Exercices: Triangles rectangles

Sur un toit à deux pans formant un angle droit à son sommet, la hauteur issue de ce sommet partage la base (hypoténuse) en deux segments de $2\text{ m}$ et $8\text{ m}$. Appliquer la relation sur la hauteur pour calculer la hauteur maximale du toit.

Une rampe de skate a un profil en triangle rectangle posé sur son hypoténuse. La base horizontale (hypoténuse) mesure $10\text{ m}$ et la projection du tronçon de montée sur la base est de $3,6\text{ m}$. Utiliser la relation sur le côté de l'angle droit pour calculer la longueur du tronçon de montée.

Un menuisier découpe deux cales en bois en forme de triangle rectangle. La première a des côtés de l'angle droit de $15\text{ cm}$ et $20\text{ cm}$. La seconde a une hypoténuse de $50\text{ cm}$ et un côté de l'angle droit de $30\text{ cm}$. Vérifier par le calcul si les deux cales sont semblables.

Les deux cordes principales qui maintiennent le mât central d'un chapiteau, du sommet jusqu'au sol, forment entre elles un angle droit. Le mât mesure $4\text{ m}$ de hauteur et l'une des cordes est ancrée à $3,2\text{ m}$ de la base du mât. À quelle distance de la base l'autre corde est-elle ancrée ?

Dans une structure métallique en forme de triangle rectangle, un pilier vertical (hauteur issue de l'angle droit) partage la poutre inférieure (hypoténuse) en deux parties. Si un côté incliné (côté de l'angle droit) mesure $5\text{ m}$ et que la poutre inférieure mesure $10\text{ m}$ au total, quelle est la longueur de la projection de ce côté sur la poutre inférieure ?

Deux panneaux de signalisation en forme de triangle rectangle sont semblables. Le plus petit côté de l'angle droit du petit panneau mesure $30\text{ cm}$ et son aire est de $600\text{ cm}^2$. Si le plus petit côté de l'angle droit du grand panneau mesure $60\text{ cm}$, quelle est l'aire du grand panneau ?

Lors d'un cours de dessin technique, un élève trace un triangle rectangle d'hypoténuse $13\text{ cm}$ et de côtés de l'angle droit $5\text{ cm}$ et $12\text{ cm}$. Il trace ensuite la hauteur relative à l'hypoténuse. Utiliser la relation sur le côté de l'angle droit pour calculer les longueurs des deux projections des côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lucas résout un problème sur une rampe dont la section est un triangle rectangle posé sur son hypoténuse sur le sol d'un entrepôt. L'énoncé indique que l'hypoténuse mesure $25\text{ m}$ au total et que la projection de l'un des côtés de l'angle droit sur cette hypoténuse mesure $9\text{ m}$. Pour calculer la hauteur $h$ de la rampe par rapport au sol, Lucas applique directement la relation sur la hauteur et écrit sur sa copie :

« $h^2 = m \cdot n \implies h^2 = 25 \cdot 9 = 225 \implies h = \sqrt{225} = 15\text{ m}$ ».

Expliquer clairement l'erreur conceptuelle commise par Lucas dans son interprétation des données de l'énoncé, écrire la relation correcte qu'il aurait dû appliquer et calculer la véritable hauteur $h$ de la rampe.

Dans la cour de votre lycée, vous voulez mesurer la hauteur du panier de basket avec la méthode du miroir (fondée sur l'égalité des angles d'incidence et de réflexion de la lumière, qui produit des triangles rectangles semblables). Vous posez un miroir plan horizontal sur le sol à $2,25\text{ m}$ du pied du poteau du panier. Vous reculez en ligne droite et vous vous placez à $1,20\text{ m}$ du miroir, point d'où vous voyez précisément l'arceau reflété. Vos yeux sont à $1,60\text{ m}$ du sol.

