Problemas con ecuaciones
Wilkin va al colmado y compra 3 refrescos y un paquete de galletas de $\text{RD}\$90$. En total paga $\text{RD}\$330$. ¿Cuánto cuesta cada refresco? Resolver una ecuación ya sabes hacerlo. Lo difícil es plantearla, convertir lo que dice el problema en una igualdad. Con un método y unas cuantas plantillas, casi todos los problemas se vuelven rutina.
El método en cuatro pasos
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Elige la incógnita y escribe qué significa. Por ejemplo: «$x$ = precio de un refresco».
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Traduce cada dato del enunciado usando esa letra.
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Plantea la ecuación con la condición que dice el problema y resuélvela.
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Comprueba el resultado en el enunciado (no solo en la ecuación) y responde con una frase y con unidades.
Si al triple de un número le sumamos $12$, obtenemos como resultado $48$. ¿De qué número se trata?
Si al triple de un número le sumamos $12$, obtenemos como resultado $48$. ¿De qué número se trata?
Marta compró $3$ camisetas iguales para el equipo de atletismo y un pantalón de deporte que costaba $\text{RD\$}\ 900$. Si en total gastó $\text{RD\$}\ 3\,600$, ¿cuánto…
Marta compró $3$ camisetas iguales para el equipo de atletismo y un pantalón de deporte que costaba $\text{RD\$}\ 900$. Si en total gastó $\text{RD\$}\ 3\,600$, ¿cuánto costó cada camiseta?
En una tienda de videojuegos, vendieron el doble de consolas portátiles que de consolas de sobremesa. Si en total vendieron $18$ consolas, ¿cuántas vendieron de cada…
En una tienda de videojuegos, vendieron el doble de consolas portátiles que de consolas de sobremesa. Si en total vendieron $18$ consolas, ¿cuántas vendieron de cada tipo?
Números consecutivos y cifras
Consecutivos: si el primero es $x$, los siguientes son $x+1$, $x+2$, etc.
Número de dos cifras: si la cifra de las decenas es $x$ y la de las unidades es $y$, el número vale $10x + y$. Por ejemplo, $47 = 10 \cdot 4 + 7$. Si se invierten las cifras, el número es $10y + x$.
Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea igual a $54$.
Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea igual a $54$.
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea $15$ unidades mayor que el tercer número.
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea $15$ unidades mayor que el tercer número.
Un número tiene dos cifras que suman $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el número original. Halla el…
Un número tiene dos cifras que suman $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el número original. Halla el número original utilizando una ecuación con una sola incógnita (Pista: recuerda que un número de dos cifras se puede escribir como $10x + y$).
Problemas de edades
En las edades usa una tabla con «hoy» y «dentro de / hace» tantos años. El tiempo pasa igual para todos: se suma (o resta) lo mismo a cada edad.
| Hoy | Dentro de 8 años | Hace 5 años | |
|---|---|---|---|
| Hijo | $x$ | $x + 8$ | $x - 5$ |
| Padre (el triple) | $3x$ | $3x + 8$ | $3x - 5$ |
Álvaro tiene $4$ años más que su hermana Lucía. Si la suma de las edades de ambos es de $26$ años, ¿qué edad tiene cada uno de los hermanos?
Álvaro tiene $4$ años más que su hermana Lucía. Si la suma de las edades de ambos es de $26$ años, ¿qué edad tiene cada uno de los hermanos?
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Hace $6$ años, la suma de las edades de ambos era de $40$ años. ¿Qué edad tienen el hijo y la madre en…
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Hace $6$ años, la suma de las edades de ambos era de $40$ años. ¿Qué edad tienen el hijo y la madre en la actualidad?
La edad de un padre es hoy el triple de la de su hijo. Hace $6$ años, la edad del padre era cinco veces la edad que tenía su hijo en aquel momento. ¿Cuántos años deben…
La edad de un padre es hoy el triple de la de su hijo. Hace $6$ años, la edad del padre era cinco veces la edad que tenía su hijo en aquel momento. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la suma de las edades del padre y del hijo sea de exactamente $100$ años?
