Exercices: Puissances de nombres rationnels

Calculer la valeur numérique des puissances suivantes. Rappel : il faut élever le numérateur et le dénominateur à l'exposant indiqué. Exprimer le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{5} \right)^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4$

4. $\left( \frac{10}{7} \right)^0$

En mathématiques, on a parfois besoin de changer le signe de l'exposant pour pouvoir calculer. Transformer les puissances suivantes pour qu'elles aient un exposant positif, en inversant la base lorsque c'est nécessaire. Il n'est pas nécessaire de calculer le résultat final, il suffit d'exprimer la puissance transformée.

1. $\left( \frac{4}{5} \right)^{-2}$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$

3. $5^{-3}$

4. $\left( -\frac{2}{7} \right)^{-3}$

Utiliser les propriétés des puissances pour simplifier les expressions suivantes. Le résultat doit être exprimé sous la forme d'une unique puissance (il n'est pas nécessaire de calculer la valeur finale).

1. $\left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2$

2. $\left( \frac{2}{5} \right)^7 : \left( \frac{2}{5} \right)^4$

3. $\left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$

4. $\left[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right]^4$

On dispose d'un petit carreau carré pour une mosaïque. Le côté du carreau mesure $\frac{2}{5}$ de mètre. Calculer l'aire de ce carreau en exprimant le résultat sous la forme d'une fraction.

S'aider du schéma suivant :

Déterminer le signe (positif ou négatif) du résultat des puissances suivantes sans effectuer le calcul complet. Justifier la réponse en s'appuyant sur le signe de la base et sur la parité de l'exposant.

1. $\left( -\frac{1}{2} \right)^4$

2. $\left( -\frac{3}{4} \right)^3$

3. $\left( \frac{5}{2} \right)^{-2}$

4. $\left( -\frac{2}{3} \right)^{-5}$

On confond parfois la taille des fractions lorsqu'on les élève à une puissance. Observer le graphique suivant qui représente l'unité, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ et $\left(\frac{1}{2}\right)^2$.

En s'appuyant sur la logique précédente, ranger les puissances suivantes de la plus petite à la plus grande :

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^2, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^1, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^3 $$

Trouver le nombre manquant dans chaque case pour que les égalités soient vraies. Écrire dans le cahier l'égalité complète.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^{\square} = \frac{8}{27}$

2. $\left( \frac{5}{2} \right)^{\square} = 1$

3. $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = \square$

4. $\left( \frac{3}{7} \right)^3 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^{\square} = \left( \frac{3}{7} \right)^5$

Calculer les puissances suivantes, qui ont le même exposant mais des bases différentes. Rappel : on peut d'abord multiplier les bases puis élever le résultat à l'exposant commun. Exprimer le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée.

1. $\left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot 6^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4 : \left( \frac{1}{2} \right)^4$

Hugo écrit au tableau la résolution suivante d'un exercice proposé par sa professeure :

$$\left(-\frac{3}{5}\right)^{-2} = -\left(\frac{5}{3}\right)^2 = -\frac{25}{9}$$

Pour défendre sa réponse, il argumente : « Le signe moins de l'exposant rend toute la puissance négative, et ensuite il me suffit d'inverser la fraction et de l'élever au carré ».

1. a) Identifier les deux erreurs de raisonnement commises par Hugo. Expliquer clairement la différence entre ce que produit le signe moins de la base et ce que produit le signe moins de l'exposant.
2. b) Corriger l'exercice en calculant la valeur exacte sous la forme d'une fraction irréductible. Enfin, déterminer quel aurait été le signe du résultat si l'exposant initial avait été $-3$ au lieu de $-2$.

Sans effectuer de calculs écrits détaillés dans un premier temps, observer attentivement ces trois puissances :

$$A = \left(\frac{2}{3}\right)^4, \quad B = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}, \quad C = \left(\frac{3}{2}\right)^{-3}$$

1. a) Faire une estimation argumentée préalable : déterminer lesquelles de ces puissances donneront un résultat inférieur à $1$ et lesquelles donneront un résultat supérieur à $1$. Prévoir également si deux d'entre elles vont donner exactement la même valeur finale. Justifier la prédiction à partir des propriétés des fractions et des exposants négatifs.
2. b) Calculer la valeur numérique exacte de $A$, $B$ et $C$ sous la forme d'une fraction irréductible et confronter les résultats à l'estimation initiale pour vérifier si le raisonnement était correct.

