Expresiones algebraicas
Yohanna, Wilkin y Pamela comparten un plan de música en el celular que cuesta $x$ pesos al mes. Cada uno paga $\dfrac{x}{3}$. No sabes cuánto cuesta el plan, pero ya conoces la cuenta que hay que hacer. Eso es el álgebra.
El lenguaje algebraico
Traducir frases y expresiones
Cada palabra clave se convierte en una operación. Cuando la frase tiene varios pasos, traduce de dentro hacia fuera, como al seguir una receta.
| Lenguaje normal | Lenguaje algebraico |
|---|---|
| El doble de un número más 5 | $2x + 5$ |
| El doble de (un número más 5) | $2(x + 5)$ |
| La mitad de un número menos 3 | $\dfrac{x}{2} - 3$ |
| Un cupón de 50 pesos sobre un precio $x$ | $x - 50$ |
También puedes aplicar un porcentaje a una suma. Un aumento de $p\,\%$ equivale a multiplicar por $1 + \dfrac{p}{100}$. Así, el ITBIS del $18\,\%$ se aplica multiplicando por $1.18$. Si un ejercicio usa otro porcentaje, el método es el mismo.
Del lenguaje algebraico al lenguaje ordinario
También se puede hacer el camino contrario: leer una expresión y contarla con palabras. Fíjate en la última operación que se hace; esa da el «título» de la frase.
Otro ejemplo rápido: $\dfrac{x + y}{2}$ es «la mitad de la suma de $x$ y $y$» (el promedio de lo que cuestan dos productos), y $x + \dfrac{y}{2}$ es «un jugo más la mitad de un pan». Los paréntesis y la barra de fracción marcan qué se hace primero.
En una tienda de videojuegos en línea, el precio de una suscripción mensual es de $x$ pesos. Traduce a lenguaje algebraico las siguientes situaciones: a) El costo de…
En una tienda de videojuegos en línea, el precio de una suscripción mensual es de $x$ pesos. Traduce a lenguaje algebraico las siguientes situaciones:
- a) El costo de tres suscripciones mensuales.
- b) El precio de una suscripción después de aplicar un cupón de descuento de $300$ pesos.
- c) Lo que paga un grupo de amigos por una suscripción mensual más un juego de $1\,500$ pesos.
- d) El doble del precio de una suscripción aumentado en $600$ pesos.
Estamos diseñando una nueva tablet cuya pantalla es rectangular. La base mide $x$ centímetros y la altura mide $5$ centímetros menos que la base. Escribe una expresión…
Estamos diseñando una nueva tablet cuya pantalla es rectangular. La base mide $x$ centímetros y la altura mide $5$ centímetros menos que la base. Escribe una expresión algebraica para el perímetro de la pantalla y simplifícala.
Un polideportivo municipal tiene una cancha de baloncesto de forma rectangular. Si la longitud de la cancha es $y$ metros y su ancho es la mitad de la longitud, escribe…
Un polideportivo municipal tiene una cancha de baloncesto de forma rectangular. Si la longitud de la cancha es $y$ metros y su ancho es la mitad de la longitud, escribe el polinomio que representa el área de la cancha en función de $y$.
En una tienda de cómics, el precio de una suscripción mensual es de $x$ pesos. Por cada cómic adicional que compres, te cobran $y$ pesos, pero si compras más de cinco,…
En una tienda de cómics, el precio de una suscripción mensual es de $x$ pesos. Por cada cómic adicional que compres, te cobran $y$ pesos, pero si compras más de cinco, te aplican un descuento de $180$ pesos sobre el total. Escribe la expresión algebraica que represente el gasto mensual de un cliente que compró $7$ cómics adicionales.
Una empresa de alquiler de patinetas eléctricas cobra una tarifa base de $B$ pesos por desbloqueo y $9$ pesos por cada minuto de uso ($m$). Además, si el usuario recorre…
Una empresa de alquiler de patinetas eléctricas cobra una tarifa base de $B$ pesos por desbloqueo y $9$ pesos por cada minuto de uso ($m$). Además, si el usuario recorre más de $5$ kilómetros, se aplica un suplemento de seguridad de $S$ pesos. A la suma de estos conceptos se le debe aplicar un $21\%$ de ITBIS.
