Proporcionalidad inversa
Cuatro personas limpian el play del liceo en 30 minutos. Si llegan 2 más y trabajan 6, tardarán menos tiempo, pero ¿cuánto menos? Cuantas más llaves abres para llenar un tanque, menos horas necesitas. En estos problemas, al multiplicar una magnitud por un número, la otra se divide. Eso es la proporcionalidad inversa.
¿Qué es la proporcionalidad inversa?
Ejemplos: el número de obreros y los días que tardan en una obra; la velocidad de una guagua y el tiempo del viaje de Santiago a Santo Domingo; el número de amigos y lo que paga cada uno al dividir una cuenta.
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa: a) El número de personas que pintan una valla y el tiempo…
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa:
- a) El número de personas que pintan una valla y el tiempo que tardan en terminarla.
- b) El número de kilos de manzanas que compras y el precio total que pagas.
- c) La velocidad a la que circula un tren y el tiempo que emplea en recorrer la distancia entre dos ciudades.
- d) El número de páginas de un libro y su peso.
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que…
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que trabajen al mismo ritmo, ¿cuántas horas tardarán en montar el mismo escenario?
El producto constante
En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada columna es el mismo:
| Personas | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Minutos | 60 | 30 | 20 | 15 |
Aquí $k = 2 \times 60 = 4 \times 30 = 6 \times 20 = 8 \times 15 = 120$. Si el producto cambia en alguna columna, la relación no es inversa.
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$. |…
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$.
| Magnitud $A$ | $2$ | $4$ | $8$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|
| Magnitud $B$ | $12$ | $6$ | ... | ... |
Un grupo de amigos quiere alquilar una van para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $900$ pesos. Calcula cuánto tendría que pagar cada uno si…
Un grupo de amigos quiere alquilar una van para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $900$ pesos. Calcula cuánto tendría que pagar cada uno si finalmente se unen $10$ personas al viaje.
Para montar el escenario de un festival de música, $8$ operarios han trabajado durante $15$ horas. Si la alcaldía necesita que el montaje esté terminado en solo $10$…
Para montar el escenario de un festival de música, $8$ operarios han trabajado durante $15$ horas. Si la alcaldía necesita que el montaje esté terminado en solo $10$ horas, ¿cuántos operarios adicionales deberán contratar, suponiendo que todos trabajan al mismo ritmo?
Regla de tres inversa
Para problemas con velocidad y tiempo, o con caudal y tiempo, también vale: la distancia (o el volumen) es fijo, así que velocidad × tiempo es constante. Si marcas $90$ km/h durante $4$ horas, el recorrido es $360$ km; a $60$ km/h tardas $360 : 60 = 6$ horas.
Los engranajes también son inversos: la rueda con más dientes gira más despacio. Dientes × vueltas por minuto es constante.
Cuando un enunciado pide repartir de forma inversamente proporcional, se reparte en proporción a los inversos: por ejemplo, si tardan $2$ y $4$ minutos, les corresponde en proporción $\frac12$ y $\frac14$, o sea $2 : 1$. Pasa las fracciones a un denominador común para que la proporción sea con números enteros.
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $300$ pesos en un concurso de robótica y han decidido repartirlo a partes iguales. Completa la siguiente tabla para averiguar…
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $300$ pesos en un concurso de robótica y han decidido repartirlo a partes iguales. Completa la siguiente tabla para averiguar cuánto dinero recibiría cada uno dependiendo del número de personas que formen el grupo. Indica también cuál es la constante de proporcionalidad inversa.
| Número de amigos ($x$) | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Dinero por persona ($y$) | $150$ | ? | ? | ? | ? |
En la gráfica puedes ver marcado el caso de $2$ amigos.
Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene $48$ dientes y gira a $150$ vueltas por minuto (rpm). ¿A qué velocidad girará la segunda rueda si tiene $30$…
Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene $48$ dientes y gira a $150$ vueltas por minuto (rpm). ¿A qué velocidad girará la segunda rueda si tiene $30$ dientes?
Tres amigos deciden repartirse los $282$ pesos obtenidos en un premio de un concurso de robótica de forma inversamente proporcional a los minutos que han tardado en…
Tres amigos deciden repartirse los $282$ pesos obtenidos en un premio de un concurso de robótica de forma inversamente proporcional a los minutos que han tardado en resolver su prueba final. Si el primer amigo tardó $12$ minutos, el segundo $15$ minutos y el tercero $20$ minutos, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno?
Vuelve al principio: si 4 personas tardan 30 minutos, la constante es $4 \times 30 = 120$ personas·minuto. Con 6 personas tardarán $120 : 6 = 20$ minutos.