que le réservoir est deux fois plus grand ». Corriger son affirmation à l'aide des résultats précédents et expliquer pourquoi il se trompe.

Choisir la méthode. Un cabinet d'architectes conçoit la toiture d'un gymnase municipal composée de $150$ plaques triangulaires différentes les unes des autres, assemblées comme une mosaïque polyédrique. Le cabinet construit une maquette à l'échelle $1:20$ ($k = 20$). Après mesure de la maquette, on sait que la surface totale de plastique des $150$ plaques vaut exactement $1,2\text{ m}^2$. Pour commander les plaques de polycarbonate du chantier réel, deux architectes discutent de la façon de procéder :\n\n- Méthode d'Alice : mesurer au pied à coulisse les trois côtés de chacun des $150$ triangles de la maquette, multiplier chaque longueur par $20$, calculer l'aire de chaque triangle réel et additionner les $150$ aires obtenues.\n- Méthode de Bruno : prendre la surface totale de la maquette ($1,2\text{ m}^2$) et la multiplier directement par $k^2 = 20^2 = 400$.\n\na) Comparer les deux méthodes : laquelle est préférable du point de vue de l'efficacité et de l'accumulation des erreurs d'arrondi ? Justifier ce choix.\nb) Appliquer la méthode la plus adaptée pour calculer la surface totale de polycarbonate à acheter pour la toiture réelle.\nc) Si le mètre carré de polycarbonate coûte $38\text{ \euro}$, quel sera le coût du matériau de la toiture ?

Modéliser et transférer. Un sculpteur coule en bronze une statue commémorative. Pour vérifier l'équilibre et calculer le budget, il fabrique d'abord une maquette pleine de $20\text{ cm}$ de hauteur, qui pèse $1,5\text{ kg}$ et dont la base d'appui a une aire de $75\text{ cm}^2$. La sculpture monumentale définitive mesurera $3\text{ m}$ de hauteur et sera coulée dans le même alliage de bronze.\n\na) Déterminer le rapport d'agrandissement linéaire $k$ entre la sculpture réelle et la maquette.\nb) Si la statue monumentale était fabriquée entièrement pleine (comme la maquette), quelle serait sa masse en kilogrammes et en tonnes ?\nc) Quelle surface occupera la base d'appui de la grande sculpture sur le piédestal ?\nd) La pression supportée par le piédestal sous la sculpture est proportionnelle à $\frac{\text{Masse}}{\text{Aire}}$. Exprimer comment cette fraction se transforme en fonction de $k$ et démontrer pourquoi la grande sculpture exerce une pression beaucoup plus grande par centimètre carré que la maquette. Quelle solution technique les sculpteurs adoptent-ils en réalité pour éviter ce problème de surpoids ?

Défi du thème. As-tu déjà voulu calculer la hauteur d'un élément de ton environnement sans monter dessus et prévoir sa réplique ? Deviens géomètre et concepteur technique depuis chez toi.

1. Relevé de données et Thalès : par une journée ensoleillée, mesure avec un mètre ta taille ($h_1$) et la longueur de ton ombre ($s_1$). Mesure en même temps l'ombre projetée par un grand objet proche ($s_2$, comme un lampadaire ou un arbre). En appliquant les triangles semblables et le théorème de Thalès, déduis sa hauteur réelle ($h_2$).

2. Application de Pythagore : en prenant $s_2$ et $h_2$ comme côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, applique le théorème de Pythagore pour trouver la distance réelle entre le sommet de l'objet et l'extrémité de son ombre.

3. Échelles dans un tableur : imagine une maquette à l'échelle $1:20$ ($k = 0,05$). Dans un tableur (ou GeoGebra), tabule les mesures réelles et celles de la maquette. Calcule l'échelle des aires ($k^2$) pour estimer la surface de matériau que tu utiliserais et l'échelle des volumes ($k^3$) pour comparer la capacité ou la masse de la réplique par rapport à l'original.

Rédige un court compte rendu avec tes données, tes calculs justifiés et une capture de ton tableur.

Seront évalués :

• La rigueur géométrique dans l'application de Thalès et de Pythagore avec des mesures prises par toi.

• La déduction correcte et l'utilisation des échelles $k$, $k^2$ et $k^3$ dans le tableur.

• La clarté, l'ordre et la justification mathématique dans le compte rendu final.