Exercices: Identités remarquables

Lors d'un contrôle de 4e, Lucie a résolu le développement de l'expression $(2x - 3)^2$ en écrivant directement : $4x^2 - 9$. Son professeur lui a indiqué que la réponse est erronée car elle contient deux erreurs de raisonnement dans cette seule étape.

1. a) Identifier les deux erreurs commises par Lucie (l'une portant sur le signe du dernier terme et l'autre sur les termes manquants dans le développement).
2. b) Appliquer la distributivité en multipliant $(2x - 3) \cdot (2x - 3)$ terme à terme pour lui expliquer clairement d'où vient chaque élément, puis écrire l'expression finale correcte et réduite.

Pour recouvrir le sol d'un stand carré au Salon du livre de Paris, il faut commander une bâche dont le côté mesure $39\text{ m}$.

1. a) Avant de calculer l'aire exacte, faire une estimation mentale en arrondissant la longueur du côté à la dizaine la plus proche ($40\text{ m}$). Justifier si l'aire réelle du stand sera supérieure ou inférieure à l'estimation.
2. b) Exprimer le nombre $39$ sous la forme de la différence $(40 - 1)$ et calculer l'aire exacte en appliquant l'identité remarquable du carré d'une différence, en indiquant les trois termes obtenus dans le développement.
3. c) Soustraire l'aire exacte calculée de l'estimation initiale et vérifier si la différence coïncide avec ce qui avait été justifié à la question a).

Développer les expressions suivantes à l'aide des identités remarquables pour les écrire sous la forme d'un polynôme ordonné :

1. a) $(3x + 5)^2$

1. b) $(2x - 7y)^2$

1. c) $(x^2 + 4) \cdot (x^2 - 4)$

1. d) $(\frac{x}{2} - 6)^2$

Observer la figure suivante qui représente un carré de côté $(x + 3)$ dans lequel on a découpé un carré intérieur de côté $(x - 1)$. Utiliser les identités remarquables pour écrire une expression réduite qui représente l'aire coloriée en orange.

Nadia et Louis font leurs devoirs de mathématiques et ont commis quelques erreurs courantes. Identifier laquelle des égalités suivantes est incorrecte et la corriger dans le cahier en expliquant pourquoi elle est fausse :

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$

1. b) $(x - 5) \cdot (x + 5) = x^2 - 25$

1. c) $(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Les identités remarquables servent aussi à effectuer rapidement des calculs mentaux avec de grands nombres. Utiliser l'identité du produit d'une somme par une différence $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ pour calculer astucieusement les produits suivants :

1. a) $52 \cdot 48$ (Indice : considérer $50 + 2$ et $50 - 2$)

1. b) $99 \cdot 101$

1. c) $35 \cdot 25$

Recopier et compléter dans le cahier les termes manquants pour que ces expressions forment un trinôme carré parfait ou une différence de deux carrés :

1. a) $x^2 + 10x + \_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_)^2$

1. b) $25a^2 - \_\_\_\_ + 1 = (\_\_\_\_ - 1)^2$

1. c) $16x^2 - \_\_\_\_ = (\_\_\_\_ + 3y) \cdot (\_\_\_\_ - 3y)$

Simplifier au maximum l'expression littérale suivante en développant d'abord les identités remarquables puis en réduisant les termes semblables :

$E = (2x + 1)^2 - (2x - 1)^2 + (x + 1) \cdot (x - 1)$

Une mairie veut aménager une nouvelle place carrée. Au centre se trouvera une zone de verdure, également carrée, entourée d'un chemin dallé de largeur constante.

Si le côté total de la place mesure $(3x + 2)$ mètres et le côté du jardin central mesure $(3x - 2)$ mètres, déterminer le polynôme réduit qui représente l'aire réservée uniquement au chemin dallé.

Dans le cube de la figure, d'arête $x$, on a tracé la diagonale d'une de ses faces et la grande diagonale du solide. On forme en outre un hexagone régulier en coupant le cube par un plan $P$ passant par les milieux de ses arêtes.

1. a) Exprimer sous la forme d'un binôme au carré l'aire d'une face si l'arête augmentait de $2\text{ cm}$.
2. b) Si l'aire de l'hexagone peut s'exprimer sous la forme $\frac{3\sqrt{3}}{4} x^2$, démontrer à l'aide des identités remarquables que, si l'arête était $(x+y)$, la nouvelle aire de l'hexagone serait $\frac{3\sqrt{3}}{4}(x^2 + 2xy + y^2)$.
3. c) Calculer la valeur exacte du périmètre de l'hexagone pour $x = 4\text{ cm}$ (simplifier la racine).

