Exercices: Somme et produit de polynômes

Compléter le tableau suivant en identifiant les éléments de chaque monôme :

Un « streamer » touche une partie fixe de $50$ euros par direct et reçoit en plus $2$ euros pour chaque nouvel abonnement ($s$) et $0,5$ euros pour chaque « don » ($d$).

1. Écrire l'expression littérale (polynôme) qui représente ses revenus totaux sur une journée.

2. Si, lors d'un direct, il obtient $20$ abonnements et $40$ dons, combien d'argent a-t-il gagné au total ?

Soit les polynômes $P(x) = 4x^2 - 3x + 5$ et $Q(x) = x^2 + 7x - 2$. Effectuer les opérations suivantes en regroupant les termes semblables :

1. a) $P(x) + Q(x)$
2. b) $P(x) - Q(x)$

Déterminer le polynôme qui exprime le périmètre de la figure géométrique suivante (un « L-block » d'un jeu vidéo). Rappel : le périmètre est la somme de tous ses côtés.

Effectuer les produits de monômes suivants en appliquant les propriétés des puissances :

1. a) $(3x^2) \cdot (4x^3) =$
2. b) $(-2a^2b) \cdot (5ab^3) =$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^5) =$

Appliquer la distributivité pour calculer l'aire du rectangle suivant, en exprimant le résultat sous la forme d'un polynôme :

Réduire les expressions polynomiales suivantes en combinant additions, soustractions et produits simples :

1. a) $3 \cdot (x^2 - 2x + 1) + (4x - 5) =$
2. b) $x \cdot (x + 3) - (x^2 - 2) =$

Dans un magasin de vêtements, le prix d'un sweat est donné par le polynôme $P(x) = 2x^2 + 10$, où $x$ est une variable logistique. On achète $3x$ sweats :

1. Quel est le polynôme qui exprime le coût total de l'achat ?

2. Pour une valeur de $x=2$ donnée, le prix d'un sweat est en euros. Combien coûteront les $3x$ sweats pour cette même valeur ?

Lucie doit développer l'expression $(3x - 5)^2$ lors d'un contrôle et écrit sur sa copie :

1. a) Identifier et expliquer en justifiant les deux erreurs de raisonnement commises par Lucie dans l'application des identités remarquables.
2. b) Développer correctement l'expression en appliquant pas à pas la formule du carré d'une différence.
3. c) Comparer numériquement votre résultat à celui de Lucie en remplaçant la valeur $x = 2$ dans l'expression initiale $(3x - 5)^2$, dans le résultat erroné de Lucie et dans votre polynôme final simplifié. Quelle conclusion en tirez-vous ?

Pour simplifier l'expression $(2x + 7)\cdot(2x - 7)$, deux camarades de classe proposent de procéder différemment :

• David propose : « Je multiplie terme à terme avec la distributivité : $2x \cdot 2x + 2x \cdot (-7) + 7 \cdot 2x + 7 \cdot (-7)$, puis je regroupe les termes semblables ».

• Sarah affirme : « Comme il s'agit d'un produit de la somme par la différence, je peux appliquer directement l'identité remarquable $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, et écrire directement $(2x)^2 - 7^2$ ».

1. a) Appliquer les deux méthodes pas à pas et vérifier si elles conduisent au même polynôme.
2. b) Justifier laquelle des deux stratégies est la plus efficace et expliquer quels termes s'annulent toujours, et pourquoi, lorsqu'on multiplie la somme de deux termes par leur différence.

Étant donnés les polynômes $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ et $Q(x) = -x^2 + 2x - 7$, effectuer les opérations suivantes et simplifier le polynôme obtenu :

1. a) $2 \cdot P(x) + 3 \cdot Q(x)$
2. b) $P(x) - [Q(x) + (x^2 - 1)]$
3. c) $3x \cdot Q(x) + 5x^2$

Une entreprise qui fabrique des tablettes a conçu un nouveau modèle dont l'écran a les dimensions indiquées sur la figure suivante. Le cadre extérieur a une largeur constante de $2$ cm sur tous les côtés.

1. a) Exprimer sous la forme d'un polynôme l'aire totale de la tablette (cadre compris).
2. b) Déterminer le polynôme qui représente l'aire de l'écran seul (zone grisée).
3. c) Calculer le polynôme qui représente l'aire du cadre de la tablette.

Appliquer la distributivité pour multiplier les polynômes suivants et réduire les termes semblables :

1. a) $(2x - 3) \cdot (x^2 - 4x + 1)$
2. b) $(x^2 + 2) \cdot (x^2 - 2)$
3. c) $-(x - 5) \cdot (2x + 3) + 2x^2$

Sur la boutique d'applications « AppZ », les revenus mensuels de la vente d'un abonnement premium sont donnés par le polynôme $I(x) = 10x^2 + 50x$, où $x$ est le nombre de mois écoulés depuis le lancement. Par ailleurs, les frais de maintenance s'expriment par $G(x) = 2x^2 - 10x + 100$.

