Experiencias aleatorias y espacio muestral
En el sorteo de la tanda del barrio nadie sabe quién saldrá primero. Cuando lanzas una moneda antes de un juego de béisbol en el play, tampoco sabes si saldrá cara o cruz. Eso tiene un nombre en Matemática: azar. ¿Se puede decir algo con seguridad sobre lo que no se puede predecir? Sí: podemos saber qué resultados son posibles y cuántos hay. Empecemos.
Experimentos aleatorios y espacio muestral
Un espacio muestral no siempre son números del 1 al $n$. Si anotas el palo de una carta, $E$ tiene palabras; si anotas los goles de un equipo, $E = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$.
Indica si cada uno de estos experimentos es aleatorio o determinista, y justifica tu respuesta: a) Calentar agua hasta $100$ °C y comprobar si hierve. b) Lanzar una…
Indica si cada uno de estos experimentos es aleatorio o determinista, y justifica tu respuesta:
a) Calentar agua hasta $100$ °C y comprobar si hierve.
b) Lanzar una moneda y anotar si sale cara.
c) Medir cuánto tarda en caer al suelo una hoja de papel arrugada lanzada desde una mesa.
d) Anotar el color del primer carro que pase por la calle.
e) Calcular el precio de $3$ kg de naranjas a $\text{RD\$}\ 144$ el kilo.
Escribe el espacio muestral de cada experimento aleatorio: a) Lanzar un dado y anotar la cara superior. b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras. c) Extraer una…
Escribe el espacio muestral de cada experimento aleatorio:
a) Lanzar un dado y anotar la cara superior.
b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras.
c) Extraer una carta de una baraja española y anotar el palo.
Escribe el espacio muestral de estas experiencias: a) Sacar una bola de un bombo con bolas numeradas del $1$ al $10$. b) Lanzar un dado tetraédrico con las caras…
Escribe el espacio muestral de estas experiencias:
a) Sacar una bola de un bombo con bolas numeradas del $1$ al $10$.
b) Lanzar un dado tetraédrico con las caras numeradas del $1$ al $4$.
c) Anotar el número de goles que marcará un equipo en su próximo partido.
Eventos: seguro, posible e imposible
Un evento es un resultado o un conjunto de resultados del experimento (en algunos libros se le llama también suceso).
| Evento | Qué significa | Ejemplo con un dado |
|---|---|---|
| Seguro | Ocurre siempre | «sacar un número menor que 7» |
| Posible | Puede ocurrir, pero no es seguro | «sacar un 4» |
| Imposible | No puede ocurrir nunca | «sacar un 8» |
Entre «posible» y «seguro» hay grados: si en la bolsa hay 6 bolas rojas y 1 verde, sacar roja es muy probable; sacar verde es poco probable. Ambos siguen siendo posibles.
También se clasifican por su tamaño:
-
Evento elemental: tiene un solo resultado (en un dado, «salir 5»).
-
Evento compuesto: tiene dos o más resultados (en un dado, «salir par» = $\{2, 4, 6\}$).
En la bolsa de la figura hay $6$ bolas rojas y $1$ verde. Se extrae una bola al azar. Clasifica estos eventos como seguro, muy probable, poco probable o imposible: a)…
En la bolsa de la figura hay $6$ bolas rojas y $1$ verde. Se extrae una bola al azar.
Clasifica estos eventos como seguro, muy probable, poco probable o imposible:
a) Sacar bola roja.
b) Sacar bola verde.
c) Sacar bola amarilla.
d) Sacar una bola que sea roja o verde.
En el experimento «lanzar dos dados y sumar los puntos»: a) Escribe un evento seguro. b) Escribe un evento imposible. c) Escribe un evento posible que no sea ni seguro…
En el experimento «lanzar dos dados y sumar los puntos»:
a) Escribe un evento seguro.
b) Escribe un evento imposible.
c) Escribe un evento posible que no sea ni seguro ni imposible.
