Exercices: Utilisation de la calculatrice

Calculer, à l'aide de la calculatrice et en arrondissant à quatre décimales, la valeur des rapports trigonométriques suivants : $\sin 34^\circ$, $\cos 78^\circ$ et $\tan 12^\circ$.

Déterminer la valeur des rapports trigonométriques suivants, en donnant le résultat avec trois décimales. Veiller à saisir correctement les degrés, minutes et secondes dans la calculatrice : $\sin(45^\circ 12' 30'')$, $\cos(12^\circ 5')$ et $\tan(89^\circ 0' 10'')$.

Utiliser la fonction inverse de la calculatrice pour trouver l'angle aigu $\alpha$, exprimé en degrés, minutes et secondes, sachant que $\sin \alpha = 0,456$.

Déterminer l'angle aigu $\beta$ en degrés, minutes et secondes, sachant que sa tangente est $\tan \beta = 2,15$.

Calculer, en arrondissant à trois décimales, la valeur des rapports trigonométriques inverses $\sec 55^\circ$, $\csc 20^\circ$ et $\cot 70^\circ$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{\cos 55^\circ}$, $\dfrac{1}{\sin 20^\circ}$ et $\dfrac{1}{\tan 70^\circ}$ (les notations sécante, cosécante et cotangente sont peu utilisées en France). Penser à utiliser les relations inverses fondamentales avec la calculatrice.

Exprimer en radians les angles suivants donnés en degrés, en utilisant la valeur de $\pi$ de la calculatrice et en arrondissant à trois décimales : $40^\circ$, $115^\circ$ et $250^\circ$.

Calculer la valeur de $\sin(1,2)$ et de $\cos(0,8)$ en supposant que les angles sont en radians. Donner le résultat avec quatre décimales après avoir correctement réglé le mode de la calculatrice.

Un géomètre mesure un angle d'inclinaison de $14^\circ 25'$ sur un versant. Calculer la tangente de cet angle avec quatre décimales pour connaître le coefficient de pente du terrain.

Lucie veut calculer la cosécante de $42^\circ$ pour un problème de trigonométrie. Pour cela, elle appuie sur sa calculatrice sur la combinaison $\boxed{\text{SHIFT}}\,\boxed{\sin}$ (qui active la fonction $\sin^{-1}$) puis tape $42$. Lorsqu'elle appuie sur égal, l'écran affiche un message « ERREUR Math ». Lucie en conclut que la cosécante de $42^\circ$ n'existe pas.

1. a) Expliquer en justifiant les deux erreurs conceptuelles commises par Lucie : pourquoi la calculatrice affiche une erreur lorsqu'on saisit $\sin^{-1}(42)$ et pourquoi cette touche ne permet pas de calculer la cosécante.
2. b) Écrire la séquence exacte de touches à utiliser sur une calculatrice standard pour obtenir $\csc 42^\circ$ et calculer sa valeur arrondie à quatre décimales, en vérifiant que la calculatrice est dans le bon mode angulaire.

Avant d'utiliser la calculatrice, il est utile d'anticiper l'ordre de grandeur du résultat pour détecter d'éventuelles erreurs de saisie ou de mode angulaire.

1. a) Sans calculatrice, sachant que $\sin 30^\circ = 0,5$ et $\sin 45^\circ \approx 0,7071$, estimer en justifiant si $\sin 35^\circ$ sera plus proche de $0,55$ ou de $0,65$.
2. b) Sachant que $\tan 45^\circ = 1$ et que la tangente augmente quand l'angle se rapproche de $90^\circ$, estimer si $\tan 50^\circ$ sera légèrement supérieure à $1$ (par exemple autour de $1,2$) ou bien très supérieure (autour de $3$).
3. c) Vérifier maintenant vos estimations en calculant $\sin 35^\circ$ et $\tan 50^\circ$ avec la calculatrice en mode DEG (arrondi à quatre décimales). Comparer les valeurs obtenues avec vos prévisions et dire si vos raisonnements étaient corrects.

Dans un projet d'architecture, un toit a une pente de $28\%$. Sachant que le pourcentage de pente est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison multipliée par $100$, utiliser la calculatrice pour déterminer cet angle en degrés, minutes et secondes.

Calculer la valeur numérique de l'expression trigonométrique suivante, en arrondissant le résultat final à deux décimales :

$E = \frac{\sin 35^\circ + \cos 55^\circ}{\tan 40^\circ}$

Sachant que $\sec \alpha = 1,8$ et que $\alpha$ est un angle aigu, utiliser la calculatrice pour déterminer d'abord la valeur de $\alpha$ en degrés, minutes et secondes, puis calculer la valeur de $\sin \alpha$ arrondie à trois décimales.