1. a) Déterminer le polynôme $B(x)$ qui représente le bénéfice net de l'entreprise ($\text{Bénéfice} = \text{Revenus} - \text{Frais}$).
2. b) Si l'entreprise décide d'investir dans la publicité un supplément égal au produit de $(x + 5) \cdot (x - 2)$, ce qui constitue une dépense supplémentaire, quel serait le nouveau polynôme du bénéfice total ?

Factoriser les expressions littérales suivantes en mettant un facteur commun en évidence, pour les transformer en produit d'un monôme par un polynôme :

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $3a^2b - 6ab^2 + 9ab$
3. c) $2x(x+1) - 3(x+1)$

Calculer le polynôme obtenu à partir de l'expression suivante en utilisant les identités remarquables (carré d'une somme, carré d'une différence et produit de la somme par la différence) :

$A(x) = (2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 + (x + 4) \cdot (x - 4)$

Simplifier au maximum le résultat final.

Calculer le périmètre de la figure géométrique suivante en fonction de la variable $x$, en exprimant le résultat sous la forme d'un polynôme réduit.

Déterminer la valeur du coefficient $k$ pour que l'égalité suivante entre polynômes soit vérifiée :

$(x + 3) \cdot (2x - 5) = 2x^2 + kx - 15$

Une fois $k$ trouvé, effectuer le produit $(x + 3) \cdot (2x - 5) \cdot (x + 1)$ et écrire le polynôme obtenu par degrés décroissants.

Dans un projet municipal de jardins partagés, une association de quartier dispose d'une parcelle rectangulaire de $(2x + 3)$ mètres de long et $(x + 5)$ mètres de large. Pour optimiser l'espace, la mairie autorise l'ajout, sur un des côtés, d'une zone rectangulaire couverte pour le compost et les outils, de $(x - 1)$ mètres de large et de même longueur, $(2x + 3)$ mètres.

1. a) Écrire le polynôme réduit $A_T(x)$ qui représente la surface totale occupée par le jardin et la nouvelle zone couverte réunis.
2. b) Déterminer l'expression littérale simplifiée du polynôme $D(x)$ qui indique de combien de mètres carrés l'aire du jardin initial dépasse celle de la zone de compostage.
3. c) Si les mesures de la réglementation d'urbanisme correspondent à $x = 4\text{ m}$, calculer numériquement l'aire totale de l'installation et déterminer quel pourcentage de cette surface totale représente la zone de compostage.

Considérer l'opération suivante entre polynômes : $P(x) = (3x^2 - 2)\cdot(2x^3 + 5x - 4) - (x^3 + 1)^2$.

1. a) Avant d'effectuer le moindre calcul littéral par écrit, répondre à ces questions en justifiant votre prévision :

1. Quel doit être le degré du produit $(3x^2 - 2)\cdot(2x^3 + 5x - 4)$ et le coefficient de son terme de plus haut degré ?

2. Quel doit être le degré du développement de $(x^3 + 1)^2$ ?

3. En soustrayant les deux expressions, les monômes de plus haut degré s'annuleront-ils, ou quel degré prévoyez-vous pour le polynôme $P(x)$ ?

4. Quel sera le terme constant de $P(x)$ en n'analysant que les nombres sans $x$ de chaque partie ?

1. b) Effectuer maintenant le produit, le développement du carré de la somme et la soustraction, en regroupant les termes semblables pour obtenir la forme réduite de $P(x)$.
2. c) Comparer votre polynôme final avec les quatre prévisions faites à la question a) et confirmer si vos déductions étaient correctes.

Lors d'un festival de musique, la recette totale dépend du nombre de pass vendus, représenté par la variable $x$. On a déterminé les fonctions polynômes suivantes :

• Recettes des billets : $I(x) = 3x^2 + 50x - 100$

• Frais de logistique et de sécurité : $G(x) = 2x^2 - 15x + 500$

• Frais de marketing : $M(x) = 10x + 1200$

Si le bénéfice net du festival se calcule en soustrayant toutes les dépenses aux recettes, déterminer le polynôme simplifié $B(x)$ qui représente le bénéfice. Une fois obtenu, calculer le bénéfice réel si $x = 100$ pass sont vendus.

Étant donnés les polynômes $P(x) = 2x^2 - ax + 5$ et $Q(x) = bx^2 + 3x - c$, déterminer les valeurs des paramètres $a$, $b$ et $c$ sachant que leur somme est le polynôme identité $S(x) = 5x^2 + x + 2$. Justifier la réponse en comparant les coefficients des termes de même degré.