De una urna con bolas numeradas del $1$ al $8$ se extrae una bola al azar. Indica si estos eventos son elementales o compuestos: a) Sacar el $5$. b) Sacar un número par.…
De una urna con bolas numeradas del $1$ al $8$ se extrae una bola al azar. Indica si estos eventos son elementales o compuestos:
a) Sacar el $5$.
b) Sacar un número par.
c) Sacar un múltiplo de $3$.
d) Sacar el $8$.
En una urna hay $10$ fichas numeradas del $1$ al $10$: las del $1$ al $4$ son rojas, las del $5$ al $7$ son verdes y las del $8$ al $10$ son azules. Se extrae una ficha…
En una urna hay $10$ fichas numeradas del $1$ al $10$: las del $1$ al $4$ son rojas, las del $5$ al $7$ son verdes y las del $8$ al $10$ son azules. Se extrae una ficha al azar. Escribe los casos de cada evento:
a) A = «ficha roja».
b) B = «ficha con número par».
c) C = «ficha azul con número par».
d) D = «ficha roja o verde».
Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones: a) El espacio muestral de lanzar dos monedas y anotar los resultados es $\{CC, C+, ++\}$, y los tres casos son…
Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones:
a) El espacio muestral de lanzar dos monedas y anotar los resultados es $\{CC, C+, ++\}$, y los tres casos son equiprobables.
b) Un evento elemental está formado por un único resultado del espacio muestral.
c) El evento seguro tiene probabilidad $1$.
d) Al lanzar un dado, «salir un número mayor que $2$» es un evento compuesto.
Resultados equiprobables y una primera idea de probabilidad
Dos resultados son equiprobables cuando tienen la misma posibilidad de salir. En un dado equilibrado, las seis caras lo son. En una ruleta con sectores de distinto tamaño, no: el color con el sector más grande es el más probable, y los sectores iguales empatan.
Ojo: que un experimento tenga 3 resultados no significa que sean equiprobables. Al lanzar dos monedas, $\{CC, C+, ++\}$ parece completo, pero cara-cruz y cruz-cara son dos caminos distintos, así que el resultado «una cara y una cruz» ocurre el doble de veces que los otros.
Cuando los casos son equiprobables, la probabilidad de un evento mide qué tan posible es y se calcula así:
$$P(\text{evento}) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$$Los casos favorables son los que cumplen el evento; los posibles son todos los casos equiprobables. Esta regla se estudia a fondo en el apartado de la regla de Laplace; aquí la usamos para comparar eventos.
Observa la ruleta de la figura. a) ¿Qué color tiene más probabilidades de salir al girar la aguja? ¿Y cuál menos? b) ¿Hay colores con la misma probabilidad? ¿Cuáles? c)…
Observa la ruleta de la figura.
a) ¿Qué color tiene más probabilidades de salir al girar la aguja? ¿Y cuál menos?
b) ¿Hay colores con la misma probabilidad? ¿Cuáles?
c) Ordena los colores de más probable a menos probable.
Experimentos compuestos: tabla de doble entrada
Cuando el experimento tiene varias etapas (dos dados, una moneda y un dado…), para no perder ningún resultado se usa una tabla de doble entrada: una fila por cada resultado de la primera etapa y una columna por cada resultado de la segunda. Cada casilla es un resultado.
Lanza los dos dados muchas veces y observa qué sumas salen más a menudo:
Se lanzan una moneda y un dado. Copia y completa en tu cuaderno la tabla de doble entrada con todos los resultados posibles: | | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |…
Se lanzan una moneda y un dado. Copia y completa en tu cuaderno la tabla de doble entrada con todos los resultados posibles:
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| C | C$1$ | |||||
| + | +$6$ |
a) ¿Cuántos resultados distintos hay?
b) ¿Cuántos incluyen cara?
c) ¿Cuántos incluyen un número par?
