Te conviene dominar: Porcentajes (1° de secundaria (primer ciclo))
Comprar fundas para controles, mezclar pintura sin que cambie el tono, saber cuánto dinero tendrás en la cooperativa dentro de tres años o calcular cuántos metros cuadrados reales tiene una piscina dibujada en un plano. Son problemas muy distintos, pero se resuelven con las mismas herramientas: decidir qué tipo de relación hay entre las magnitudes y aplicar bien el porcentaje, el interés o la escala.
Directa o inversa: lo primero es decidir
Una tienda vende un paquete de 3 fundas para controles a 720 pesos. Para 15 controles hacen falta más fundas, así que se paga más dinero: es directa. En cambio, cuantas más personas repartan unos regalos, menos tiempo tarda el grupo: es inversa.
Practica★☆☆Sin empezar
En una tienda de videojuegos, un paquete de $3$ fundas para controles cuesta $720$ pesos. Si queremos comprar fundas para todos los controles de una asociación juvenil,…
En una tienda de videojuegos, un paquete de $3$ fundas para controles cuesta $720$ pesos. Si queremos comprar fundas para todos los controles de una asociación juvenil, que son $15$ controles en total, ¿cuánto dinero necesitaremos?
Un grupo de $4$ amigos ha ganado un premio en un concurso de redes sociales y han tardado $30$ minutos en repartirse los regalos. Si el grupo hubiera sido de $6$ amigos…
Un grupo de $4$ amigos ha ganado un premio en un concurso de redes sociales y han tardado $30$ minutos en repartirse los regalos. Si el grupo hubiera sido de $6$ amigos y se repartieran los regalos al mismo ritmo, ¿cuántos minutos habrían tardado? (Supón que todos los amigos ayudan a repartir y que la cantidad de regalos es la misma en ambos casos).
Una protectora de animales está preparando raciones de comida para sus perros. Han calculado que con $45\text{ kg}$ de pienso pueden alimentar a $12$ perros durante $5$…
Una protectora de animales está preparando raciones de comida para sus perros. Han calculado que con $45\text{ kg}$ de pienso pueden alimentar a $12$ perros durante $5$ días. Si mañana llegan $3$ perros nuevos a la protectora y no reciben más suministro de comida, ¿cuántos días durarán las raciones para el total de los animales? Supón que todos los perros comen la misma cantidad cada día.
Indica si las magnitudes (número de perros y días que dura el pienso) son directa o inversamente proporcionales entre sí antes de realizar los cálculos.
Una mezcla mantiene su «receta» solo si todos los ingredientes cambian por el mismo factor.
Repartos proporcionales
Repartir directamente proporcional a unas cantidades significa que cada quien paga o recibe en proporción a lo que aporta. Se divide el total entre la suma de las partes y se multiplica por la parte de cada uno.
Mezclas con precios
El precio de una mezcla es un promedio ponderado: el dinero total de la mezcla dividido entre los kilos totales.
Practica★☆☆Sin empezar
Para pintar una de las paredes de tu habitación, has mezclado $2$ litros de pintura blanca con $500$ ml de tinte azul. Si ahora quieres pintar el resto de la habitación…
Para pintar una de las paredes de tu habitación, has mezclado $2$ litros de pintura blanca con $500$ ml de tinte azul. Si ahora quieres pintar el resto de la habitación usando la misma tonalidad y necesitas gastar $6$ litros de pintura blanca, ¿qué cantidad de tinte azul debes añadir?
Tres hermanos, Lucía, Marcos y David, quieren comprar un regalo de cumpleaños a su madre que cuesta $\text{RD\$}\ 132…
Tres hermanos, Lucía, Marcos y David, quieren comprar un regalo de cumpleaños a su madre que cuesta $\text{RD\$}\ 132$. Deciden repartir el pago de forma directamente proporcional a sus ahorros mensuales. Lucía ahorra $\text{RD\$}\ 25$ al mes, Marcos $\text{RD\$}\ 35$ y David $\text{RD\$}\ 50$. ¿Qué cantidad de dinero debe aportar cada uno para el regalo?
Se quiere obtener una mezcla de café de alta calidad a un precio de $10.20$ pesos/kg. Para ello, se mezclan $30$ kg de un café de tipo A que cuesta $12$ pesos/kg con una…
Se quiere obtener una mezcla de café de alta calidad a un precio de $10.20$ pesos/kg. Para ello, se mezclan $30$ kg de un café de tipo A que cuesta $12$ pesos/kg con una cierta cantidad de café de tipo B que cuesta $7.50$ pesos/kg.
a) ¿Cuántos kilos de café de tipo B se necesitan?
b) Si una vez hecha la mezcla se decide subir el precio un $5\%$ por gastos de envasado, ¿cuál será el precio final de un paquete de $250$ gramos?