Un cabinet d'architecture conçoit une place rectangulaire comportant une fontaine centrale circulaire et un espace planté. L'aire totale de la place est définie par le produit de sa base $b(x) = 3x + 5$ et de sa hauteur $h(x) = 2x - 1$. Si l'aire de la fontaine est donnée par le polynôme $F(x) = x^2 + 2x + 1$, déterminer le polynôme qui représente l'aire de l'espace planté (le reste de la place).

Considérer deux polynômes quelconques, $A(x)$ de degré $n$ et $B(x)$ de degré $m$. Sachant que le degré du produit $A(x) \cdot B(x)$ est $7$ et que le degré de l'expression $(A(x) + B(x))^2$ est $8$, quels sont les degrés respectifs de $A(x)$ et $B(x)$ ? Justifier la réponse à l'aide des propriétés du degré de la somme et du produit de polynômes.

Effectuer l'opération suivante et simplifier au maximum le résultat, en ordonnant le polynôme par degrés décroissants :

Faire particulièrement attention au développement de l'identité remarquable et au signe négatif qui précède le crochet.

Une entreprise de messagerie utilise des cartons dont les dimensions (en cm) sont en progression arithmétique et dépendent d'une variable $x$ :

• Largeur : $x - 2$

• Longueur : $x + 1$

• Hauteur : $x + 4$

Déterminer le polynôme $V(x)$ qui exprime le volume du carton. Déterminer ensuite le polynôme $S(x)$ qui représente l'aire totale des six faces du carton. Simplifier les deux expressions.

Trouver le polynôme $P(x)$ du second degré vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1. Son coefficient dominant est $3$.

2. Il n'a pas de terme constant.

3. Lorsqu'on le multiplie par le binôme $(x - 2)$, le coefficient du terme de degré $2$ du produit est égal à $-4$.

Développer et simplifier l'expression suivante qui fait intervenir trois variables distinctes ($x$, $y$, $z$). Ce type d'expressions est courant dans les formules de physique et les modèles de données :

Donner le résultat final sous la forme d'un polynôme réduit. Que remarquez-vous au sujet des termes croisés (comme $xy$ ou $xz$) ?

On sait qu'en développant et en réduisant l'expression polynomiale $A(x) = (ax + 3)^2 - (bx - 1)(bx + 1) + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres entiers positifs, on obtient exactement le polynôme $R(x) = 7x^2 + 24x + 15$.

1. a) Développer l'expression de $A(x)$ en fonction des lettres $a$, $b$ et $c$, en regroupant clairement les monômes obtenus selon leur degré ($x^2$, $x$ et terme constant).
2. b) Écrire les égalités que doivent vérifier les coefficients de $A(x)$ et ceux de $R(x)$, et en déduire de façon justifiée les valeurs exactes de $a$, $b$ et $c$.
3. c) Si l'on supprimait la condition selon laquelle $b$ doit être un nombre positif et si l'on autorisait n'importe quel nombre entier, existerait-il une autre valeur possible pour $b$ ? Justifier la réponse en analysant algébriquement ce qui se passe pour le produit $(bx - 1)(bx + 1)$ si l'on remplace $b$ par son opposé $-b$.

On veut démontrer la propriété mathématique générale suivante : « La différence entre les carrés de deux nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de $8$ ». En classe, on discute trois approches différentes :

• Alice dit : « Il suffit de tester plusieurs exemples : $3^2 - 1^2 = 8$, $5^2 - 3^2 = 16$, $7^2 - 5^2 = 24$. Comme on obtient à chaque fois un multiple de $8$, la propriété est démontrée ».

• Bruno propose : « Écrivons deux impairs consécutifs quelconques sous la forme $(2n + 3)$ et $(2n + 1)$, où $n$ est un entier relatif quelconque, et développons la différence de leurs carrés : $(2n + 3)^2 - (2n + 1)^2$ ».

• Clara suggère : « Au lieu de développer chaque carré, utilisons l'identité du produit de la somme par la différence dans l'autre sens sur l'expression de Bruno : $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$, en posant $A = 2n + 3$ et $B = 2n + 1$ ».

1. a) Expliquer pourquoi la méthode inductive d'Alice ne constitue pas une démonstration mathématique valable pour la totalité des nombres impairs.
2. b) Développer la méthode de Bruno en appliquant les formules des identités remarquables, réduire les termes semblables et factoriser pour démontrer que le résultat est nécessairement divisible par $8$.
3. c) Développer la méthode proposée par Clara et comparer les deux démarches algébriques : justifier laquelle nécessite le moins d'étapes de calcul et expliquer les avantages de transformer une différence de carrés en produit.