Calculer la valeur des puissances suivantes en les transformant d'abord en puissances d'exposant positif. Rappel : le résultat doit être une fraction irréductible.

1. a) $(\frac{3}{5})^{-2}$
2. b) $(\frac{-2}{3})^{-3}$
3. c) $-( \frac{1}{4} )^{-2}$
4. d) $(\frac{10}{3})^{-1}$

Utiliser les propriétés des puissances pour simplifier les expressions suivantes et écrire le résultat sous la forme d'une unique puissance de base rationnelle. Il n'est pas nécessaire de calculer la valeur finale, uniquement la puissance simplifiée.

1. a) $(\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{2}{7})^5 : (\frac{2}{7})^{-2}$
2. b) $[(\frac{1}{5})^2]^{-3} \cdot (\frac{1}{5})^4$
3. c) $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{6}{5})^4$

On dispose d'une balle en caoutchouc spéciale. À chaque rebond sur le sol, elle atteint une hauteur égale à $\frac{2}{3}$ de la hauteur précédente.

On lâche la balle d'une hauteur de 2 mètres :

1. a) Exprimer à l'aide d'une puissance la hauteur atteinte après le quatrième rebond.
2. b) Cette hauteur est-elle supérieure ou inférieure à 0,3 mètre ? Justifier la réponse en calculant la puissance.

Simplifier les expressions suivantes. Pour cela, il faut d'abord décomposer les bases en produit de facteurs premiers afin que toutes les bases soient identiques, puis appliquer les propriétés des puissances.

1. a) $(\frac{4}{9})^{-2} \cdot (\frac{2}{3})^5$
2. b) $(\frac{25}{4})^3 : (\frac{5}{2})^{-2}$

Déterminer la valeur de $x$ dans chacune des égalités suivantes pour qu'elles soient vraies. Penser aux propriétés des puissances de même base.

1. a) $(\frac{1}{2})^x = 32$
2. b) $(\frac{3}{5})^4 \cdot (\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$
3. c) $[(\frac{2}{9})^x]^2 = (\frac{2}{9})^{10}$

Observer la figure d'un cube magique. Supposons que l'arête d'un grand cube mesure $L$.

Si l'on réduit la longueur de l'arête de moitié ($\frac{1}{2}L$), comment son volume change-t-il ?

1. a) Calculer le volume du cube initial ($V_{grand}$) et celui du cube réduit ($V_{petit}$) en fonction de $L$.
2. b) Exprimer le rapport $\frac{V_{petit}}{V_{grand}}$ sous la forme d'une puissance de base $\frac{1}{2}$.
3. c) Si le grand cube a un volume de $512 \text{ cm}^3$, quel est le volume du cube réduit ?

Effectuer pas à pas les opérations combinées suivantes, en respectant les priorités opératoires. Exprimer le résultat final sous la forme d'une fraction irréductible.

$$ \left( \frac{2}{3} - 1 \right)^{-2} + \left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot 2^4 - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Si l'une est fausse, écrire l'égalité correcte.

1. a) $(\frac{a}{b})^{-n} = - (\frac{a}{b})^n$
2. b) $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^3 = (\frac{2}{3})^5$
3. c) $(\frac{x}{y})^{-1} \cdot (\frac{y}{x})^{-1} = 1$
4. d) $\frac{a^3}{b^3} = (\frac{a}{b})^3$

Dans un rapport de l'agence de l'eau sur le suivi de la sécheresse, les techniciens estiment que le débit d'un affluent diminue de façon régulière pendant les périodes sèches : chaque mois sans pluie, le débit devient $\frac{2}{3}$ du débit du mois précédent. Les hydrologues modélisent cette évolution par l'expression $C(t) = C_0 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^t$, où $C_0$ est le débit actuel (en $\text{m}^3/\text{s}$) et $t$ représente le temps écoulé en mois ($t > 0$ mois futurs, $t < 0$ mois passés).