1. a) Avant tout calcul algébrique, observer le rapport entre la distance du miroir au panier ($2,25\text{ m}$) et la distance du miroir à vous ($1,20\text{ m}$). Estimer si la hauteur du panier sera supérieure, inférieure ou égale au double de la hauteur de vos yeux ($3,20\text{ m}$), en justifiant votre estimation intuitive.
2. b) Écrire la proportion de similitude entre les deux triangles rectangles, calculer la valeur exacte de la hauteur du panier et dire si le résultat confirme votre estimation préalable et s'il est cohérent avec les dimensions réelles d'un panier de basket réglementaire.

La façade d'un bâtiment moderne comporte une baie vitrée en forme de triangle rectangle posé sur son hypoténuse. La hauteur de la baie par rapport à la base est de $4,8\text{ m}$ et la projection du plus petit côté sur la base est de $3,6\text{ m}$. Calculer la longueur des deux côtés de l'angle droit et de l'hypoténuse.

Pour mesurer la hauteur d'une éolienne, une ingénieure place un miroir plan sur le sol à $12\text{ m}$ du pied de la tour. Elle recule de $1,5\text{ m}$ à partir du miroir jusqu'à voir le point le plus haut de l'éolienne reflété exactement au centre du miroir. Si les yeux de l'ingénieure sont à $1,6\text{ m}$ du sol, calculer la hauteur de l'éolienne.

Un terrain agricole a la forme d'un triangle rectangle. La projection de l'un des côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse est supérieure de $4\text{ dam}$ à la projection de l'autre côté. Si la hauteur relative à l'hypoténuse mesure $4,8\text{ dam}$, poser une équation du second degré et calculer la longueur totale de l'hypoténuse.

Sur un billard, une boule doit toucher la bande et rebondir vers une poche, en formant deux triangles rectangles semblables. La boule est à $20\text{ cm}$ de la bande et la poche à $60\text{ cm}$ de cette même bande. Si la distance horizontale parallèle à la bande entre la boule et la poche est de $100\text{ cm}$, à quelle distance horizontale de la position initiale de la boule l'impact sur la bande doit-il avoir lieu ?

Dans un bijou, un carré de côté $x$ est inscrit dans un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6\text{ mm}$ et $8\text{ mm}$, de telle sorte que le sommet de l'angle droit du triangle coïncide avec un sommet du carré et que le sommet opposé du carré se trouve sur l'hypoténuse. Calculer la valeur de $x$ en utilisant les triangles semblables.

Le patron d'une voile de planche à voile a la forme d'un triangle rectangle. On sait que le bord inférieur (hypoténuse) mesure $5\text{ m}$ et que la chute (l'un des côtés de l'angle droit) mesure $1,2\text{ m}$ de plus que sa projection sur l'hypoténuse. Déterminer les deux longueurs possibles de la chute en utilisant la relation entre un côté de l'angle droit, sa projection et l'hypoténuse.

Dans un musée, un tableau rectangulaire est encadré par un triangle rectangle posé sur son hypoténuse, de sorte que la hauteur issue de l'angle droit coïncide avec l'un des côtés du tableau. Si les projections des côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse mesurent $16\text{ cm}$ et $9\text{ cm}$, et si le tableau occupe exactement le rectangle formé par la hauteur et la plus petite projection, quelle est l'aire du tableau ?

Un atelier de menuiserie doit concevoir une équerre en bois en forme de triangle rectangle posée sur son hypoténuse. Les spécifications de fabrication imposent deux conditions : la hauteur relative à l'hypoténuse doit mesurer exactement $12\text{ cm}$ et la projection du plus grand côté de l'angle droit sur l'hypoténuse doit mesurer $7\text{ cm}$ de plus que la projection du plus petit.

1. a) Poser une équation du second degré à partir de la relation sur la hauteur ($h^2 = m \cdot n$) permettant de déterminer chacune des deux projections sur l'hypoténuse.
2. b) Résoudre l'équation et en déduire la longueur totale de l'hypoténuse.
3. c) Appliquer la relation sur les côtés de l'angle droit pour calculer la longueur exacte de chacun d'eux, puis vérifier, à l'aide du théorème de Pythagore, que le triangle obtenu est bien rectangle.

