Ecuaciones de primer grado
En el colmado compras tres cuadernos iguales, pagas con $\text{RD}\$100$ en efectivo y te devuelven $\text{RD}\$10$. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno? Con una letra y una igualdad puedes contestarlo. En este apartado aprenderás a resolver ecuaciones más largas, con paréntesis y fracciones, a plantear problemas con enunciado y a resolver desigualdades.
Ecuación, solución e identidad
Comprobar una solución es sustituir la letra por el valor y ver si los dos miembros dan lo mismo.
Ejemplos: $x + x = 2x$ es una identidad, porque da igual lo que valga $x$. En cambio $x + 3 = 10$ es una ecuación, porque solo se cumple si $x = 7$.
Clasifica las siguientes igualdades matemáticas en identidades o ecuaciones, explicando brevemente por qué en cada caso: a) $3x + 5 = 20$ b) $2(x + 1) = 2x + 2$ c)…
Clasifica las siguientes igualdades matemáticas en identidades o ecuaciones, explicando brevemente por qué en cada caso:
- a) $3x + 5 = 20$
- b) $2(x + 1) = 2x + 2$
- c) $x + x = 2x$
- d) $x - 7 = 10$
Comprueba si los valores propuestos para la incógnita son solución de las siguientes ecuaciones: a) $2x - 3 = 7$ ¿Es $x = 5$ la solución? b) $\frac{x}{4} + 1 = 6$ ¿Es…
Comprueba si los valores propuestos para la incógnita son solución de las siguientes ecuaciones:
- a) $2x - 3 = 7$ ¿Es $x = 5$ la solución?
- b) $\frac{x}{4} + 1 = 6$ ¿Es $x = 20$ la solución?
- c) $3(x - 2) = 12$ ¿Es $x = 4$ la solución?
La balanza y la transposición
Una ecuación es como una balanza en equilibrio: lo que haces en un plato, lo haces en el otro.
Así se responde la pregunta del inicio: $3x + 10 = 100$ da $3x = 90$, así que $x = 30$. Cada cuaderno cuesta $\text{RD}\$30$.
Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio. Si las pesas circulares representan la incógnita $x$ y las pesas cuadradas representan $1$ kg cada una,…
Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio. Si las pesas circulares representan la incógnita $x$ y las pesas cuadradas representan $1$ kg cada una, escribe la ecuación que representa la imagen y halla el valor de $x$ aplicando la lógica del equilibrio (quitar la misma cantidad en ambos platos).
Resuelve mentalmente estas ecuaciones de un solo paso aplicando la regla de la suma (lo que está sumando pasa restando y viceversa): a) $x + 12 = 30$ b) $x - 8 = 15$ c)…
Resuelve mentalmente estas ecuaciones de un solo paso aplicando la regla de la suma (lo que está sumando pasa restando y viceversa):
- a) $x + 12 = 30$
- b) $x - 8 = 15$
- c) $7 + x = 2$
- d) $x - 10 = -4$
Halla el valor de $x$ en las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto (lo que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa): a) $5x = 45$ b)…
Halla el valor de $x$ en las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto (lo que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa):
- a) $5x = 45$
- b) $\frac{x}{3} = 7$
- c) $-2x = 14$
- d) $\frac{2x}{5} = 4$
Ecuaciones de dos pasos y balanzas con incógnita
Cuando hay números y letras en los dos miembros, agrupa las $x$ en un miembro y los números en el otro. Después despeja.
Una balanza con cajas de $x$ kg en los dos platos se resuelve igual. Escribe una ecuación con lo que ves, quita lo mismo de ambos platos y despeja.
Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas de dos pasos, agrupando primero los términos con $x$ en un miembro y los números en el otro: a) $3x + 4 = 19$ b)…
Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas de dos pasos, agrupando primero los términos con $x$ en un miembro y los números en el otro:
- a) $3x + 4 = 19$
- b) $5x - 2 = 13$
- c) $10 - 2x = 4$
- d) $25 = 4x + 1$
Observa la siguiente balanza en equilibrio. Si todas las cajas azules son iguales y pesan $x$ kilogramos, y las pesas naranjas indican su peso en kg, plantea y resuelve…
Observa la siguiente balanza en equilibrio. Si todas las cajas azules son iguales y pesan $x$ kilogramos, y las pesas naranjas indican su peso en kg, plantea y resuelve la ecuación para hallar el valor de $x$.
Del lenguaje ordinario al algebraico
Plantear bien es la mitad del trabajo.
| Se dice… | Se escribe… |
|---|---|
| un número | $x$ |
| el doble de un número | $2x$ |
| la mitad de un número | $\dfrac{x}{2}$ |
| un número aumentado en 7 | $x + 7$ |
| el siguiente de un número | $x + 1$ |
| el triple de un número menos 5 | $3x - 5$ |
Traduce estas frases del lenguaje natural al lenguaje algebraico utilizando la letra $x$ para representar el número desconocido: a) El doble de un número más ocho es…
Traduce estas frases del lenguaje natural al lenguaje algebraico utilizando la letra $x$ para representar el número desconocido:
- a) El doble de un número más ocho es igual a veinte.