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Escribe la expresión algebraica del costo total $C$ de un viaje si el usuario supera los $5$ km de distancia.
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Simplifica la expresión anterior realizando las operaciones posibles.
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Si la tarifa base es de $60$ pesos y el suplemento de seguridad es de $120$ pesos, ¿cuánto pagará una persona que use la patineta durante $20$ minutos y recorra $6$ km?
El valor numérico
Una raíz de un polinomio es un valor de $x$ para el que el polinomio vale $0$. Si te dan que $x = 2$ es raíz de $x^3 + kx - 6$, sustituyes $x = 2$, igualas a $0$ y despejas $k$: $8 + 2k - 6 = 0$, luego $2k = -2$ y $k = -1$.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican: a) $5x - 3$ para $x = 4$ b) $x^{2} + 2x + 1$ para $x = -2$ c)…
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican:
- a) $5x - 3$ para $x = 4$
- b) $x^{2} + 2x + 1$ para $x = -2$
- c) $2(a + b)$ para $a = 3$ y $b = 5$
- d) $\frac{10 - x}{2}$ para $x = 6$
Halla el valor numérico del polinomio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ para los valores de las variables que se indican: a) $x = 2, y = -1$ b) $x = 0, y = 10$ c)…
Halla el valor numérico del polinomio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ para los valores de las variables que se indican:
- a) $x = 2, y = -1$
- b) $x = 0, y = 10$
- c) $x = -2, y = -2$
Considera el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 4x - 12$. 1. Determina el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a…
Considera el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 4x - 12$.
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Determina el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$ es una raíz del polinomio).
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Una vez hallado $k$, calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.
Patrones: el término general
Cuando una figura o una lista de números crece siempre con la misma regla, puedes describir cualquier posición $n$ con una expresión: el término general $a_n$.
Con $n = 1$ hay $2$ puntos; con $n = 2$, $4$; con $n = 3$, $6$. Cada posición añade $2$ y no sobra nada al inicio: $a_n = 2n$.
Si las diferencias entre términos no son constantes, el patrón suele llevar $n^2$. Compáralo con los cuadrados $1, 4, 9, 16, \ldots$ y mira qué sobra o falta.
A veces, tras comparar con $n^2$, lo que sobra no es constante, sino que crece con $n$. Entonces el patrón es de la forma $a_n = n^2 + bn + c$.
Observa la siguiente serie de figuras hechas con puntos y determina la expresión algebraica del término general $a_{n}$ (donde $n$ es la posición de la figura). ¿Cuántos…
Observa la siguiente serie de figuras hechas con puntos y determina la expresión algebraica del término general $a_{n}$ (donde $n$ es la posición de la figura). ¿Cuántos puntos tendrá la figura que ocupe la posición $n=50$?
Un artista digital está creando un mosaico de píxeles que crece siguiendo un patrón determinado. En la etapa $n=1$ usa 3 píxeles, en la etapa $n=2$ usa 8 píxeles, en la…
Un artista digital está creando un mosaico de píxeles que crece siguiendo un patrón determinado. En la etapa $n=1$ usa 3 píxeles, en la etapa $n=2$ usa 8 píxeles, en la etapa $n=3$ usa 15 píxeles, y así sucesivamente.
Observa el patrón visual y realiza las siguientes tareas:
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Encuentra la expresión algebraica (término general) que determina el número de píxeles necesarios para cualquier etapa $n$.
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Si el lienzo digital tiene un límite de $1000$ píxeles, ¿podría el artista completar la etapa $n=30$? Justifica tu respuesta calculando el valor numérico.