Comparar cantidades
Muchos problemas dicen cosas como «el triple de…», «12 menos que…» o «si uno gana y el otro pierde, quedan iguales». Se traducen así:
| En palabras | En álgebra |
|---|---|
| el doble de $x$ | $2x$ |
| 12 menos que $x$ | $x - 12$ |
| la mitad de $x$ | $\dfrac{x}{2}$ |
| $A$ y $B$ quedan iguales | $A = B$ |
En una red social, el número de seguidores de Alba es el triple que el de su hermano Javier. Si Alba perdiera $150$ seguidores y Javier ganara $50$, ambos tendrían…
En una red social, el número de seguidores de Alba es el triple que el de su hermano Javier. Si Alba perdiera $150$ seguidores y Javier ganara $50$, ambos tendrían exactamente la misma cantidad. ¿Cuántos seguidores tiene cada uno actualmente?
Marcos ha comprado un videojuego y unos auriculares para su consola. Los auriculares le han costado $720$ pesos menos que el videojuego. Si el videojuego estuviera…
Marcos ha comprado un videojuego y unos auriculares para su consola. Los auriculares le han costado $720$ pesos menos que el videojuego. Si el videojuego estuviera rebajado a la mitad de su precio original, Marcos habría pagado $2\,880$ pesos por las dos cosas juntas. ¿Cuál es el precio original de cada artículo?
Una empresa de mensajería utiliza furgonetas y motos. Las furgonetas tienen $4$ ruedas y las motos $2$. En total hay $24$ conductores (uno por vehículo) y $64$ ruedas.…
Una empresa de mensajería utiliza furgonetas y motos. Las furgonetas tienen $4$ ruedas y las motos $2$. En total hay $24$ conductores (uno por vehículo) y $64$ ruedas. Por problemas logísticos, el costo de mantenimiento diario es de $900$ pesos por furgoneta y $360$ pesos por moto. Si el presupuesto total diario de mantenimiento es de $15\,000$ pesos, ¿cuántos conductores de furgoneta deberían pasar a manejar motos para no exceder el presupuesto sin cambiar el número total de vehículos?
Dos cantidades con una sola incógnita
A veces hay dos cantidades que juntas suman un total conocido (cabezas, kilos, litros). Llamamos $x$ a una y la otra es total $- x$. Después usamos la segunda condición (patas, dinero, precio) para plantear la ecuación.
Mezclas. El dinero total de la mezcla es la suma de lo que vale cada ingrediente: (cantidad × precio) de uno + (cantidad × precio) del otro $=$ cantidad total × precio de la mezcla.
Un pastor tiene una mezcla de ovejas y gallinas en su corral. Si contamos las cabezas hay un total de $20$, y si contamos las patas hay $64$. ¿Cuántas ovejas y cuántas…
Un pastor tiene una mezcla de ovejas y gallinas en su corral. Si contamos las cabezas hay un total de $20$, y si contamos las patas hay $64$. ¿Cuántas ovejas y cuántas gallinas hay en el corral? (Recuerda que las ovejas tienen $4$ patas y las gallinas $2$).
En una cafetería, han mezclado café de Colombia, que cuesta $720$ pesos/kg, con café de Brasil, que cuesta $480$ pesos/kg. Si han obtenido $20$ kg de mezcla y el precio…
En una cafetería, han mezclado café de Colombia, que cuesta $720$ pesos/kg, con café de Brasil, que cuesta $480$ pesos/kg. Si han obtenido $20$ kg de mezcla y el precio final de esta es de $540$ pesos/kg, ¿cuántos kilos de café de cada tipo han utilizado?
Un laboratorio de perfumes quiere crear una nueva fragancia mezclando dos esencias. La esencia A cuesta $120$ pesos/litro y la esencia B cuesta $75$ pesos/litro. Han…
Un laboratorio de perfumes quiere crear una nueva fragancia mezclando dos esencias. La esencia A cuesta $120$ pesos/litro y la esencia B cuesta $75$ pesos/litro. Han decidido que para obtener un frasco de $250$ ml, el coste de la mezcla debe ser de exactamente $24.75$ pesos. ¿Qué cantidad de cada esencia, medida en mililitros, debe contener el frasco?
Figuras: perímetros
En geometría, dibuja la figura y escribe sus medidas con $x$. El perímetro es la suma de todos los lados.
El perímetro de un triángulo isósceles es de $40 \text{ cm}$. Si el lado desigual mide $10 \text{ cm}$, ¿cuánto mide cada uno de los lados iguales?
