Exercices: Similitude des triangles rectangles

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit divise l'hypoténuse en deux segments qui mesurent $4$ cm et $9$ cm. Calculer la longueur de cette hauteur en utilisant la relation correspondante.

L'hypoténuse d'un triangle rectangle mesure $25$ cm et la projection d'un des côtés de l'angle droit sur elle mesure $9$ cm. Calculer la longueur de ce côté en appliquant la relation sur le côté de l'angle droit.

La hauteur relative à l'hypoténuse d'un triangle rectangle mesure $6$ cm. Si l'un des segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse mesure $3$ cm, combien mesure l'autre segment de l'hypoténuse ?

Un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle mesure $8$ cm et sa projection orthogonale sur l'hypoténuse mesure $3,2$ cm. Déterminer la longueur totale de l'hypoténuse.

Deux triangles rectangles sont semblables. Le premier a des côtés de l'angle droit qui mesurent $3$ cm et $4$ cm. Si le plus petit côté de l'angle droit du second triangle mesure $9$ cm, combien mesure l'hypoténuse de ce second triangle ?

Deux équerres de dessin (qui ont la forme d'un triangle rectangle quelconque) sont semblables. Si l'hypoténuse de la plus grande équerre est le triple de celle de la plus petite, combien de fois l'aire de la grande équerre est-elle plus grande que celle de la petite ?

Dans un triangle rectangle, les projections des deux côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse mesurent respectivement $5$ cm et $12$ cm. Combien mesure l'hypoténuse du triangle ?

Lors d'un contrôle de mathématiques en seconde, Lucie doit calculer la longueur du plus petit côté de l'angle droit, $c$, d'un triangle rectangle. L'énoncé indique que la projection de ce côté sur l'hypoténuse mesure $m = 3\text{ cm}$ et que la projection de l'autre côté mesure $n = 9\text{ cm}$. Lucie écrit la résolution suivante :

« D'après la relation sur le côté de l'angle droit, je sais que le carré du côté est le produit des deux projections : $c^2 = m \cdot n = 3 \cdot 9 = 27$, donc $c = \sqrt{27} \approx 5,2\text{ cm}$ ».

1. a) Expliquer précisément quelle erreur conceptuelle Lucie a commise et quel théorème ou quelle formule elle a confondu.
2. b) Corriger la démarche et calculer la valeur exacte du côté $c$ sous forme de radical simplifié ainsi que son arrondi au dixième.

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit divise l'hypoténuse en deux segments de longueurs $m = 2\text{ cm}$ et $n = 10\text{ cm}$.

1. a) Avant de calculer, estimer en justifiant entre quels deux nombres entiers consécutifs doit se situer la longueur de la hauteur $h$. Pensez-vous que $h$ sera supérieure, inférieure ou égale à la moitié de l'hypoténuse ($(m+n)/2 = 6\text{ cm}$) ? Justifier votre prévision.
2. b) Appliquer la relation correspondante pour calculer la valeur exacte de la hauteur $h$ et en donner une valeur approchée à deux décimales.
3. c) Vérifier si votre calcul confirme l'estimation faite à la question a) et expliquer pourquoi, dans tout triangle rectangle non isocèle, la hauteur issue de l'angle droit est toujours strictement inférieure à la moitié de l'hypoténuse.

Dans la conception d'une ferme de charpente pour un toit à deux pans en forme de triangle rectangle, la poutre verticale (qui joue le rôle de hauteur issue de l'angle droit) mesure $2,4$ m et sépare la poutre inférieure (hypoténuse) en deux tronçons, dont l'un mesure $1,8$ m. Calculer le périmètre total de la structure extérieure de la ferme.

Pour mesurer la hauteur d'un immeuble, un élève place un miroir plan sur le sol à $15$ m de la base de l'immeuble. En reculant de $1,2$ m depuis le miroir, il voit le sommet de l'immeuble reflété dans celui-ci. Si les yeux de l'élève sont à $1,6$ m du sol, quelle est la hauteur de l'immeuble ?

Une rampe d'accessibilité a une longueur totale de $12$ m au sol et franchit un dénivelé maximal de $1,5$ m. Si un fauteuil roulant a avancé de $4$ m sur la rampe depuis son début en bas, à quelle hauteur se trouve-t-il par rapport au niveau du sol ?

Dans une chambre noire artisanale de $20$ cm de profondeur, se forme l'image inversée d'un arbre situé à $15$ m du sténopé. Si l'image formée au fond de la chambre a une hauteur de $8$ cm, quelle est la hauteur réelle de l'arbre en mètres ?

