El sistema de numeración sexagesimal
Un faro del Malecón de Santo Domingo parpadea cada $18$ segundos y otro cada $45$ segundos. Si ahora destellan a la vez, ¿cuándo volverán a coincidir? Para responder tienes que calcular con minutos y segundos, y eso es trabajar en base $60$. En esta página aprendes a sumar, restar, multiplicar y dividir tiempos y ángulos, y resuelves el misterio de los faros.
El sistema de base 60
Un número escrito en el sistema de numeración sexagesimal usa la base $60$. Es posicional: cada posición vale $60$ veces la de su derecha. Lo usas todos los días sin darte cuenta: en el reloj y en los ángulos.
Una medida escrita con varias unidades, como $2\text{ h } 15\text{ min } 30\text{ s}$, está en forma compleja. Si la expresas con una sola unidad, está en forma incompleja.
Para pasar de incompleja a compleja haces lo contrario: divides entre $60$ y los restos son las unidades menores.
Los babilonios y la base 60
Hace unos $4{,}000$ años, los babilonios ya escribían los números en base $60$. Usaban dos cuñas: $\langle$ valía $10$ y $\curlyvee$ valía $1$. Cada posición se escribía con las cuñas necesarias, agrupadas.
| Valor | Cuñas |
|---|---|
| $12$ | $\langle\ \curlyvee\curlyvee$ |
| $45$ | $\langle\langle\langle\langle\ \curlyvee\curlyvee\curlyvee\curlyvee\curlyvee$ |
| $18$ | $\langle\ \curlyvee\curlyvee\curlyvee\curlyvee\curlyvee\curlyvee\curlyvee\curlyvee$ |
Al calcular el total, cada posición pesa $60$ veces más que la de su derecha.
El sistema de numeración sexagesimal es posicional y tiene como base el número $60$. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) En el sistema…
El sistema de numeración sexagesimal es posicional y tiene como base el número $60$. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
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a) En el sistema sexagesimal, $60$ unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.
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b) El sistema sexagesimal se utiliza actualmente para medir la temperatura.
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c) Una hora tiene $3600$ segundos.
Un arquitecto está diseñando un plano y necesita trabajar con ángulos muy precisos. Si tiene un ángulo de $45^\circ$ y $20'$, exprésalo íntegramente en minutos (forma…
Un arquitecto está diseñando un plano y necesita trabajar con ángulos muy precisos. Si tiene un ángulo de $45^\circ$ y $20'$, exprésalo íntegramente en minutos (forma incompleja).
Los antiguos babilonios utilizaban un sistema de numeración posicional en base $60$. Para representar sus cálculos astronómicos, utilizaban símbolos para el $10$…
Los antiguos babilonios utilizaban un sistema de numeración posicional en base $60$. Para representar sus cálculos astronómicos, utilizaban símbolos para el $10$ ($\langle$) y para el $1$ ($\curlyvee$). Si un astrónomo registró el tiempo de observación de una estrella como el número sexagesimal $(12, 45, 18)$, donde el primer valor son horas, el segundo minutos y el tercero segundos:
- a) Representa dicho número utilizando los símbolos babilonios (agrupando las cuñas para cada posición).
- b) Calcula cuántos segundos totales duró la observación, expresando el resultado en notación científica.
Sumar medidas sexagesimales
Se suma por columnas, como en los números naturales, pero cuando una columna llega a $60$ o más, "llevas" una unidad a la columna siguiente.
En una carrera de atletismo, el primer clasificado llegó a la meta con un tiempo de $1$ min $42$ s. El segundo clasificado llegó $15$ segundos después. ¿Qué tiempo marcó…
En una carrera de atletismo, el primer clasificado llegó a la meta con un tiempo de $1$ min $42$ s. El segundo clasificado llegó $15$ segundos después. ¿Qué tiempo marcó el segundo atleta? (Expresa el resultado en minutos y segundos).
En un campeonato de e-sports, la primera partida de una final duró $45$ min y $38$ s. Tras un breve descanso, la segunda partida duró $52$ min y $45$ s. Calcula la…
En un campeonato de e-sports, la primera partida de una final duró $45$ min y $38$ s. Tras un breve descanso, la segunda partida duró $52$ min y $45$ s. Calcula la duración total de las dos partidas combinadas y expresa el resultado en el formato de tiempo adecuado.