Associer dans le cahier chaque identité remarquable à son expression développée correspondante :

• A. $(x + 2)^2$

• B. $(x - 2)^2$

• C. $(x + 2)(x - 2)$

• $x^2 - 4$

• $x^2 + 4x + 4$

• $x^2 - 4x + 4$

Compléter les espaces vides pour que les égalités suivantes soient correctes :

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + \dots x + 16$

1. b) $(a - \dots)^2 = a^2 - 6a + 9$

1. c) $(y + 5)(y - 5) = y^2 - \dots$

Lucie veut choisir un tapis carré pour sa chambre. Le côté du tapis mesure $(x + 4)$ mètres.

1. a) Écrire l'expression de l'aire du tapis sous la forme du carré d'un binôme.
2. b) Développer le binôme pour obtenir le polynôme qui représente l'aire.

Une erreur très courante quand on débute avec les identités remarquables est de penser que le carré d'une somme est simplement la somme des carrés. Par exemple :

Est-il vrai que $(x + 3)^2 = x^2 + 3^2$ ?

Pour le vérifier, calculer la valeur numérique des deux expressions pour $x = 2$ et expliquer si les résultats sont égaux ou différents.

Pour calculer mentalement le résultat de l'opération $105^2 - 95^2$ sans calculatrice, Marc et Hélène proposent deux stratégies différentes :

• Méthode de Marc : effectuer séparément les deux multiplications classiques, $105 \cdot 105$ et $95 \cdot 95$, puis soustraire le second résultat du premier.

• Méthode d'Hélène : reconnaître que l'expression est une différence de deux carrés de la forme $a^2 - b^2$, la transformer en produit d'une somme par une différence et effectuer les opérations obtenues.

1. a) Appliquer la méthode proposée par Hélène en détaillant pas à pas le calcul numérique jusqu'à la valeur finale.
2. b) Comparer les deux méthodes et justifier pourquoi celle d'Hélène est beaucoup plus avantageuse, en analysant la difficulté des opérations intermédiaires de chaque démarche.

Une association d'irrigants de la plaine de la Crau dispose d'une parcelle de culture carrée de côté $x$ mètres (avec $x > 10$). Pour améliorer le réseau d'irrigation, deux options de remaniement sont étudiées :

• Option A : augmenter l'un des côtés de $5\text{ m}$ et réduire le côté perpendiculaire de $5\text{ m}$ pour creuser un canal.

• Option B : augmenter les deux côtés perpendiculaires de $5\text{ m}$ pour exploiter une bande contiguë.

1. a) Écrire la formule de l'aire obtenue avec l'option A sous la forme d'un produit de deux binômes, la développer à l'aide de l'identité remarquable correspondante et justifier si la parcelle gagne, perd ou conserve sa surface par rapport à la parcelle initiale de $x^2\text{ m}^2$.
2. b) Écrire la formule de l'aire avec l'option B sous la forme du carré d'un binôme et la développer. Si la parcelle initiale avait pour côté $x = 20\text{ m}$, calculer la différence exacte en mètres carrés entre la surface de l'option B et celle de l'option A.

Développer les expressions suivantes à l'aide des identités remarquables et réduire les termes semblables chaque fois que c'est possible :

1. a) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{4}{5} \right)^2$

1. b) $(2x^3 + 5y)^2 - (2x^3 - 5y)^2$

1. c) $(x^2 - 3)(x^2 + 3) - (x^2 - 1)^2$

Trouver le terme manquant dans chaque expression pour que le trinôme soit le développement du carré d'une somme ou d'une différence (carré parfait). Écrire ensuite la puissance correspondante :

1. a) $16x^4 + \dots + 9y^2$

1. b) $\frac{1}{4}x^2 - 5x + \dots$

1. c) $49a^6 - 28a^3b + \dots$

Simplifier les fractions algébriques suivantes en utilisant les identités remarquables pour factoriser le numérateur et le dénominateur :

1. a) $\frac{x^2 - 25}{x^2 + 10x + 25}$

1. b) $\frac{9x^2 - 12x + 4}{9x^2 - 4}$

Un concepteur d'applications crée une icône carrée pour un réseau social. Le design initial a un côté de $x$ pixels. Le client demande deux modifications : d'abord, augmenter le côté de $4$ pixels pour ajouter une bordure décorative ; ensuite, créer une version réduite dont chaque côté mesure $4$ pixels de moins que l'original.

Déterminer le polynôme qui représente la différence entre les aires de l'icône agrandie et de l'icône réduite en fonction de $x$.