La grand-voile d'un voilier a la forme d'un triangle rectangle. La couture qui marque la hauteur tracée depuis le sommet de l'angle droit jusqu'à l'hypoténuse mesure $6$ m. Si la projection du plus petit côté de la voile sur l'hypoténuse est de $4,5$ m, calculer l'aire totale de la voile en mètres carrés.

L'arche d'un pont en pierre a la forme d'un demi-cercle parfait de $20$ m de diamètre. À $4$ m d'une des extrémités du pont, on doit placer un pilier vertical allant du sol jusqu'à l'arche. En utilisant la relation sur la hauteur, déterminer la longueur exacte de ce pilier.

Sur un billard rectangulaire, vous frappez une bille sans effet contre une des bandes, de sorte qu'elle rebondit en formant deux triangles rectangles semblables sur sa trajectoire. La bille part d'une position située à $40\text{ cm}$ de cette bande et, après le rebond, arrive en un point situé à $60\text{ cm}$ de cette même bande. Si la distance longitudinale totale parcourue par la bille dans la direction parallèle à la bande est de $150\text{ cm}$, déterminer :

1. a) La distance longitudinale parcourue par la bille avant le rebond.
2. b) La distance longitudinale parcourue après le rebond.

Dans un parc de Paris, on projette de construire un module de skate dont la section latérale est un triangle rectangle posé sur le sol horizontal, qui joue le rôle d'hypoténuse et mesure $3,2\text{ m}$ de longueur. Pour renforcer la structure en bois, on placera une poutre d'acier verticale depuis le sommet supérieur, perpendiculairement au sol (jouant le rôle de hauteur issue de l'angle droit). Les plans indiquent que cette poutre divise la base en deux tronçons, le tronçon le plus long étant exactement le triple du tronçon court.

1. a) Modéliser la situation en identifiant les éléments géométriques du triangle ($a$, $m$, $n$, $h$) et calculer la longueur exacte de chacun des deux tronçons du sol.
2. b) Calculer la hauteur que doit avoir la poutre verticale de renfort et la longueur des deux surfaces inclinées de la rampe (les côtés de l'angle droit). Arrondir les résultats au centimètre.
3. c) Si la réglementation municipale de sécurité pour les pistes d'initiation exige que la hauteur totale ne dépasse pas $1,5\text{ m}$, déterminer en justifiant si le projet respecte la réglementation.

Dans un triangle rectangle, on connaît exactement les longueurs de ses deux côtés de l'angle droit : $b = 15\text{ cm}$ et $c = 20\text{ cm}$. Pour trouver la hauteur relative à l'hypoténuse, $h$, deux élèves proposent des chemins différents :

• Méthode de Sergio : Il calcule d'abord l'hypoténuse $a$ avec le théorème de Pythagore. Ensuite, il utilise la relation sur le côté de l'angle droit pour trouver les deux projections, $m$ et $n$, sur l'hypoténuse. Enfin, il calcule $h$ en appliquant la relation sur la hauteur ($h^2 = m \cdot n$).

• Méthode de Nerea : Elle calcule d'abord l'hypoténuse $a$ avec Pythagore. Puis elle égalise deux expressions de l'aire du triangle (le produit des côtés de l'angle droit divisé par deux et l'hypoténuse multipliée par la hauteur divisée par deux : $\frac{b \cdot c}{2} = \frac{a \cdot h}{2}$) pour isoler directement $h$.

1. a) Développer pas à pas les deux méthodes et vérifier qu'on obtient le même résultat.
2. b) Si les côtés de l'angle droit mesuraient des valeurs décimales non exactes (par exemple $b = 13,4\text{ cm}$ et $c = 18,1\text{ cm}$), laquelle des deux méthodes serait la plus avantageuse et la moins sujette à l'accumulation d'erreurs d'arrondi ? Justifier votre choix en analysant le nombre d'étapes et les opérations nécessaires dans chaque cas.

Sur un terrain en forme de triangle rectangle, on a tracé un fossé d'irrigation qui coïncide avec la hauteur issue de l'angle droit et mesure $12$ m. Si le rapport entre les deux segments que ce fossé détermine sur l'hypoténuse est $\frac{9}{16}$, calculer les dimensions des trois côtés qui délimitent le terrain.

Dans un triangle rectangle, la projection du plus petit côté de l'angle droit sur l'hypoténuse mesure $x$ cm, la projection du plus grand côté mesure $(x+5)$ cm, et la hauteur relative à l'hypoténuse mesure $(x+2)$ cm. Poser l'équation correspondante, déterminer la valeur de $x$ et calculer l'aire totale du triangle.