Clasificar expresiones por sus términos
Una expresión con un solo término es un monomio. Está formada por un coeficiente (el número), una parte literal (las letras con sus exponentes) y tiene un grado, que es la suma de los exponentes de las letras. Por ejemplo, $-5ab^3$ tiene coeficiente $-5$, parte literal $ab^3$ y grado $1 + 3 = 4$.
Cuando se suman varios monomios se forma un polinomio, que recibe un nombre según el número de términos:
Identifica los elementos de los siguientes monomios completando la información de cada uno: a) $7x^{2}$ b) $-5ab^{3}$ c) $x^{4}y$ d) $\frac{3}{4}z^{2}$ Para cada uno,…
Identifica los elementos de los siguientes monomios completando la información de cada uno:
- a) $7x^{2}$
- b) $-5ab^{3}$
- c) $x^{4}y$
- d) $\frac{3}{4}z^{2}$
Para cada uno, indica: Coeficiente, Parte literal y Grado.
Clasifica las siguientes expresiones algebraicas indicando si son monomios, binomios o trinomios. En el caso de los polinomios (binomios y trinomios), indica también…
Clasifica las siguientes expresiones algebraicas indicando si son monomios, binomios o trinomios. En el caso de los polinomios (binomios y trinomios), indica también cuál es su grado.
- a) $4x^{3} - 5x + 2$
- b) $-7ab^{2}$
- c) $x^{2} + 10$
- d) $3y^{4} - 2y^{2}$
Reducir términos semejantes y operar monomios
Los términos semejantes tienen la misma parte literal (letras y exponentes iguales). Se suman o restan sus coeficientes y la parte literal no cambia: $3x + 5x - 2x = 6x$.
Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de la misma letra: $3x \cdot 2x^2 = 6x^3$. Para dividir, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes: $\dfrac{12x^4}{3x} = 4x^3$.
Cuando un monomio multiplica a un paréntesis, se reparte entre cada término (propiedad distributiva): $-4x^2(x - 5) = -4x^3 + 20x^2$. Cuidado con el signo menos delante: cambia el signo de todos los términos del paréntesis.
Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes: a) $3x + 5x - 2x$ b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$ c) $4xy + 2x - xy + 3x$ d)…
Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes:
- a) $3x + 5x - 2x$
- b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$
- c) $4xy + 2x - xy + 3x$
- d) $10n - 5 - 3n + 8$
Reduce al máximo la siguiente expresión algebraica operando con monomios y eliminando los paréntesis: $3x \times (2x^2) - 4x^2 \times (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$
Reduce al máximo la siguiente expresión algebraica operando con monomios y eliminando los paréntesis:
$3x \times (2x^2) - 4x^2 \times (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$
Operar con polinomios
Para sumar polinomios, junta los términos semejantes. Para restar, cambia el signo de todo el polinomio que se resta y luego suma. Ordena el resultado de mayor a menor grado.
Para multiplicar polinomios, cada término del primero multiplica a cada término del segundo, y después reduces. Es la misma idea que el área de un rectángulo con lados que son sumas.
Dados los polinomios $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ y $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, realiza las siguientes operaciones y ordena el polinomio resultante de mayor a menor grado:…
Dados los polinomios $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ y $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, realiza las siguientes operaciones y ordena el polinomio resultante de mayor a menor grado:
- a) $A(x) + B(x)$
- b) $A(x) - B(x)$
- c) $2 \times A(x) + 3 \times B(x)$
Un dron de vigilancia recorre una parcela rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por los polinomios $L(x) = x^2 - 3x + 5$ para el largo y $A(x) = 2x + 1$ para el…
Un dron de vigilancia recorre una parcela rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por los polinomios $L(x) = x^2 - 3x + 5$ para el largo y $A(x) = 2x + 1$ para el ancho. Obtén el polinomio que representa el área total de la parcela.
El nuevo modelo de un smartphone tiene una pantalla rectangular de cristal de dimensiones $x$ de ancho y $x+4$ de largo. Alrededor de la pantalla hay un marco o "bezel"…
El nuevo modelo de un smartphone tiene una pantalla rectangular de cristal de dimensiones $x$ de ancho y $x+4$ de largo. Alrededor de la pantalla hay un marco o "bezel" protector que tiene un grosor uniforme de $2$ cm en todos sus lados.