El perímetro de un triángulo isósceles es de $40 \text{ cm}$. Si el lado desigual mide $10 \text{ cm}$, ¿cuánto mide cada uno de los lados iguales?
Queremos poner un marco de madera a una fotografía rectangular. Sabemos que el largo de la fotografía mide $5 \text{ cm}$ más que el ancho. Si para enmarcarla hemos…
Queremos poner un marco de madera a una fotografía rectangular. Sabemos que el largo de la fotografía mide $5 \text{ cm}$ más que el ancho. Si para enmarcarla hemos necesitado un listón de $70 \text{ cm}$ de longitud total (perímetro), ¿cuáles son las dimensiones de la fotografía?
Un agricultor quiere vallar una parcela triangular para sus ovejas. Sabiendo que se trata de un triángulo isósceles, que el lado desigual mide $5$ metros menos que cada…
Un agricultor quiere vallar una parcela triangular para sus ovejas. Sabiendo que se trata de un triángulo isósceles, que el lado desigual mide $5$ metros menos que cada uno de los lados iguales y que se han necesitado $40$ metros de valla en total, ¿cuánto mide cada lado de la parcela?
Figuras: áreas y Pitágoras
El área de un rectángulo es base $\times$ altura. Para un camino que rodea un patio, el área del camino es el área total menos el área del patio. En un triángulo rectángulo, $a^2 + b^2 = c^2$, con $c$ la hipotenusa.
Si al desarrollar queda un término $x^2$ que no se cancela, tienes una ecuación de segundo grado. Se pasa todo a un lado, se iguala a 0 y se resuelve con la fórmula cuadrática $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ o factorizando. Después se descarta la solución que no tenga sentido (una longitud negativa, por ejemplo).
Una pista de pádel rectangular tiene un perímetro de $60$ metros. Sabiendo que el largo de la pista mide $6$ metros más que el ancho, calcula las dimensiones (largo y…
Una pista de pádel rectangular tiene un perímetro de $60$ metros. Sabiendo que el largo de la pista mide $6$ metros más que el ancho, calcula las dimensiones (largo y ancho) de dicha pista.
Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su base es $3$ cm mayor que su altura y que, si aumentamos la altura en $2$ cm, el área del nuevo rectángulo…
Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su base es $3$ cm mayor que su altura y que, si aumentamos la altura en $2$ cm, el área del nuevo rectángulo aumenta en $16$ $cm^2$.
Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que sus tres lados vienen expresados por tres números naturales consecutivos. (Pista: utiliza el Teorema de…
Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que sus tres lados vienen expresados por tres números naturales consecutivos. (Pista: utiliza el Teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$, donde $c$ es el lado mayor).
Movimiento y trabajo
Movimiento uniforme: distancia = velocidad $\times$ tiempo ($d = vt$). Cuando uno alcanza al otro, ambos han recorrido la misma distancia.
Trabajo: si una llave llena el depósito en $x$ horas, en una hora llena $\dfrac{1}{x}$ del depósito. Si dos llaves funcionan juntas, lo que llenan en una hora se suma.
En una competición de robótica, un robot sale de la meta a una velocidad constante de $2$ m/s. Treinta segundos después, un segundo robot sale en su persecución a una…
En una competición de robótica, un robot sale de la meta a una velocidad constante de $2$ m/s. Treinta segundos después, un segundo robot sale en su persecución a una velocidad de $3.5$ m/s. Si la pista tiene una longitud total de $150$ metros antes de llegar a una zona de obstáculos, ¿logrará el segundo robot alcanzar al primero antes de que este entre en la zona de obstáculos? Plantea la ecuación y justifica la respuesta calculando la distancia del alcance.
Un depósito de agua se llena mediante dos llaves. La llave A tarda $6$ horas más que la llave B en llenar el depósito por separado. Si se abren ambas a la vez, el…
Un depósito de agua se llena mediante dos llaves. La llave A tarda $6$ horas más que la llave B en llenar el depósito por separado. Si se abren ambas a la vez, el depósito se llena en exactamente $4$ horas. Calcula cuánto tiempo tardaría la llave B en llenar el depósito ella sola. (Este problema requiere resolver una ecuación de segundo grado).