Productos notables

Lucía quiere diseñar una alfombra cuadrada para su habitación. El lado de la alfombra mide $(x + 4)$ metros.

1. a) Escribe la expresión del área de la alfombra como el cuadrado de un binomio.
2. b) Desarrolla el binomio para obtener el polinomio que representa el área.

Desarrolla las siguientes expresiones utilizando los productos notables para convertirlas en un polinomio ordenado:

1. a) $(3x + 5)^2$

1. b) $(2x - 7y)^2$

1. c) $(x^2 + 4) \times (x^2 - 4)$

1. d) $(\frac{x}{2} - 6)^2$

Completa los huecos en blanco para que las siguientes igualdades sean correctas:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + \dots x + 16$

1. b) $(a - \dots)^2 = a^2 - 6a + 9$

1. c) $(y + 5)(y - 5) = y^2 - \dots$

Copia y completa en tu cuaderno los términos que faltan para que estas expresiones formen un trinomio cuadrado perfecto o una diferencia de cuadrados:

1. a) $x^2 + 10x + \_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_)^2$

1. b) $25a^2 - \_\_\_\_ + 1 = (\_\_\_\_ - 1)^2$

1. c) $16x^2 - \_\_\_\_ = (\_\_\_\_ + 3y) \times (\_\_\_\_ - 3y)$

Relaciona en tu cuaderno cada producto notable con su expresión desarrollada correspondiente:

• A. $(x + 2)^2$

• B. $(x - 2)^2$

• C. $(x + 2)(x - 2)$

• $x^2 - 4$

• $x^2 + 4x + 4$

• $x^2 - 4x + 4$

Los productos notables también sirven para realizar cálculos mentales rápidos con números grandes. Utiliza la identidad del producto de una suma por una diferencia $(a + b) \times (a - b) = a^2 - b^2$ para calcular los siguientes productos de forma ingeniosa:

1. a) $52 \times 48$ (Pista: considera $50 + 2$ y $50 - 2$)

1. b) $99 \times 101$

1. c) $35 \times 25$

Un error muy común al empezar con los productos notables es pensar que el cuadrado de una suma es simplemente la suma de los cuadrados. Por ejemplo:

¿Es cierto que $(x + 3)^2 = x^2 + 3^2$?

Para comprobarlo, calcula el valor numérico de ambas expresiones para $x = 2$ y explica si los resultados son iguales o diferentes.

Nadia y Diego están haciendo los deberes de matemáticas y han cometido algunos errores comunes. Identifica cuál de las siguientes igualdades es incorrecta y corrígela en tu cuaderno explicando por qué está mal:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$

1. b) $(x - 5) \times (x + 5) = x^2 - 25$

1. c) $(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica desarrollando primero los productos notables y reduciendo después los términos semejantes:

$E = (2x + 1)^2 - (2x - 1)^2 + (x + 1) \times (x - 1)$

Observa la siguiente figura que representa un cuadrado de lado $(x + 3)$ al que se le ha recortado un cuadrado interior de lado $(x - 1)$. Utiliza los productos notables para escribir una expresión simplificada que represente el área sombreada en color naranja.

Una alcaldía quiere diseñar una nueva plaza cuadrada. En el centro habrá una zona ajardinada, también cuadrada, rodeada por un camino de baldosas de ancho constante.

Si el lado total de la plaza mide $(3x + 2)$ metros y el lado del jardín central mide $(3x - 2)$ metros, calcula el polinomio simplificado que representa el área destinada únicamente al camino de baldosas.

Halla el área de la zona sombreada en la siguiente figura. Expresa el resultado como un polinomio simplificado en función de $x$. El lado del cuadrado exterior mide $2x+3$ y el lado del cuadrado interior blanco mide $2x-3$.

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas utilizando los productos notables para factorizar el numerador y el denominador:

1. a) $\frac{x^2 - 25}{x^2 + 10x + 25}$

1. b) $\frac{9x^2 - 12x + 4}{9x^2 - 4}$