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Halla el polinomio reducido que expresa el área total del frontal del teléfono (pantalla más marco).
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Halla el polinomio reducido que expresa únicamente el área del marco (la zona gris).
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Si el ancho de la pantalla $x$ es de $6$ cm, ¿cuál es el área del marco?
Productos notables
Algunos productos aparecen tanto que conviene conocer su resultado directo.
Esto permite demostrar cosas con álgebra. Por ejemplo, $(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$, que es justamente $n + (n + 1)$, la suma de los dos números consecutivos.
Utiliza los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones sin realizar la multiplicación paso a paso: a) $(3x + 5)^2$ b) $(2a - 4b)^2$ c)…
Utiliza los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones sin realizar la multiplicación paso a paso:
- a) $(3x + 5)^2$
- b) $(2a - 4b)^2$
- c) $(x^2 + 3) \times (x^2 - 3)$
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando los productos notables para reducir términos: $$(3x - 5)^2 - (3x + 5)(3x - 5) - 10(3 - 3x)$$…
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando los productos notables para reducir términos:
$$(3x - 5)^2 - (3x + 5)(3x - 5) - 10(3 - 3x)$$Muestra el proceso paso a paso, indicando qué producto notable aplicaste en cada caso.
Demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es siempre igual a la suma de dichos números. Instrucciones:* 1.…
Demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es siempre igual a la suma de dichos números.
Instrucciones:
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Llama $n$ al primer número y $n+1$ al siguiente.
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Escribe la expresión de la diferencia de sus cuadrados: $(n+1)^2 - n^2$.
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Desarrolla y simplifica la expresión.
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Comprueba el resultado con los números $12$ y $13$.
Factor común y fracciones algebraicas
Extraer factor común es lo contrario de repartir con la propiedad distributiva: buscas lo que se repite en todos los términos y lo sacas fuera del paréntesis.
Los productos notables al revés sirven para factorizar: $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ y $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. Así puedes simplificar fracciones algebraicas, igual que $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.
Un caso geométrico: un círculo de radio $R$ tiene área $\pi R^2$ y un cuadrado de lado $R$ tiene área $R^2$. El área del círculo sin el cuadrado es $\pi R^2 - R^2 = R^2(\pi - 1)$, con $R^2$ como factor común.
Extrae el máximo factor común posible en las siguientes expresiones algebraicas: a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$ b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$ c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$
Extrae el máximo factor común posible en las siguientes expresiones algebraicas:
- a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
- b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$
- c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$
Se desea diseñar una zona de juegos en un parque que consiste en un gran círculo de radio $R$. Dentro de este círculo, se instalará una zona de arena cuadrada cuyo lado…
Se desea diseñar una zona de juegos en un parque que consiste en un gran círculo de radio $R$. Dentro de este círculo, se instalará una zona de arena cuadrada cuyo lado mide exactamente el radio $R$ del círculo. El resto del círculo se cubrirá con césped artificial.
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Escribe la expresión algebraica reducida para el área de la zona de césped artificial en función de $R$. Utiliza $\pi$ como símbolo.
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Extrae factor común en la expresión obtenida.
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Si el radio $R$ es de $10$ metros, calcula el área de césped (usa $\pi \approx 3.14$).
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo primero factor común y utilizando productos notables en el numerador y el denominador: $$\frac{2x^3 - 8x}{x^2 + 4x…
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo primero factor común y utilizando productos notables en el numerador y el denominador:
$$\frac{2x^3 - 8x}{x^2 + 4x + 4}$$¿Para qué valor de $x$ no tendría sentido esta expresión? (Pista: el denominador no puede ser cero).
Vuelve al principio: si el plan de música cuesta $x = 600$ pesos al mes, cada uno de los tres paga $\dfrac{600}{3} = 200$ pesos. La cuenta $\dfrac{x}{3}$ sirve para cualquier precio.