Deux poteaux verticaux de hauteurs $a = 3$ m et $b = 6$ m sont séparés par une distance inconnue. On tend deux câbles depuis le pied de chaque poteau jusqu'au sommet de l'autre poteau. En utilisant la similitude des triangles rectangles ainsi formés, démontrer que la hauteur $h$ à laquelle les câbles se croisent est indépendante de la distance entre les poteaux, puis calculer sa valeur.

Dans un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $8$ cm et $6$ cm, on inscrit un carré de façon que l'un de ses sommets coïncide avec l'angle droit du triangle, et que les deux côtés du carré issus de ce sommet soient portés par les côtés de l'angle droit. Calculer la longueur du côté du carré $x$ en utilisant les triangles semblables ainsi formés.

L'aire d'un panneau solaire en forme de triangle rectangle est de $150$ dm$^2$ et la hauteur issue de l'angle droit mesure $12$ dm. En posant un système d'équations avec les projections des côtés de l'angle droit, déterminer la longueur exacte des deux côtés de l'angle droit du panneau solaire.

Dans un triangle rectangle, le rapport entre les carrés des côtés de l'angle droit est $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si l'hypoténuse mesure $50$ cm, utiliser la relation de proportionnalité déduite des relations sur les côtés de l'angle droit pour déterminer d'abord les projections des deux côtés sur l'hypoténuse, puis la longueur exacte des côtés de l'angle droit.

Un verre conique en cristal a une profondeur totale de $15$ cm et un rayon de $6$ cm à son ouverture. On le remplit d'eau jusqu'à une hauteur de $10$ cm mesurée depuis le fond (sommet inférieur). Calculer le rayon de la surface circulaire de l'eau en utilisant les triangles rectangles semblables formés avec l'axe central du verre.

On considère que la Terre est une sphère de rayon $R = 6371$ km et qu'une personne se trouve dans une montgolfière à une altitude $h = 2$ km au-dessus de la surface. La ligne de visée tangente à la surface forme un triangle rectangle au point de l'horizon. Utiliser la relation du côté de l'angle droit (ou le théorème de Pythagore) pour déterminer la distance en ligne droite $d$ entre la montgolfière et l'horizon visible, en arrondissant à deux décimales.

Rappel : dans une équation du second degré de la forme $x^2 - S\cdot x + P = 0$, le coefficient $S$ représente la somme de ses deux solutions et le terme constant $P$ représente leur produit.

1. a) Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est la somme des projections ($a = m + n$) et le carré de la hauteur issue de l'angle droit est le produit de ces projections ($h^2 = m \cdot n$). Sans résoudre l'équation, déduire la valeur de l'hypoténuse $a$ et celle de la hauteur $h$ d'un triangle rectangle sachant que les longueurs de ses projections $m$ et $n$ sont les solutions de l'équation $x^2 - 13x + 36 = 0$ (longueurs en centimètres).
2. b) Poser le problème inverse : écrire l'équation du second degré dont les solutions sont les projections $m$ et $n$ d'un triangle rectangle d'hypoténuse $a = 25\text{ cm}$ et de hauteur issue de l'angle droit $h = 12\text{ cm}$.
3. c) Résoudre l'équation obtenue à la question b) pour déterminer $m$ et $n$, puis en déduire les longueurs exactes des deux côtés de l'angle droit du triangle.

Dans un triangle rectangle $ABC$ rectangle en $A$, le côté $b$ mesure exactement le double du côté $c$ ($b = 2c$). On trace la hauteur $h$ issue de l'angle droit, qui partage l'hypoténuse en deux segments : $m$ (projection du plus petit côté de l'angle droit $c$) et $n$ (projection du plus grand côté $b$). Cette hauteur partage le triangle initial en deux triangles rectangles plus petits, $T_1$ et $T_2$.

1. a) En utilisant la relation sur les côtés de l'angle droit pour chacun d'eux, démontrer que la plus grande projection n'est pas le double de la plus petite, mais que l'on a $n = 4m$.
2. b) Démontrer, à partir de la relation sur la hauteur, que cette hauteur mesure exactement le double de la plus petite projection ($h = 2m$).
3. c) Une équipe technique cartographie une parcelle de ces proportions dont l'hypoténuse mesure en tout $a = 45\text{ m}$. Calculer les longueurs $m$, $n$, $h$ et le rapport exact entre l'aire de $T_2$ et l'aire de $T_1$. Expliquer comment on déduit ce même rapport d'aires directement de la similitude des triangles, sans calculer les aires.