Exercices: Géométrie : Pythagore, Thalès, trigonométrie, transformations et solides

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=9\ \text{cm}$ et $AC=12\ \text{cm}$. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans ce triangle. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer la longueur $BC$.

2. Calculer l'aire du triangle $ABC$.

3. En calculant l'aire du triangle $ABC$ d'une autre façon, montrer que $AH=7{,}2\ \text{cm}$.

Dans le triangle $ABC$, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ au segment $[AC]$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AM=3\ \text{cm}$, $AB=7{,}5\ \text{cm}$, $AN=4\ \text{cm}$ et $BC=10\ \text{cm}$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer la longueur $AC$.

2. Calculer la longueur $MN$.

3. Quelle fraction de l'aire du triangle $ABC$ l'aire du triangle $AMN$ représente-t-elle ?

Le triangle $EFG$ est rectangle en $E$, avec $EF=6\ \text{cm}$ et $\widehat{EFG}=35^\circ$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer la longueur $FG$. Arrondir au dixième de centimètre.

2. Calculer la longueur $EG$. Arrondir au dixième de centimètre.

3. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{FGE}$.

Le triangle $ABC$ est tel que $AB=4{,}8\ \text{cm}$, $AC=6{,}4\ \text{cm}$ et $BC=8\ \text{cm}$. Le point $M$ est placé sur le segment $[AB]$ tel que $AM=1{,}2\ \text{cm}$. Le point $N$ est placé sur le segment $[AC]$ tel que $AN=1{,}6\ \text{cm}$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

2. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

3. Calculer la longueur $MN$.

Une échelle de $4{,}5\ \text{m}$ de longueur est appuyée contre un mur vertical. Elle repose sur un sol horizontal et forme avec le sol un angle de $72^\circ$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer la hauteur du mur atteinte par l'échelle. Arrondir au centimètre.

2. Calculer la distance entre le pied de l'échelle et le mur. Arrondir au centimètre.

3. On éloigne le pied de l'échelle : il est maintenant à $1{,}80\ \text{m}$ du mur.

a) Calculer la mesure de l'angle que forme l'échelle avec le sol. Arrondir au degré.

b) La consigne de sécurité impose un angle compris entre $65^\circ$ et $75^\circ$. Cette consigne est-elle respectée ?

Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on considère les points $A(1\ ;\ 1)$, $B(4\ ;\ 1)$ et $C(4\ ;\ 3)$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. a) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

b) Calculer la valeur exacte de la longueur $AC$, puis en donner une valeur approchée au dixième.

1. On note $A'B'C'$ l'image du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$.

a) Donner les coordonnées des points $A'$, $B'$ et $C'$.

b) Calculer l'aire du triangle $ABC$, puis celle du triangle $A'B'C'$.

1. On note $A''B''C''$ l'image du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-0{,}5$.

a) Donner les coordonnées des points $A''$, $B''$ et $C''$.

b) Calculer l'aire du triangle $A''B''C''$.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=8\ \text{cm}$ et $AC=15\ \text{cm}$. Le point $D$ est placé sur le segment $[AB]$ tel que $AD=2\ \text{cm}$. La parallèle à $(BC)$ passant par $D$ coupe le segment $[AC]$ en $E$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer la longueur $BC$.

2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$. Arrondir au degré.

3. a) Calculer la longueur $AE$.

b) Calculer la longueur $DE$.

1. Calculer l'aire du quadrilatère $DBCE$.

Un récipient a la forme d'un cylindre de rayon $5\ \text{cm}$ et de hauteur $12\ \text{cm}$. Il contient de l'eau sur une hauteur de $10\ \text{cm}$. On plonge entièrement dans l'eau une boule de rayon $3\ \text{cm}$.

On rappelle que le volume d'une boule de rayon $R$ est $V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer la valeur exacte du volume de la boule, puis en donner la valeur arrondie au $\text{cm}^3$.

2. Calculer le volume d'eau contenu initialement dans le récipient. Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au $\text{cm}^3$.

3. Exprimer ce volume d'eau en litres. Arrondir au centilitre.

4. Montrer que le niveau de l'eau monte de $1{,}44\ \text{cm}$ lorsqu'on plonge la boule.

5. L'eau déborde-t-elle du récipient ?

Un cône de révolution a pour hauteur $12\ \text{cm}$ et pour rayon de base $5\ \text{cm}$. On le coupe par un plan parallèle à sa base, situé à $8\ \text{cm}$ de cette base. On obtient un petit cône et un tronc de cône.

On rappelle que le volume d'un cône de rayon de base $r$ et de hauteur $h$ est $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer la valeur exacte du volume du grand cône.

2. a) Quelle est la nature de la section obtenue par ce plan ?

b) Montrer que le petit cône est une réduction du grand cône de rapport $\dfrac{1}{3}$.

c) Calculer le rayon de la section. Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième de centimètre.

1. Calculer la valeur exacte du volume du petit cône.

2. En déduire le volume du tronc de cône. Arrondir au dixième de $\text{cm}^3$.