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos. a) Completa en tu cuaderno una tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles. b) Escribe el espacio muestral…
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos.
a) Completa en tu cuaderno una tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles.
b) Escribe el espacio muestral del experimento.
c) ¿Cuántos casos dan suma $7$? Enuméralos.
d) ¿Son equiprobables todos los resultados del espacio muestral? Razona tu respuesta.
Se lanzan un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y un dado cúbico (del $1$ al $6$), y se anota la suma. a) Construye una tabla de doble entrada con todos…
Se lanzan un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y un dado cúbico (del $1$ al $6$), y se anota la suma.
a) Construye una tabla de doble entrada con todos los resultados.
b) Escribe el espacio muestral. ¿Cuántos elementos tiene?
c) Escribe los casos del evento «sumar $8$».
Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles y cuenta los casos de cada evento: a) Suma par.…
Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles y cuenta los casos de cada evento:
a) Suma par.
b) Suma múltiplo de $3$.
c) Suma mayor que $8$.
d) Suma igual a $1$.
Se lanzan dos dados y se multiplican los puntos. a) Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con los $36$ productos posibles. b) ¿Cuántos casos dan un producto…
Se lanzan dos dados y se multiplican los puntos.
a) Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con los $36$ productos posibles.
b) ¿Cuántos casos dan un producto par?
c) ¿Cuántos casos dan un producto mayor que $20$?
d) ¿Cuál es el producto que aparece con más frecuencia en la tabla?
Al lanzar dos dados y sumar los puntos, Nora afirma: «El espacio muestral es $\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$, que son $11$ casos, así que la probabilidad de obtener suma $12$…
Al lanzar dos dados y sumar los puntos, Nora afirma: «El espacio muestral es $\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$, que son $11$ casos, así que la probabilidad de obtener suma $12$ es $\frac{1}{11}$».
a) Explica el error de su razonamiento.
b) Calcula correctamente la probabilidad de obtener suma $12$.
c) ¿Cuál es la suma más probable? ¿Por qué?
Diagramas de árbol
Cuando hay dos, tres o más etapas con pocas opciones cada una, el diagrama de árbol es muy claro: cada rama es una posibilidad y cada camino completo, de la raíz a la punta, es un resultado.
Principio de multiplicación: si una etapa tiene $m$ opciones y otra $n$, en total hay $m \times n$ resultados. Por ejemplo, 3 camisetas, 2 pantalones y 2 pares de tenis dan $3 \times 2 \times 2 = 12$ uniformes. Un código de 3 ruedas con 4 símbolos cada una da $4 \times 4 \times 4 = 64$ códigos.
Se lanzan tres monedas, como muestra el diagrama de árbol de la figura. a) ¿Cuántos resultados posibles hay? b) Escribe el espacio muestral. c) Escribe los casos de los…
Se lanzan tres monedas, como muestra el diagrama de árbol de la figura.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) Escribe el espacio muestral.
c) Escribe los casos de los eventos «salir exactamente $2$ caras» y «salir alguna cara».
En el comedor escolar se puede elegir un primer plato (ensalada o sopa), un segundo plato (pollo, pescado o pasta) y un postre (fruta o yogur), como muestra el diagrama…
En el comedor escolar se puede elegir un primer plato (ensalada o sopa), un segundo plato (pollo, pescado o pasta) y un postre (fruta o yogur), como muestra el diagrama de la figura.
a) ¿Cuántos menús distintos se pueden formar?
b) Si un menú se elige completamente al azar, ¿cuántos incluyen pasta?
c) ¿Cuántos incluyen ensalada y yogur?