Restar: pedir prestado de 60 en 60
Al restar por columnas, si la cifra de arriba es menor que la de abajo, "pides prestado" a la columna de la izquierda. En base $60$ cada préstamo vale $60$, no $10$.
Cuando hay más de dos sumandos y una resta final, como en el problema de unos clips de video que deben llegar a un límite de tiempo, suma primero todos los clips y luego resta el total del límite. Si hay centésimas, recuerda que $1\text{ s} = 100$ centésimas, así que "llevas" en cuanto pasas de $100$.
Lucía está practicando con su telescopio y ha girado el objetivo un ángulo de $120^\circ$. Si después decide retroceder el giro unos $35^\circ$ $15'$, ¿qué ángulo marca…
Lucía está practicando con su telescopio y ha girado el objetivo un ángulo de $120^\circ$. Si después decide retroceder el giro unos $35^\circ$ $15'$, ¿qué ángulo marca ahora su telescopio?
En una clase de dibujo técnico, se nos pide trazar el ángulo complementario de un ángulo dado. Si el ángulo original mide $34^\circ 52' 18''$, realiza los cálculos…
En una clase de dibujo técnico, se nos pide trazar el ángulo complementario de un ángulo dado. Si el ángulo original mide $34^\circ 52' 18''$, realiza los cálculos necesarios para hallar la medida exacta del ángulo que falta para completar el ángulo recto ($90^\circ$).
Un editor de video está trabajando en un cortometraje para redes sociales. El proyecto tiene un límite estricto de duración de exactamente $10$ minutos. Tiene cuatro…
Un editor de video está trabajando en un cortometraje para redes sociales. El proyecto tiene un límite estricto de duración de exactamente $10$ minutos. Tiene cuatro clips con las siguientes duraciones:
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Clip 1: $2$ min $14$ s $45$ centésimas.
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Clip 2: $155$ s $80$ centésimas.
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Clip 3: $3$ min $12$ s.
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Clip 4: $1$ min $58$ s $95$ centésimas.
Calcula el tiempo exacto que le sobra o le falta para llegar al límite de los $10$ minutos. (Recuerda que $1$ segundo tiene $100$ centésimas).
Multiplicar y dividir por un número
Para multiplicar una medida sexagesimal por un número entero, multiplicas cada unidad por separado y luego conviertes lo que pase de $60$.
Para dividir, empiezas por la unidad mayor. El resto lo conviertes a la unidad siguiente (multiplicando por $60$), lo sumas a lo que ya había, y sigues dividiendo.
Cuando la división no sale exacta en minutos, pasas el resto a segundos. Por ejemplo, en un ángulo de $145^\circ\ 25'$ repartido en $6$ partes, primero lo pasas todo a minutos: $145 \times 60 + 25 = 8{,}725'$. Luego $8{,}725 : 6 = 1{,}454$ con resto $1'$, que son $60''$ para repartir.
Un equipo de buceo profesional tiene una reserva de aire que les permite estar bajo el agua durante $3$ horas y $15$ minutos. Si deben repartir ese tiempo de forma…
Un equipo de buceo profesional tiene una reserva de aire que les permite estar bajo el agua durante $3$ horas y $15$ minutos. Si deben repartir ese tiempo de forma equitativa para explorar $5$ sectores diferentes de un arrecife, ¿cuánto tiempo deben dedicar a la observación de cada sector?
En el diseño de una pieza para un motor de alta precisión, se debe dividir un ángulo de $145^\circ \ 25'$ en 6 sectores iguales para colocar unos rodamientos. Por…
En el diseño de una pieza para un motor de alta precisión, se debe dividir un ángulo de $145^\circ \ 25'$ en 6 sectores iguales para colocar unos rodamientos. Por limitaciones de la máquina, la medida de cada sector debe ser un número entero de minutos (sin segundos) y lo más grande posible. Al realizar la división, el ángulo sobrante se reparte equitativamente entre dos márgenes de seguridad laterales.
El dibujo no está a escala: los márgenes son tan pequeños que no se aprecian.
- a) Calcula la medida de cada uno de los 6 sectores.
- b) Calcula el ángulo sobrante y la medida del ángulo de cada margen de seguridad.