Démontrer algébriquement que la différence entre les carrés de deux nombres entiers consécutifs est toujours égale à la somme de ces nombres.

(Indice : appeler $x$ le premier nombre et $x+1$ le suivant.)

Déterminer l'aire de la zone grisée sur la figure suivante. Exprimer le résultat sous la forme d'un polynôme réduit en fonction de $x$. Le côté du carré extérieur mesure $2x+3$ et le côté du carré intérieur blanc mesure $2x-3$.

Calculer la valeur numérique de l'expression $E = (3x + 4y)^2 - (3x - 4y)^2$ pour $x = \frac{1}{3}$ et $y = 5$.

Conseil : simplifier l'expression littérale à l'aide des identités remarquables avant de remplacer les valeurs.

Un fabricant de panneaux solaires a découvert que le rendement de ses panneaux s'améliore lorsqu'on utilise une configuration de cellules qui suit l'identité du produit d'une somme par une différence.

Si l'aire totale d'un panneau est donnée par le polynôme $A(x) = 16x^4 - 81y^2$, quelles sont les expressions littérales qui représentent la longueur et la largeur de ce panneau ?

Dans une fabrique de céramique de Salernes (Var), on conçoit des carreaux carrés dont l'aire est donnée par le trinôme $9x^2 + kx + 16$, où $k$ est un nombre entier.

1. a) Déduire les deux valeurs possibles du coefficient $k$ pour que l'expression représente exactement l'aire d'un carreau carré de côté $(ax + b)$ ou $(ax - b)$, avec $a$ et $b$ entiers positifs. Écrire dans chaque cas le binôme au carré associé.
2. b) En prenant la valeur positive de $k$ trouvée, les concepteurs doivent découper une zone décorative intérieure en retranchant $25$ unités à l'aire totale, ce qui donne l'expression $(3x + 4)^2 - 25$. Sans développer les carrés, factoriser cette dernière expression en produit de deux binômes du premier degré en appliquant l'identité de la somme par la différence, et simplifier les termes numériques de chaque facteur.

Lors d'un débat en classe de mathématiques, Paul affirme : « Le carré de la somme de deux nombres, $(a + b)^2$, donne toujours un résultat plus grand que la somme de leurs carrés, $a^2 + b^2$, car en le développant on ajoute toujours le terme $2 \cdot a \cdot b$ ».

1. a) Développer $(a + b)^2$ et calculer la différence algébrique $(a + b)^2 - (a^2 + b^2)$ sous forme réduite. Quel terme algébrique détermine entièrement si le résultat est supérieur, inférieur ou égal ?
2. b) Montrer que l'affirmation de Paul est fausse en donnant un contre-exemple numérique avec des nombres entiers pour lequel $(a + b)^2 < a^2 + b^2$. Ensuite, chercher s'il est possible de trouver deux nombres non nuls tels que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ et justifier la conclusion.
3. c) Énoncer avec précision la condition mathématique que doivent vérifier les signes de $a$ et $b$ pour que $(a + b)^2 > a^2 + b^2$, quand on a $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ et quand on a $(a + b)^2 < a^2 + b^2$.

Défi du thème. Concevoir l'emballage durable du futur ! Une entreprise de logistique veut redessiner ses boîtes en forme de pavé droit (polyèdres) pour minimiser le carton utilisé.

1. Mesure réelle : Mesurer avec une règle les dimensions réelles (longueur, largeur et hauteur) d'un colis que vous avez chez vous et calculer son volume approximatif.

2. Modélisation algébrique : Imaginer une nouvelle boîte à base carrée de côté $(x+4)\text{ cm}$ et de hauteur $2x\text{ cm}$. Exprimer à l'aide du langage algébrique : le binôme d'une arête de la base, le polynôme de l'aire totale du polyèdre en développant l'identité remarquable $(x+4)^2$, et le polynôme du volume. Effectuer les opérations et réduire les polynômes.

3. Simulation numérique : Dans un tableur, créer un tableau évaluant les formules de la surface et du volume pour des valeurs de $x$ allant de $4$ à $15$, avec un pas de $0,5$. Repérer la valeur de $x$ dont le volume est le plus proche de celui de votre colis réel.

4. Proposition argumentée : Rédiger un bref rapport avec le tableau, le développement algébrique et une conclusion justifiant quelle boîte utilise le mieux le matériau.

Seront évalués :

• La traduction correcte en langage algébrique et le développement des identités remarquables.

• La précision des opérations sur les monômes et les polynômes associés au polyèdre.

• L'utilisation rigoureuse du tableur pour construire le tableau et le comparer à des données réelles.

• La clarté et la justification mathématique de la proposition finale.