Sur une rampe de chargement d'un entrepôt, la longueur totale de la rampe est de $15 \text{ m}$ et la hauteur verticale franchie est de $2,5 \text{ m}$. Calculer l'angle d'inclinaison de la rampe par rapport à l'horizontale, en l'exprimant en degrés et minutes.

Vérifier numériquement l'identité fondamentale $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ pour un angle $\alpha = 37^\circ 42' 15''$. Écrire les valeurs intermédiaires du sinus et du cosinus arrondies à quatre décimales avant de les élever au carré et de les additionner.

Une antenne de téléphonie projette une ombre de $34,5 \text{ m}$ sur le sol horizontal lorsque le soleil se trouve à un angle d'élévation de $42^\circ 15'$. Calculer la hauteur de l'antenne en arrondissant à une décimale.

Calculer la valeur de l'angle aigu $\gamma$ en radians (arrondie à trois décimales) sachant que sa cotangente est $\cot \gamma = 0,65$.

Évaluer l'expression trigonométrique suivante en supposant que les angles sont donnés en radians :

$M = \sin(1,5) \cdot \cos(0,5) - \tan(0,8)$.

Donner le résultat final arrondi à trois décimales.

Une équipe de topographie consulte l'historique des opérations d'une calculatrice de terrain et ne retrouve que le dernier calcul enregistré : l'écran affiche le résultat de l'application de $\boxed{\tan^{-1}}\,(0,4877)$. On sait que ce calcul servait à déterminer l'angle d'inclinaison $\alpha$ d'une rampe rectiligne qui franchit un dénivelé vertical exact de $15\text{ m}$.

1. a) Poser l'équation trigonométrique qui relie cette valeur aux côtés du triangle et déterminer la longueur horizontale de la base de la rampe.
2. b) Déterminer l'angle $\alpha$ avec la calculatrice et l'exprimer en degrés décimaux (avec deux décimales) puis en degrés, minutes et secondes à l'aide de la touche $\boxed{^\circ\,'\,''}$.
3. c) Si le rapport technique exige l'angle en radians, calculer cette valeur de deux façons : d'abord en convertissant le résultat par proportionnalité avec $\pi$, puis en calculant directement $\tan^{-1}(0,4877)$ après avoir réglé la calculatrice en mode RAD. Vérifier que les deux méthodes donnent le même résultat.

Sur le réseau routier français, la Sécurité routière utilise des panneaux de danger indiquant des pentes prononcées en pourcentage. Dans un col des Pyrénées, un tronçon présente un panneau de descente à $14\%$, ce qui signifie que la chaussée descend de $14\text{ m}$ pour $100\text{ m}$ d'avancée à l'horizontale.

1. a) Modéliser la pente par un triangle rectangle et écrire le rapport trigonométrique qui permet de déterminer l'angle d'inclinaison $\alpha$ du tronçon par rapport à l'horizontale.
2. b) Utiliser la calculatrice en mode DEG pour calculer $\alpha$ en degrés décimaux, puis l'exprimer en degrés, minutes et secondes.
3. c) Le système de freinage automatique d'un véhicule importé nécessite l'angle programmé en radians. Convertir l'angle $\alpha$ en radians avec quatre décimales en multipliant par le facteur approprié. Vérifier ensuite le résultat en réglant la calculatrice en mode RAD et en recalculant directement le rapport inverse. Expliquer ce qui se passerait dans le calcul si un technicien oubliait de repasser la calculatrice du mode RAD au mode DEG lors de mesures ultérieures.

Dans une expérience d'optique, un rayon lumineux passe de l'air à l'eau. La loi de Snell-Descartes établit que $n_1 \cdot \sin \theta_1 = n_2 \cdot \sin \theta_2$. Si l'indice de réfraction de l'air est $n_1 = 1$, celui de l'eau est $n_2 = 1,33$ et l'angle d'incidence est $\theta_1 = 52^\circ 30'$, calculer l'angle de réfraction $\theta_2$ en degrés, minutes et secondes.

Un avion vole à une altitude constante de $10\,500 \text{ m}$. Le pilote observe deux villes alignées dans la même direction devant lui. La ville la plus proche est vue sous un angle de dépression de $34^\circ 12'$ et la plus éloignée sous un angle de dépression de $18^\circ 45'$. Calculer la distance exacte entre les deux villes à l'aide de la calculatrice, en arrondissant au mètre près.

Évaluer à la calculatrice l'expression $K = \sin(\arccos 0,6)$. Démontrer ensuite algébriquement, à l'aide des identités trigonométriques fondamentales, pourquoi le résultat numérique obtenu est exact et rationnel.

Un ingénieur civil conçoit un virage relevé pour une route. La formule physique qui relie l'angle de relèvement $\theta$, la vitesse $v$ (en m/s), le rayon du virage $R$ (en m) et la pesanteur $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ est $\tan \theta = \frac{v^2}{R \cdot g}$. Si un virage de $150 \text{ m}$ de rayon est conçu pour une vitesse maximale de $90 \text{ km/h}$, calculer l'angle de relèvement $\theta$ en degrés, minutes et secondes.