1. a) Un technicien affirme que, pour calculer le débit de l'affluent il y a 3 mois, il faut appliquer le facteur $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$. Calculer ce facteur sous la forme d'une fraction irréductible et expliquer le sens physique et mathématique du fait qu'en inversant la fraction, le facteur obtenu soit strictement supérieur à $1$.
2. b) Si le débit mesuré aujourd'hui à la station de jaugeage est $C_0 = 16\text{ m}^3/\text{s}$, quel était le débit estimé il y a 2 mois ($t = -2$) ? Et quel sera-t-il dans 2 mois ($t = 2$) ? Exprimer les deux résultats sous la forme de fractions irréductibles.

Trouver une fraction irréductible $\frac{a}{b}$ et un nombre entier $n$ vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1) $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{81}{16}$

2) L'exposant $n$ est un entier négatif strictement inférieur à $-1$.

3) La fraction de base vérifie $0 < \frac{a}{b} < 1$.

1. a) Déduire pas à pas tous les couples possibles de valeurs de $\frac{a}{b}$ et de $n$, en justifiant comment on utilise la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.
2. b) S'il n'était pas obligatoire que la fraction soit irréductible, pourrait-on trouver une autre base positive différente donnant le même résultat avec un autre exposant entier négatif ? Et que se passerait-il si l'on autorisait la base $\frac{a}{b}$ à être négative ? Analyser et justifier les solutions supplémentaires qui apparaissent dans les deux cas.

Simplifier l'expression littérale suivante à l'aide des propriétés des puissances. Le résultat final ne doit pas comporter d'exposants négatifs et doit être simplifié au maximum. Être très attentif aux signes des bases et aux parenthèses.

$$ \left[ \frac{(x^2 \cdot y^{-3})^{-2} \cdot (x^{-1} \cdot y^2)^3}{(x^3 \cdot y^{-4})^{-1}} \right]^{-2} $$

Calculer la valeur exacte de l'opération combinée suivante avec des fractions et des exposants entiers relatifs. Penser à respecter les priorités opératoires et à travailler avec des fractions irréductibles.

$$ \left( \frac{3}{2} - 2 \right)^{-2} \cdot \left[ \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right] - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$

En architecture, on utilise souvent des motifs fractals où une figure se répète à différentes échelles. Imaginons que nous concevions un vitrail triangulaire suivant ce motif :

On part d'un triangle équilatéral d'aire $A$. À l'étape 1, on divise le triangle en 4 triangles égaux et on enlève le triangle central (le triangle renversé). À l'étape 2, on répète le processus avec les 3 triangles restants, et ainsi de suite.

1. Écrire la puissance de base rationnelle qui représente la fraction de l'aire qui reste colorée après l'étape $n$.

2. Si l'aire initiale est de $256 \text{ cm}^2$, calculer l'aire restante après 4 itérations.

Simplifier l'expression suivante en décomposant les bases en produit de facteurs premiers. Le résultat doit être exprimé sous la forme d'une unique puissance ou d'un produit de puissances de bases premières.

$$ \frac{27^{-2} \cdot (-12)^4 \cdot 9^{-1}}{18^3 \cdot (-3)^{-5}} $$

Déterminer la valeur de l'inconnue $x$ dans chacune des égalités suivantes, en utilisant les propriétés des puissances de base rationnelle :

1. a) $ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 16 $
2. b) $ \left(\frac{3}{5}\right)^{x-1} = \frac{125}{27} $
3. c) $ \frac{2^x \cdot 2^3}{2^{-1}} = 32 $

Un Rubik's Cube standard de $3 \times 3 \times 3$ est formé de petits cubes unitaires. Imaginez que l'on construise des cubes géants formés de petits cubes de 1 cm de côté.