Se lanzan a la vez tres fichas: una con las caras verde y roja, otra con las caras verde y azul, y otra con las caras roja y azul. a) Dibuja un diagrama de árbol y…
Se lanzan a la vez tres fichas: una con las caras verde y roja, otra con las caras verde y azul, y otra con las caras roja y azul.
a) Dibuja un diagrama de árbol y escribe el espacio muestral.
b) ¿En cuántos resultados salen los tres colores distintos?
c) ¿En cuántos resultados hay al menos dos colores iguales?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un examen de verdadero o falso con $3$ preguntas, un alumno responde completamente al azar. a) Con ayuda de un diagrama de árbol, escribe el espacio muestral de sus…
En un examen de verdadero o falso con $3$ preguntas, un alumno responde completamente al azar.
a) Con ayuda de un diagrama de árbol, escribe el espacio muestral de sus respuestas, anotando en cada pregunta si acierta ($A$) o falla ($F$).
b) Escribe los casos del evento «acertar exactamente $2$ preguntas».
c) ¿Cuántos casos tiene el evento «fallar las $3$ preguntas»?
En el experimento de la figura se lanza una moneda: si sale cara, se extrae una bola de la urna A, y si sale cruz, de la urna B. a) Escribe el espacio muestral del…
En el experimento de la figura se lanza una moneda: si sale cara, se extrae una bola de la urna A, y si sale cruz, de la urna B.
a) Escribe el espacio muestral del experimento completo.
b) ¿Son equiprobables los cuatro resultados? Razona tu respuesta.
c) ¿En qué urna es más probable sacar bola roja?
Para entrenar, un club de baloncesto tiene $3$ camisetas (roja, azul y verde), $2$ pantalones (negro y blanco) y $2$ pares de tenis (modelo A y modelo B). a) Dibuja un…
Para entrenar, un club de baloncesto tiene $3$ camisetas (roja, azul y verde), $2$ pantalones (negro y blanco) y $2$ pares de tenis (modelo A y modelo B).
a) Dibuja un diagrama de árbol y calcula cuántos uniformes distintos se pueden formar.
b) ¿Cuántos uniformes incluyen la camiseta roja?
c) ¿Cuántos incluyen el pantalón negro y los tenis del modelo A?
El código de un casillero del polideportivo tiene $3$ ruedas, cada una con $4$ símbolos: círculo, triángulo, cuadrado y estrella. a) ¿Cuántos códigos distintos se pueden…
El código de un casillero del polideportivo tiene $3$ ruedas, cada una con $4$ símbolos: círculo, triángulo, cuadrado y estrella.
a) ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?
b) ¿Cuántos códigos empiezan con estrella?
c) ¿Cuántos códigos tienen los tres símbolos iguales?
Un juego de dominó tiene $28$ fichas, cada una con dos números del $0$ al $6$, sin repetir ninguna pareja. a) ¿Cuántas fichas contienen el número $6$? Enuméralas. b)…
Un juego de dominó tiene $28$ fichas, cada una con dos números del $0$ al $6$, sin repetir ninguna pareja.
a) ¿Cuántas fichas contienen el número $6$? Enuméralas.
b) ¿Cuántas fichas son dobles (los dos números iguales)?
c) Describe el evento «la ficha contiene el $6$ o es doble» contando cuántos casos tiene.
Compara estas dos experiencias con urnas: Experiencia 1: de una bolsa con $3$ bolas verdes y $1$ roja se extrae una bola al azar. Experiencia 2: se lanza una moneda;…
Compara estas dos experiencias con urnas:
-
Experiencia 1: de una bolsa con $3$ bolas verdes y $1$ roja se extrae una bola al azar.
-
Experiencia 2: se lanza una moneda; solo si sale cara, se extrae una bola de una urna con $2$ bolas rojas y $1$ verde.
a) Escribe el espacio muestral de cada experiencia.
b) ¿En cuál de las dos es más fácil obtener bola roja? Razona la respuesta calculando y comparando la probabilidad de obtener bola roja en cada una.
Vuelve al principio: no sabes qué saldrá en un sorteo o en una moneda, pero sí puedes listar todos los resultados posibles. Con dos dados, la suma más probable es $7$, con $6$ de los $36$ casos.