A veces intervienen tres o más magnitudes. Se compara cada una con la incógnita y se decide si es directa o inversa. Un camino muy seguro es reducir a la unidad: calcular cuánto produce una sola persona (o máquina) en una sola hora.
Practica★★☆Sin empezar
Tres impresoras 3D funcionando durante $6$ horas diarias han conseguido fabricar $120$ piezas para un proyecto escolar en $4$ días. Si el centro educativo adquiere una…
Tres impresoras 3D funcionando durante $6$ horas diarias han conseguido fabricar $120$ piezas para un proyecto escolar en $4$ días. Si el centro educativo adquiere una impresora 3D más y todas trabajan $8$ horas diarias, ¿cuántos días tardarán en fabricar un pedido urgente de $200$ piezas idénticas?
En las elecciones al consejo escolar de un liceo, el $12\%$ de los alumnos votó por la candidata A, el $35\%$ por el candidato B y el resto de los alumnos se abstuvo. Si…
En las elecciones al consejo escolar de un liceo, el $12\%$ de los alumnos votó por la candidata A, el $35\%$ por el candidato B y el resto de los alumnos se abstuvo. Si sabemos que los alumnos que no votaron fueron un total de $424$, ¿cuántos alumnos tiene el liceo en total y cuántos votos recibió el candidato B?
donde $C$ es el capital, $i$ la tasa anual (en forma decimal) y $t$ el tiempo en años.
Practica★★★Sin empezar
En un depósito bancario que ofrece un interés simple anual del $4.5\%$, se ingresa un capital durante un tiempo determinado. Al finalizar el periodo, el capital se ha…
En un depósito bancario que ofrece un interés simple anual del $4.5\%$, se ingresa un capital durante un tiempo determinado. Al finalizar el periodo, el capital se ha incrementado en un $18\%$ respecto al valor inicial.
a) ¿Cuántos años ha estado el dinero en el depósito?
b) Si los intereses generados han sido de $720$ pesos, ¿cuál era el capital inicial aportado?
En el interés compuesto, los intereses de cada año se suman al capital y desde el año siguiente también generan intereses. El dinero total al final se llama monto.
Planificación financiera
Planificar es decidir de antemano qué haces con tu dinero. Un presupuesto compara los ingresos con los gastos y reserva una parte para el ahorro.
Los actores de la planificación son quienes ahorran o piden dinero (familias, estudiantes) y las entidades que lo guardan o prestan (bancos, cooperativas). Ahorrar un poco cada mes en una cooperativa y dejar que el interés compuesto trabaje es una de las mejores formas de lograr una meta.
Movimiento: cuando dos corredores se encuentran
Con la velocidad constante, $\text{distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo}$. Si dos personas salen del mismo punto de una pista en sentidos opuestos, se acercan por los dos lados a la vez: sus velocidades se suman y entre las dos recorren la pista completa.
Practica★★★Sin empezar
Dos atletas entrenan en una pista circular de $400$ metros. El primero corre a una velocidad constante de $15$ $km/h$ y el segundo a $12$ $km/h$. Si salen al mismo…
Dos atletas entrenan en una pista circular de $400$ metros. El primero corre a una velocidad constante de $15$ $km/h$ y el segundo a $12$ $km/h$. Si salen al mismo tiempo desde el mismo punto pero en sentidos opuestos:
a) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse por primera vez?
b) ¿A qué distancia del punto de salida (medida sobre la pista) se producirá el encuentro?
Si un plano está a escala $1:k$, las longitudes reales son $k$ veces las del plano. Pero las áreas van con $k^2$ y los volúmenes con $k^3$.
Practica★★★Sin empezar
El plano de un nuevo centro deportivo está dibujado a una escala de $1:250$. En dicho plano, la piscina olímpica ocupa una superficie rectangular de $32$ $cm^2$. a)…
El plano de un nuevo centro deportivo está dibujado a una escala de $1:250$. En dicho plano, la piscina olímpica ocupa una superficie rectangular de $32$ $cm^2$.
a) ¿Cuál es la superficie real de la piscina en metros cuadrados?
b) Si el volumen real de la piscina es de $2\,500$ $m^3$, ¿cuál sería el volumen representado en el plano en $cm^3$?
Vuelve al principio: si una piscina dibujada a escala $1:100$ ocupa $35\ \text{cm}^2$ en el plano, su superficie real no es $35 \times 100$, sino $35 \times 100^2 = 350{,}000\ \text{cm}^2 = 35\ \text{m}^2$.
Resumen
¡A practicar! 4 ejercicios de nivel fácil en este apartado