Un dron de vigilancia realiza un barrido de seguridad girando sobre su eje. Comienza en una posición de $0^\circ$ y realiza los siguientes movimientos consecutivos: 1.…
Un dron de vigilancia realiza un barrido de seguridad girando sobre su eje. Comienza en una posición de $0^\circ$ y realiza los siguientes movimientos consecutivos:
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Gira a la derecha un ángulo de $125^\circ \ 45' \ 52''$.
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Gira a la izquierda $87^\circ \ 50' \ 15''$.
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Realiza un tercer giro a la derecha que es exactamente el triple del ángulo resultante de la resta de los dos movimientos anteriores.
Calcula la posición final del dron respecto al punto de inicio en grados, minutos y segundos.
De decimal a sexagesimal
A veces una medida viene con decimales: $2.35\text{ h}$ o $0.72$ de vuelta. Para escribirla en forma compleja, conviertes la parte decimal con una multiplicación por $60$ (o por $360$ si es una fracción de vuelta completa).
Para fracciones de una vuelta completa, primero la pasas a grados: $0.35$ de vuelta son $0.35 \times 360^\circ = 126^\circ$. Si salen decimales, los conviertes a minutos y segundos como antes.
Para repartir un tiempo en partes iguales cuando hay decimales, también puedes dividir en decimal y luego convertir. Por ejemplo, $7\text{ h} : 4 = 1.75\text{ h} = 1\text{ h } 45\text{ min}$.
Un satélite de telecomunicaciones orbita la Tierra. En su panel de control, un técnico observa que el satélite ha completado $4.72$ órbitas en las últimas $24$ horas. a)…
Un satélite de telecomunicaciones orbita la Tierra. En su panel de control, un técnico observa que el satélite ha completado $4.72$ órbitas en las últimas $24$ horas.
- a) Expresa la parte decimal de las órbitas ($0.72$) en forma compleja utilizando grados, minutos y segundos (sabiendo que una órbita completa son $360^\circ$).
- b) Si el satélite tarda lo mismo en cada órbita, ¿cuál es el tiempo exacto que tarda en completar una sola vuelta? Expresa el resultado en horas, minutos y segundos.
Coincidencias periódicas
Si varias señales se repiten cada cierto número de segundos, saber cuándo coinciden todas a la vez es un problema de múltiplos comunes. Vuelve al principio: los faros de $18$ s y $45$ s.
Antes de calcular, pasa todos los periodos a una misma unidad, normalmente segundos: $1\text{ min } 15\text{ s} = 75\text{ s}$.
Un faro emite tres señales de luz diferentes para orientar a los barcos: La luz roja parpadea cada $18$ segundos. La luz verde parpadea cada $45$ segundos. La luz blanca…
Un faro emite tres señales de luz diferentes para orientar a los barcos:
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La luz roja parpadea cada $18$ segundos.
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La luz verde parpadea cada $45$ segundos.
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La luz blanca parpadea cada $1$ minuto y $15$ segundos.
Si a las $22:00:00$ de la noche las tres luces coinciden por primera vez:
- a) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que vuelvan a coincidir? Expresa el resultado en minutos y segundos.
- b) ¿A qué hora exacta coincidirán por segunda vez?
- c) ¿Cuántas veces coincidirán las tres luces desde las $22:00:00$ hasta las $00:00:00$, ambas horas incluidas?
Ángulos de un polígono
La suma de los ángulos interiores de un polígono de $n$ lados es $S = (n-2) \times 180^\circ$. Si conoces todos los ángulos menos uno, sumas los conocidos y restas el total de $S$, todo en forma compleja.
En un hexágono irregular, se conocen las medidas de cinco de sus ángulos interiores: $A = 110^\circ \ 15' \ 20''$ $B = 125^\circ \ 40'$ $C = 98^\circ \ 25''$…
En un hexágono irregular, se conocen las medidas de cinco de sus ángulos interiores:
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$A = 110^\circ \ 15' \ 20''$
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$B = 125^\circ \ 40'$
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$C = 98^\circ \ 25''$
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$D = 130^\circ \ 12' \ 15''$
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$E = 115^\circ \ 50' \ 30''$
Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos interiores de un polígono de $n$ lados es $S = (n - 2) \times 180^\circ$, calcula la medida del sexto ángulo $F$ en forma compleja.