Résoudre l'équation trigonométrique $3 \sin x - 2 = 0$ en utilisant la calculatrice pour trouver toutes les valeurs possibles de l'angle $x$ comprises entre $0^\circ$ et $360^\circ$. Donner les résultats finaux en degrés et minutes.

Pour de très petits angles, la valeur du sinus est proche de la valeur de l'angle exprimé en radians. Calculer l'erreur absolue et l'erreur relative commises en approchant la valeur de $\sin 1^\circ$ par la valeur de $1^\circ$ converti en radians. Exprimer l'erreur relative en pourcentage avec deux décimales.

Dans un système mécanique de poulies, la tension $T$ (en newtons) d'une courroie de transmission est donnée par la formule $T = 500 \cdot \csc(22^\circ 30')$. Calculer la valeur de la tension $T$ en arrondissant à deux décimales, en détaillant les opérations équivalentes à saisir dans la calculatrice pour obtenir la cosécante.

Un panneau solaire doit être orienté de façon à optimiser la captation de la lumière. Le pourcentage d'efficacité de captation est donné par l'expression $E = 100 \cdot \cos(\alpha - 38^\circ 15')$, où $\alpha$ est l'angle d'inclinaison du panneau. Si, en raison des contraintes du toit, le panneau est installé avec une inclinaison $\alpha = 45^\circ 20'$, utiliser la calculatrice pour déterminer son efficacité $E$ arrondie à une décimale.

Pour calculer la longueur d'un hauban en acier d'une antenne de communication, il faut évaluer la cosécante de l'angle d'élévation $\alpha = 36^\circ 24' 45''$. Trois élèves de seconde proposent des procédures différentes avec la calculatrice :

• Méthode de Serge : il convertit mentalement les minutes et secondes en décimal en arrondissant à deux chiffres ($24' \approx 0,40^\circ$ et $45'' \approx 0,01^\circ$, ce qui donne au total $36,41^\circ$), calcule $\sin(36,41^\circ)$ et appuie sur la touche $\boxed{x^{-1}}$.

• Méthode d'Hélène : elle saisit l'angle complet avec la touche sexagésimale $\boxed{^\circ\,'\,''}$ en tapant $36\,\boxed{^\circ\,'\,''}\,24\,\boxed{^\circ\,'\,''}\,45\,\boxed{^\circ\,'\,''}$, calcule directement son sinus puis appuie sur $\boxed{x^{-1}}$.

• Méthode de Chloé : elle convertit l'angle en radians sur papier avec la formule exacte $\alpha_{\text{rad}} = \left(36 + \frac{24}{60} + \frac{45}{3600}\right) \cdot \frac{\pi}{180}$, saisit cette valeur numérique avec la calculatrice en mode RAD, calcule le sinus et l'élève à la puissance $-1$.

1. a) Appliquer les trois méthodes avec votre calculatrice et noter le résultat de $\csc \alpha$ pour chacune avec cinq décimales.
2. b) En considérant le résultat d'Hélène comme la référence exacte de l'instrument, calculer l'erreur absolue commise par Serge à cause de l'arrondi préalable.
3. c) Comparer les trois méthodes et justifier laquelle est la plus efficace et la plus sûre en pratique, en expliquant pourquoi la procédure de Serge est déconseillée dans des projets techniques.

Lors d'une épreuve pratique avec calculatrice scientifique, Mathis tape $\cos(60)$ en s'attendant à obtenir $0,5$, mais l'écran affiche $-0,9524$. Déconcerté, il essaie de taper $\sin(30)$ et obtient $-0,9880$.

1. a) Identifier l'erreur de configuration de la calculatrice de Mathis. Expliquer ce que la machine a réellement calculé en saisissant le nombre $60$ et justifier géométriquement pourquoi cette valeur est négative, en sachant qu'un tour complet vaut $2\pi \approx 6,28\text{ rad}$.
2. b) On suppose que la touche de changement de mode de la calculatrice de Mathis est défectueuse et qu'il doit finir l'examen avec la machine bloquée dans ce mode. Déduire et écrire l'expression mathématique exacte qu'il doit taper pour que la calculatrice affiche la valeur correcte de $\cos(60^\circ)$. Vérifier en tapant cette expression que le résultat obtenu est exactement $0,5$.
3. c) Sa camarade Inès doit déterminer un angle aigu $\beta$ dont le sinus vaut $0,5$. Elle saisit sur sa propre calculatrice $\boxed{\sin^{-1}}\,(0,5)$ et l'écran affiche $0,5236$. Déterminer en justifiant dans quel mode se trouve la calculatrice d'Inès et en déduire quelle fraction exacte de $\pi$ et combien de degrés cette valeur représente.