Exercices: Homothétie et agrandissement

Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$. Le point $A$ est tel que $OA = 2$ cm.

1. a) Placer mentalement $A'$, image de $A$ par $h$. Calculer $OA'$.

1. b) Les points $O$, $A$, $A'$ sont-ils alignés ? Dans quel ordre ?

Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$. Le point $B$ est tel que $OB = 3$ cm.

1. a) Calculer $OB'$, où $B'$ est l'image de $B$.

1. b) Le point $O$ est-il situé entre $B$ et $B'$ ? Justifier.

Un triangle $ABC$ a pour côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm. On lui applique une homothétie de rapport $2$.

1. a) Donner les longueurs des côtés du triangle image.

1. b) Calculer le périmètre de chaque triangle.

Un rectangle de $4$ cm sur $6$ cm est transformé par une homothétie de rapport $2,5$.

1. a) Calculer les dimensions du rectangle image.

1. b) Calculer l'aire de chaque rectangle et le rapport entre les aires.

Une homothétie de rapport $k$ transforme un triangle d'aire $12$ cm² en un triangle d'aire $48$ cm².

1. a) Déterminer $k$ sachant que $k>0$.

1. b) Un côté du triangle initial mesure $5$ cm. Quelle est la longueur du côté correspondant dans l'image ?

1. c) Y a-t-il une autre valeur possible de $k$ si l'on autorise $k<0$ ?

Sur une carte de Bretagne, une réduction de rapport $\dfrac{1}{50\,000}$ est utilisée.

1. a) Deux villes sont distantes de $7,5$ cm sur la carte. Quelle est la distance réelle en km ?

1. b) Un lac a une aire réelle de $2$ km². Quelle est son aire sur la carte en cm² ?

Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-\dfrac{1}{2}$. Dans un repère d'origine $O$, on a $A(4\,;\,2)$ et $B(-2\,;\,6)$.

1. a) Déterminer les coordonnées de $A'$ et $B'$, images de $A$ et $B$.

1. b) Calculer $AB$ puis $A'B'$ et vérifier que $A'B' = \left|k\right|\times AB$.

1. c) Montrer que les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles.

Une pyramide de hauteur $12$ cm et de base carrée de côté $9$ cm est réduite par l'homothétie de centre son sommet et de rapport $\dfrac{1}{3}$.

1. a) Calculer le volume de la pyramide initiale ($V=\dfrac{1}{3}\times\text{aire de base}\times h$).

1. b) Sans refaire de calcul avec la formule, déduire le volume de la petite pyramide.

1. c) Quel est le volume du tronc de pyramide obtenu ?

Dans un pavage, un motif $M_1$ est un hexagone d'aire $18$ cm². On compose deux homothéties de même centre $O$ : $h_1$ de rapport $-2$ puis $h_2$ de rapport $\dfrac{3}{2}$.

1. a) Montrer que la composée est une homothétie de centre $O$ et déterminer son rapport.

1. b) Calculer l'aire de l'image finale de $M_1$.

1. c) Quel rapport faudrait-il pour que l'aire de l'image soit $162$ cm² ? Distinguer le cas $k>0$ et $k<0$.