1. On considère un cube géant dont le volume est $8^{4} \text{ cm}^3$. Exprimer la longueur de son arête sous la forme d'une puissance de base 2.

2. On peint l'extérieur de ce cube géant. Combien de petits cubes unitaires auront au moins une face peinte ? Exprimer le calcul à l'aide de puissances et d'une différence de volumes.

Ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant sans calculer leur valeur décimale, en utilisant les propriétés des puissances pour les comparer (indice : essayer d'obtenir les mêmes bases ou les mêmes exposants). Justifier la réponse étape par étape.

$$ A = 2^{60} \quad ; \quad B = 3^{40} \quad ; \quad C = 5^{30} \quad ; \quad D = (0,5)^{-50} $$

La capacité de stockage des ordinateurs a augmenté de façon exponentielle.

On sait que :

• 1 kilooctet (Ko) = $2^{10}$ octets

• 1 mégaoctet (Mo) = $2^{10}$ Ko

• 1 gigaoctet (Go) = $2^{10}$ Mo

• 1 téraoctet (To) = $2^{10}$ Go

Calculer combien de fichiers de musique, occupant en moyenne $4 \cdot 10^6$ octets chacun, tiennent approximativement sur un disque dur de 2 To. Exprimer le résultat en écriture scientifique et sous la forme d'une puissance de base 2 approchée (en considérant $10^3 \approx 2^{10}$).

Pour simplifier l'expression suivante, comportant des fractions et des exposants entiers :

$$E = \frac{\left[\left(-\frac{3}{4}\right)^{-2}\right]^3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{-5}}{\left(\frac{9}{16}\right)^{-2}}$$

deux élèves de 3e proposent deux stratégies différentes :

• Stratégie de Lucie : elle travaille d'abord sur les signes et les inverses ; elle transforme chaque puissance en exposant positif en inversant les fractions, décompose toutes les bases en facteurs premiers ($2$ et $3$) et simplifie la grande fraction obtenue en appliquant les propriétés des puissances d'exposant entier naturel.

• Stratégie de Paul : il conserve la structure des bases rationnelles en ramenant tout à des puissances de base $\frac{3}{4}$. Pour cela, il utilise que $\frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$, que $\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2$, détermine le signe global en observant les exposants pairs et impairs, et calcule algébriquement sur les exposants entiers à l'aide des propriétés usuelles avant de calculer le moindre grand nombre.

1. a) Résoudre l'expression complète en suivant la méthode de Lucie.
2. b) Résoudre l'expression complète en suivant la méthode de Paul.
3. c) Comparer les deux démarches : laquelle minimise le nombre de calculs et réduit le risque d'erreur avec des fractions complexes à plusieurs niveaux ? Justifier laquelle des deux méthodes vous recommanderiez à un camarade.

On veut construire une expression avec des puissances de fractions de la forme :

$$M = \frac{\left(\frac{x}{y}\right)^p \cdot \left(\frac{y}{x}\right)^q}{\left(\frac{x}{y}\right)^r}$$

où $x, y \neq 0$ et les exposants $p, q, r$ sont des nombres entiers relatifs. L'expression doit vérifier simultanément les trois conditions suivantes :

1) Après simplification à l'aide des propriétés des puissances, le résultat final doit être exactement $\left(\frac{x}{y}\right)^{-3}$.

2) Au moins deux des trois exposants ($p, q, r$) doivent être des entiers strictement négatifs.

3) L'exposant $q$ ne peut pas être nul ($q \neq 0$).

1. a) Exprimer la condition (1) sous la forme d'une équation reliant les exposants $p$, $q$ et $r$, en transformant au préalable la base $\frac{y}{x}$ en une puissance de base $\frac{x}{y}$.
2. b) Trouver un triplet d'entiers $(p, q, r)$ qui satisfait toutes les conditions exigées et vérifier la validité de la solution.
3. c) Un camarade soutient qu'il est impossible de trouver un triplet valable si l'on ajoute une quatrième condition : $p + q + r = 1$. Démontrer, en le justifiant, si l'affirmation de ce camarade est vraie ou fausse, en posant le système correspondant.