Dans un site du parc national d'Ordesa et du Mont-Perdu (Huesca), un groupe de gardes forestiers doit estimer la largeur d'un ravin inaccessible dans lequel coule une rivière torrentielle. Sur la rive opposée se trouve une balise verticale $R$ fixée dans la roche. Pour appliquer la méthode du jalon depuis leur rive accessible, ils effectuent les repérages suivants en ligne droite le long du bord :

• Ils plantent un jalon $A$ juste en face de la balise $R$, de sorte que la visée $RA$ soit perpendiculaire à la rive.

• Ils marchent $15\text{ m}$ le long de la rive et plantent un jalon $B$.

• Ils continuent de marcher $5\text{ m}$ de plus dans la même direction et marquent le point $C$.

• Depuis $C$, ils s'éloignent de la rive perpendiculairement à celle-ci jusqu'à trouver un point $D$ d'où le jalon $B$ et la balise $R$ sont parfaitement alignés. Ils mesurent la distance parcourue : $CD = 8\text{ m}$.

1. a) Démontrer quel critère garantit que les triangles rectangles $\triangle RAB$ et $\triangle DCB$ sont semblables.
2. b) Traduire la situation par une égalité de rapports et calculer la largeur du ravin ($RA$).
3. c) Si, faute de place sur la rive, ils avaient placé le jalon $B$ à $10\text{ m}$ de $A$ et à $10\text{ m}$ de $C$, de combien de mètres auraient-ils dû s'éloigner depuis $C$ pour aligner la visée ? Expliquer quel avantage technique ou de précision apporte le choix de distances différentes plutôt qu'égales.

Dans une étude de statique, deux poteaux verticaux de hauteurs $a = 120\text{ cm}$ et $b = 80\text{ cm}$ sont séparés d'une distance $d$. De la base de chaque poteau, on tend un câble jusqu'au sommet de l'autre poteau. Les câbles se croisent à une hauteur $h$. Démontrer, à l'aide de triangles semblables, que la hauteur $h$ à laquelle ils se croisent ne dépend pas de la distance $d$, et calculer sa valeur.

Une feuille de papier rectangulaire de $8\text{ cm}$ de large et $15\text{ cm}$ de long est pliée de sorte que deux sommets opposés coïncident. Le pli obtenu est un segment de droite. Calculer la longueur de ce pli en s'appuyant sur les triangles rectangles semblables qui se forment.

Un pont à haubans a un pylône principal qui forme un angle droit avec les deux haubans les plus longs. La longueur totale du tablier entre les ancrages de ces haubans (hypoténuse) est de $125\text{ m}$. Si l'un des haubans mesure $25\text{ m}$ de plus que l'autre, déterminer la hauteur du pylône principal (hauteur relative à l'hypoténuse).

Un designer industriel crée une pièce plane en forme de triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $15\text{ cm}$ et $20\text{ cm}$. Pour renforcer la pièce, il place une tige droite perpendiculaire à l'hypoténuse passant par le sommet de l'angle droit (c'est-à-dire la hauteur). Puis, depuis le pied de cette hauteur, il trace une autre tige perpendiculaire au plus grand côté de l'angle droit. Combien mesure cette dernière tige ?

Un topographe veut calculer la largeur d'une rivière. Pour cela, il se place sur une rive et observe un arbre sur la rive opposée. Il marche $30\text{ m}$ le long de la rive (perpendiculairement à la visée initiale) et plante un jalon. Puis il marche encore $6\text{ m}$ dans la même direction, tourne de $90^\circ$ en s'éloignant de la rivière et marche $4\text{ m}$ jusqu'à voir le jalon aligné avec l'arbre. Quelle est la largeur de la rivière ?

