Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales. Comprueba si los siguientes dos triángulos son semejantes calculando el ángulo que falta en cada uno:

• El triángulo A tiene dos ángulos que miden $45^\circ$ y $75^\circ$.

• El triángulo B tiene dos ángulos que miden $75^\circ$ y $60^\circ$.

Recuerda que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es $180^\circ$.

Comprueba si estos dos triángulos son semejantes utilizando el criterio de los lados proporcionales (criterio SSS). Para ello, divide los lados correspondientes (el mayor entre el mayor, el mediano entre el mediano y el pequeño entre el pequeño) y mira si obtienes el mismo resultado.

• Triángulo 1: Lados de $6$ cm, $9$ cm y $12$ cm.

• Triángulo 2: Lados de $4$ cm, $6$ cm y $8$ cm.

Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual de $37^\circ$. ¿Podemos afirmar que son semejantes? Justifica tu respuesta utilizando los criterios de semejanza de triángulos.

Dos alumnos de 2.° de secundaria, Lucía y Marcos, están comprobando si dos velas triangulares de sus barcos de vela ligera son semejantes. La vela de Lucía tiene dos ángulos que miden $65^\circ$ y $45^\circ$. La vela de Marcos tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $70^\circ$.

a) Calcula el tercer ángulo de cada una de las velas.

b) Razona, utilizando los criterios de semejanza, si las dos velas tienen la misma forma (son semejantes).

Disponemos de dos triángulos isósceles. El primero tiene un ángulo desigual de $40^\circ$ y sus lados iguales miden $10\text{ cm}$ cada uno. El segundo tiene también un ángulo desigual de $40^\circ$ pero sus lados iguales miden $15\text{ cm}$.

a) ¿Son semejantes estos dos triángulos? Justifica tu respuesta citando el criterio de semejanza aplicado.

b) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el segundo y el primero?

c) Si la base del primer triángulo mide $6.84\text{ cm}$, ¿cuánto medirá la base del segundo?

Calcula la razón de semejanza $k$ que convierte al triángulo pequeño en el triángulo grande, sabiendo que son semejantes. Una vez hallada la $k$, indica cuánto debe medir el lado marcado con la letra $x$.

Calcula la medida de los lados de un triángulo semejante a otro cuyos lados miden $5$ cm, $7$ cm y $9$ cm, si la razón de semejanza es $k = 3$. ¿Cómo será el nuevo triángulo, más grande o más pequeño que el original?

La alcaldía quiere instalar una rampa de acceso para sillas de ruedas. El diseño original es un triángulo rectángulo de base $4$ metros y altura $0.8$ metros. Por normativa, deben ampliar la base hasta los $6$ metros manteniendo la misma inclinación (ángulo).

a) ¿Qué altura tendrá la nueva rampa?

b) Si para la rampa original se necesitaban $4.08$ metros de superficie de rodamiento (hipotenusa), ¿cuántos metros se necesitarán para la rampa ampliada?

Considera dos triángulos rectángulos. El primero tiene catetos de $3$ cm y $4$ cm. El segundo triángulo es semejante al primero y su hipotenusa mide $15$ cm. Calcula el perímetro y el área de este segundo triángulo. (Pista: primero halla la hipotenusa del triángulo original para determinar la razón de semejanza).

Marta ha dibujado dos triángulos en posición de Tales. Sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos, calcula la medida del lado $x$ utilizando la proporción entre sus lados correspondientes.

Utiliza el Teorema de Tales para hallar el valor de $x$ en la siguiente figura, donde las baldas de la estantería triangular son paralelas a la base.

En el diseño de una estructura metálica para un tejado, se utilizan dos vigas paralelas para reforzar la armadura principal. Sabiendo que los triángulos que se forman están en posición de Tales, calcula la longitud de los segmentos marcados como $x$ e $y$ en el siguiente esquema:

(Nota: En la base, el segmento pequeño mide $4\text{ m}$ y el total $10\text{ m}$. En el faldón inclinado, el segmento pequeño mide $5\text{ m}$. Halla $x$, la base restante, e $y$, el segmento restante del faldón inclinado).

Calcula la distancia entre los puntos $B$ y $D$ de la siguiente figura, sabiendo que los segmentos $BC$ y $DE$ son paralelos y que los puntos $A$, $B$ y $D$ están alineados, al igual que $A$, $C$ y $E$. Los datos conocidos son: $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ y $DE = 12.5\text{ cm}$.