- b) La mitad de un número menos cinco da como resultado tres.
- c) Un número aumentado en siete unidades es igual a su triple.
- d) La suma de un número y su siguiente es quince.
Marta fue a la papelería y compró 3 cuadernos iguales. Si pagó con un billete de $600$ pesos y le devolvieron $60$ pesos, plantea una ecuación donde $x$ sea el precio de…
Marta fue a la papelería y compró 3 cuadernos iguales. Si pagó con un billete de $600$ pesos y le devolvieron $60$ pesos, plantea una ecuación donde $x$ sea el precio de un cuaderno y resuélvela para saber cuánto costó cada uno.
Paréntesis y denominadores juntos
El orden habitual es este (si los paréntesis están dentro de los numeradores, como en el ejemplo, es más cómodo quitar primero los denominadores y después los paréntesis):
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado aplicando correctamente la propiedad distributiva y la agrupación de términos semejantes:…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado aplicando correctamente la propiedad distributiva y la agrupación de términos semejantes:
$4(2x - 3) - 2(5 - 3x) = 3(x + 1) + 5$
Halla el valor de la incógnita $x$ en la siguiente ecuación con denominadores, simplificando previamente mediante el cálculo del mínimo común múltiplo:…
Halla el valor de la incógnita $x$ en la siguiente ecuación con denominadores, simplificando previamente mediante el cálculo del mínimo común múltiplo:
$\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 5}{6} = \frac{x - 1}{9}$
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención a los signos negativos delante de las fracciones y al uso del mínimo común múltiplo para…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención a los signos negativos delante de las fracciones y al uso del mínimo común múltiplo para simplificar los denominadores:
$$\frac{2 \times (x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3x - 14}{10}$$¿Siempre hay una solución?
Al reducir una ecuación hay tres posibilidades:
| Al final queda… | Ejemplo | Significa |
|---|---|---|
| $ax = b$ con $a \neq 0$ | $3x = 9$ | Una solución: $x = 3$ |
| $0x = b$ con $b \neq 0$ | $0x = 5$ | Ninguna solución |
| $0x = 0$ | $0x = 0$ | Infinitas soluciones (identidad) |
Problemas con ecuaciones: números y figuras
Método: 1) lee y decide qué es $x$; 2) expresa los demás datos con $x$; 3) plantea la igualdad; 4) resuelve; 5) comprueba en el enunciado.
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere en $15$ unidades al tercer número.
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere en $15$ unidades al tercer número.
El perímetro de una pista de pádel rectangular es de $56$ metros. Sabemos que la longitud de la pista es $2$ metros más que el doble de su anchura. Calcula las…
El perímetro de una pista de pádel rectangular es de $56$ metros. Sabemos que la longitud de la pista es $2$ metros más que el doble de su anchura. Calcula las dimensiones de la pista planteando una ecuación de primer grado.
Marcos ha comprado en una tienda digital tres juegos de estrategia y dos pases de batalla. Cada pase de batalla cuesta la mitad que un juego. Si en total ha pagado…
Marcos ha comprado en una tienda digital tres juegos de estrategia y dos pases de batalla. Cada pase de batalla cuesta la mitad que un juego. Si en total ha pagado $4\,200$ pesos, ¿cuál es el precio de un juego y cuál es el precio de un pase de batalla?
Problemas de edades y de fracciones de un total
En las edades, el truco es una tabla con el presente y el pasado (o futuro). Todos cambian lo mismo: hace $n$ años es $-n$ para cada uno.
La edad de una madre es el triple de la de su hijo. Hace $8$ años, la suma de las edades de ambos era de $48$ años. ¿Qué edad tienen actualmente cada uno?
La edad de una madre es el triple de la de su hijo. Hace $8$ años, la suma de las edades de ambos era de $48$ años. ¿Qué edad tienen actualmente cada uno?
El nivel de batería de un celular disminuye de forma constante. Durante la mañana se consumió una cuarta parte de la carga total. Por la tarde, se gastó un tercio de lo…
El nivel de batería de un celular disminuye de forma constante. Durante la mañana se consumió una cuarta parte de la carga total. Por la tarde, se gastó un tercio de lo que quedaba después de la mañana. Si todavía queda un $40$% de batería ($40$ unidades de carga), ¿cuál es la capacidad total de carga del celular?
La edad actual de un padre es el triple de la de su hijo. Hace cinco años, la suma de sus edades era la misma que la edad que tendrá el padre dentro de diez años. ¿Qué…
La edad actual de un padre es el triple de la de su hijo. Hace cinco años, la suma de sus edades era la misma que la edad que tendrá el padre dentro de diez años. ¿Qué edad tienen actualmente el padre y el hijo?
Problemas de repartos, perímetros y cifras
Reparto con sobrante y faltante. El precio total no cambia: se escribe de dos formas y se igualan.