Démontrer que, dans un triangle rectangle quelconque, l'inverse du carré de la hauteur relative à l'hypoténuse est égal à la somme des inverses des carrés des côtés de l'angle droit ($\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$). Ensuite, vérifier cette relation en calculant la hauteur de deux façons dans un triangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $10\text{ cm}$ et $24\text{ cm}$.

Une pyramide droite à base carrée est coupée par un plan parallèle à la base au tiers de sa hauteur (mesurée depuis le sommet). Si l'aire de la section obtenue est de $15\text{ cm}^2$, quel est le volume de la pyramide initiale sachant que sa hauteur totale est de $18\text{ cm}$ ?

Dans un projet d'architecture, le profil d'un toit est un triangle rectangle posé sur son hypoténuse. La hauteur issue du sommet de l'angle droit partage l'hypoténuse en deux segments dont le rapport est $9:16$. Si la hauteur mesure $6\text{ m}$, calculer le périmètre total du triangle formé par le toit.

Pour calculer la hauteur relative à l'hypoténuse ($h$) d'un terrain triangulaire rectangle d'hypoténuse $a = 50\text{ m}$ et dont un côté de l'angle droit est $b = 30\text{ m}$, deux topographes proposent des méthodes différentes sans utiliser de rapports trigonométriques :

• Méthode A (Manon) : elle applique d'abord le théorème de Pythagore pour calculer l'autre côté de l'angle droit $c$. Puis elle égalise deux expressions de l'aire du triangle (aire $= \frac{a \cdot h}{2}$ et aire $= \frac{b \cdot c}{2}$) pour isoler directement $h = \frac{b \cdot c}{a}$.

• Méthode B (Sergio) : il applique d'abord la relation sur le côté de l'angle droit ($b^2 = n \cdot a$) pour trouver la projection $n$. Ensuite il calcule l'autre projection $m = a - n$ et, enfin, applique la relation sur la hauteur ($h^2 = m \cdot n$) pour isoler $h$.

1. a) Appliquer les deux méthodes en détaillant les étapes numériques et vérifier qu'elles conduisent exactement à la même hauteur.
2. b) Analyser les avantages et les inconvénients de chaque méthode : comparer le nombre d'opérations, la nécessité de calculer des racines carrées et le risque de propagation d'erreurs si les données étaient des décimaux non exacts. Laquelle des deux méthodes recommanderiez-vous en termes d'efficacité ? Justifier.
3. c) Démontrer que la formule de Manon ($h = \frac{b \cdot c}{a}$) n'est pas une coïncidence numérique, mais une conséquence nécessaire des relations métriques (issues des triangles semblables) $b^2 = n \cdot a$, $c^2 = m \cdot a$ et $h^2 = m \cdot n$, en les combinant algébriquement.

Dans un atelier de découpe laser, on doit percer une ouverture carrée à l'intérieur d'une plaque en forme de triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$. L'équipe de conception envisage deux configurations possibles pour placer le carré :

• Configuration 1 : le carré s'appuie sur le sommet de l'angle droit du triangle, de sorte que deux de ses côtés reposent sur les côtés de l'angle droit et que le sommet opposé se trouve sur l'hypoténuse.

• Configuration 2 : un côté entier du carré repose sur l'hypoténuse, et ses deux autres sommets touchent chacun un côté différent de l'angle droit.

1. a) Dans la configuration 1, identifier les triangles rectangles semblables délimités par le carré à l'intérieur du triangle principal et calculer la longueur exacte du côté de ce carré ($x_1$).
2. b) Dans la configuration 2, calculer d'abord la hauteur relative à l'hypoténuse du triangle initial. Ensuite, grâce à la similitude entre le petit triangle supérieur qui surmonte le carré et le triangle initial, poser l'équation correspondante et calculer la longueur exacte du côté du carré ($x_2$).
3. c) Justifier mathématiquement laquelle des deux configurations permet d'obtenir un trou carré d'aire plus grande et déterminer l'écart en pourcentage entre les deux aires.