Un dron está sobrevolando un parque a una altura de $15$ metros. Su cámara proyecta un campo de visión triangular en el suelo. Si el dron sube hasta una altura de $45$ metros:

a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo de visión original y el nuevo?

b) Si el perímetro del área que cubría en el suelo era de $120$ metros, ¿cuál será el perímetro de la nueva área?

c) Si la superficie (área) cubierta originalmente era de $800\text{ m}^2$, ¿cuál será la superficie cubierta a la nueva altura?

Dos secantes se cortan en un punto $V$. Sobre una de ellas se marcan los puntos $A$ y $B$, y sobre la otra los puntos $C$ y $D$, de tal forma que los segmentos $AC$ y $BD$ son paralelos (configuración de Tales). Si sabemos que $VA = 9$ cm, $VB = 15$ cm y el área del triángulo menor $VAC$ es de $27$ $cm^2$, calcula el área del cuadrilátero $ABDC$ sabiendo que los triángulos son semejantes.

Una pantalla de cine de verano proyecta una imagen desde un foco situado a $12$ metros de distancia. La pantalla original tiene una superficie de $24$ $m^2$. Si acercamos la pantalla hacia el proyector hasta colocarla justo a la mitad de la distancia ($6$ metros del foco), la imagen proyectada será más pequeña pero conservará la misma forma. ¿Cuál será el área de la imagen en esta nueva posición? Razona tu respuesta utilizando la relación entre la razón de semejanza y el área.

Para calcular la anchura de un río sin cruzarlo, un topógrafo coloca varias estacas como se muestra en la figura. Los triángulos formados, $ABC$ y $CDE$, son semejantes porque las orillas son paralelas y las líneas de visión se cruzan en el punto $C$. Si las medidas tomadas son $AB = 24$ m, $BC = 30$ m y $CD = 15$ m, determina la anchura del río ($ED$) y explica qué criterio de semejanza has aplicado.

Un arquitecto presenta una maqueta de un centro cultural con forma de pirámide de base triangular. La razón de semejanza entre la maqueta y el edificio real es de $1:150$. Si el volumen de la maqueta es de $0.8$ $dm^3$, ¿cuál será el volumen del edificio real expresado en metros cúbicos ($m^3$)? Recuerda aplicar correctamente la relación entre la razón de semejanza y el volumen.

En un triángulo $ABC$, el lado $AB$ mide $12$ cm y el lado $AC$ mide $15$ cm. Trazamos un segmento $PQ$ paralelo al lado $BC$, de tal forma que el punto $P$ está en $AB$ y el punto $Q$ está en $AC$. Si el segmento $AP$ mide la tercera parte de lo que mide el segmento $PB$, calcula las longitudes de los segmentos $AP$ y $AQ$. Justifica tu respuesta basándote en el Teorema de Tales.

Un árbol proyecta una sombra de $12$ metros. En ese mismo instante, un bastón de $1.5$ metros clavado verticalmente en el suelo proyecta una sombra de $2$ metros. ¿Qué altura tiene el árbol? Explica por qué los triángulos formados por el árbol y el bastón con sus sombras son semejantes.

Para medir la altura de una canasta de baloncesto, un grupo de estudiantes utiliza un palo de $1.5$ metros colocado verticalmente. En el mismo instante en que la sombra del palo mide $1.2$ metros, la sombra de la canasta proyectada en el suelo mide $2.4$ metros. Calcula la altura de la canasta aprovechando la semejanza de los triángulos formados por el sol.

Daniel quiere medir la profundidad de un pozo circular de $1.6$ metros de diámetro. Para ello, se aleja $0.8$ metros del borde hasta que, desde una altura de $1.75$ metros (la de sus ojos), consigue ver exactamente el borde del fondo del pozo. Utiliza la semejanza de triángulos para hallar la profundidad del pozo.

Un grupo de estudiantes de 2º de ESO quiere medir la altura de la torre de comunicación de su ciudad. Para ello, utilizan un poste vertical de $2.5$ metros de altura. Colocan el poste de tal manera que, en un momento determinado, el extremo de la sombra de la torre y el del poste coinciden en el mismo punto del suelo. Si la distancia entre la base del poste y el punto donde terminan las sombras es de $3.2$ metros, y la distancia entre la base de la torre y la base del poste es de $18.4$ metros, calcula la altura de la torre.

Un carpintero está diseñando una estantería reforzada con un travesaño en forma de triángulo rectángulo. En el triángulo de la base, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $18$ cm y $32$ cm. El carpintero necesita saber la longitud de los dos listones que forman los catetos del triángulo para comprarlos. Calcula la medida de ambos catetos y la altura del travesaño utilizando las relaciones de semejanza en triángulos rectángulos.