Cifras. Un número de dos cifras con decenas $d$ y unidades $u$ vale $10d + u$. En uno de tres cifras, $100c + 10d + u$.
Cambios en una figura. Expresa primero las medidas nuevas y luego usa la fórmula del perímetro con ellas.
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta un precio fijo. Si cada uno pone $\text{RD\$}\ 720$, les sobran $\text{RD\$}\ 240$ para el…
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta un precio fijo. Si cada uno pone $\text{RD\$}\ 720$, les sobran $\text{RD\$}\ 240$ para el envoltorio. Pero si cada uno pone $\text{RD\$}\ 600$, les faltan $\text{RD\$}\ 720$ para poder comprarlo. ¿Cuántos amigos forman el grupo y cuánto cuesta el regalo?
Una empresa de diseño gráfico crea carteles rectangulares. En su último modelo, la base mide $10 \text{ cm}$ más que la altura. Para cumplir con un nuevo estándar,…
Una empresa de diseño gráfico crea carteles rectangulares. En su último modelo, la base mide $10 \text{ cm}$ más que la altura. Para cumplir con un nuevo estándar, deciden aumentar la base en $5 \text{ cm}$ y disminuir la altura en $2 \text{ cm}$. Si tras estos cambios el perímetro del nuevo cartel es de $110 \text{ cm}$, ¿cuáles eran las dimensiones originales del cartel?
Halla un número de tres cifras con las siguientes características: la cifra de las decenas es el doble que la de las unidades, y la de las centenas es el triple que la…
Halla un número de tres cifras con las siguientes características: la cifra de las decenas es el doble que la de las unidades, y la de las centenas es el triple que la de las unidades. Si sumamos las tres cifras, el resultado es el mismo que si a la cifra de las centenas le restamos la de las unidades y le sumamos 8. Una vez planteada la ecuación, indica cuál es el número. (Pista: llama $x$ a la cifra de las unidades).
Problemas de movimiento, mezclas y llaves
Móviles que se encuentran. Si van uno hacia el otro, la suma de las distancias recorridas es la distancia total. Se usa $d = v \cdot t$. Si uno sale más tarde, su tiempo es menor.
Mezclas y concentraciones. La cantidad de sustancia pura no cambia al añadir agua: $\text{pura} = \text{porcentaje} \times \text{volumen}$.
Llaves y desagües. Una llave que llena en $a$ horas hace $\dfrac{1}{a}$ del depósito por hora. Las que llenan suman y el desagüe resta. Todo junto debe dar $1$ depósito.
Marcos y Lucía viven en pueblos distintos situados a una distancia de $24 \text{ km}$. A las 10:00 de la mañana, Lucía sale hacia el pueblo de Marcos en su bicicleta a…
Marcos y Lucía viven en pueblos distintos situados a una distancia de $24 \text{ km}$. A las 10:00 de la mañana, Lucía sale hacia el pueblo de Marcos en su bicicleta a una velocidad constante de $18 \text{ km/h}$. Media hora más tarde, Marcos sale al encuentro de Lucía en su patinete eléctrico, viajando a $25 \text{ km/h}$. ¿A qué distancia del pueblo de Lucía se cruzarán y a qué hora ocurrirá el encuentro?
En un laboratorio de química, se quiere rebajar la concentración de una solución de limpieza. Tenemos $12 \text{ litros}$ de un líquido que contiene un $20\%$ de alcohol…
En un laboratorio de química, se quiere rebajar la concentración de una solución de limpieza. Tenemos $12 \text{ litros}$ de un líquido que contiene un $20\%$ de alcohol puro. ¿Qué cantidad de agua destilada (sin alcohol) debemos añadir para que la mezcla final tenga una concentración de alcohol de solo el $15\%$?
Un depósito de agua tiene dos llaves de llenado y un desagüe. La primera llave puede llenar el depósito en $6 \text{ horas}$, y la segunda llave en $4 \text{ horas}$. Si…
Un depósito de agua tiene dos llaves de llenado y un desagüe. La primera llave puede llenar el depósito en $6 \text{ horas}$, y la segunda llave en $4 \text{ horas}$. Si el depósito está lleno, el desagüe puede vaciarlo por completo en $8 \text{ horas}$. Si abrimos las dos llaves de llenado y el desagüe al mismo tiempo con el depósito vacío, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse completamente?
Desigualdades e inecuaciones de primer grado
Un pasaje de guagua cuesta $\text{RD}\$35$ y tienes $\text{RD}\$200$. ¿Cuántos viajes puedes pagar como máximo? No hay una sola respuesta, sino muchas: $35x \leq 200$.
El círculo vacío significa que el $-4$ no está incluido ($<$ o $>$). Con $\leq$ o $\geq$ el círculo va lleno y el intervalo lleva corchete.
Vuelve al principio: con $35x \leq 200$ se obtiene $x \leq 5.71$, así que puedes pagar como máximo $5$ viajes.