Frecuencia relativa y probabilidad experimental
Antes de un juego de pelota en el play del barrio, Wilkin tira una moneda 4 veces para decidir quién batea primero y salen 3 caras. ¿Significa que la probabilidad de cara es $0.75$? No: con pocos lanzamientos, el azar da sorpresas. Si la tira 1,000 veces, el resultado se acerca mucho más a la mitad.
Frecuencia relativa de un evento
Para varios resultados se hace una tabla con las dos frecuencias. Por ejemplo, una ruleta girada 40 veces:
| Color | Frecuencia absoluta | Frecuencia relativa |
|---|---|---|
| Rojo | 12 | $12/40 = 0.30$ |
| Azul | 10 | $10/40 = 0.25$ |
| Verde | 8 | $8/40 = 0.20$ |
| Amarillo | 10 | $10/40 = 0.25$ |
Las frecuencias relativas suman $1$ (o $100\%$).
Se ha lanzado un dado $50$ veces y el $6$ ha salido $8$ veces. a) Calcula la frecuencia relativa del evento «salir $6$». b) Compárala con la probabilidad teórica…
Se ha lanzado un dado $50$ veces y el $6$ ha salido $8$ veces.
a) Calcula la frecuencia relativa del evento «salir $6$».
b) Compárala con la probabilidad teórica $\frac{1}{6}$. ¿Te parece razonable el resultado?
Se ha girado $40$ veces la aguja de una ruleta con $4$ colores y se han obtenido estos resultados: rojo $12$ veces, azul $10$, verde $8$ y amarillo $10$. a) Haz una…
Se ha girado $40$ veces la aguja de una ruleta con $4$ colores y se han obtenido estos resultados: rojo $12$ veces, azul $10$, verde $8$ y amarillo $10$.
a) Haz una tabla con las frecuencias absolutas y relativas de cada color.
b) ¿Qué color ha salido con mayor frecuencia relativa?
En una clase de $30$ alumnos, $12$ vienen al liceo en bicicleta o patineta. a) ¿Cuál es la frecuencia relativa de ese evento en la clase? b) Si el liceo tiene $600$…
En una clase de $30$ alumnos, $12$ vienen al liceo en bicicleta o patineta.
a) ¿Cuál es la frecuencia relativa de ese evento en la clase?
b) Si el liceo tiene $600$ alumnos, ¿cuántos esperarías que vinieran en bici o patineta? ¿Es el valor exacto o solo una estimación? ¿Por qué?
La frecuencia relativa se estabiliza al repetir
Lanza el dado muchas veces y observa cómo las barras (lo que realmente sale) se acercan a la línea naranja (lo que «debería» salir según Laplace):
Al lanzar una moneda $200$ veces se obtuvieron $98$ caras. a) Calcula la frecuencia relativa del evento «cara». b) ¿Sospecharías que la moneda está trucada? ¿Por qué?
Al lanzar una moneda $200$ veces se obtuvieron $98$ caras.
a) Calcula la frecuencia relativa del evento «cara».
b) ¿Sospecharías que la moneda está trucada? ¿Por qué?
Se lanza un dado cada vez más veces y se anota la frecuencia relativa del evento «salir $4$»: con $10$ lanzamientos sale $0.2$; con $50$, $0.18$; con $100$, $0.16$; con…
Se lanza un dado cada vez más veces y se anota la frecuencia relativa del evento «salir $4$»: con $10$ lanzamientos sale $0.2$; con $50$, $0.18$; con $100$, $0.16$; con $500$, $0.164$; con $1\,000$, $0.167$.
a) ¿Hacia qué valor parece estabilizarse la frecuencia relativa?
b) ¿Qué relación tiene ese valor con la regla de Laplace?
c) ¿Cuántos «cuatros» esperarías en $6\,000$ lanzamientos?
La gráfica muestra la frecuencia relativa de «cara» al lanzar una moneda un número creciente de veces. a) Lee en la gráfica la frecuencia relativa tras $80$…
La gráfica muestra la frecuencia relativa de «cara» al lanzar una moneda un número creciente de veces.
a) Lee en la gráfica la frecuencia relativa tras $80$ lanzamientos.
b) ¿Hacia qué valor parece estabilizarse la frecuencia relativa?
c) ¿Crees que la moneda está trucada? Justifica tu respuesta.
La gráfica muestra la frecuencia relativa de «cara» en $500$ lanzamientos de una moneda. a) ¿Hacia qué valor se estabiliza la frecuencia relativa? b) ¿Está trucada la…
La gráfica muestra la frecuencia relativa de «cara» en $500$ lanzamientos de una moneda.
a) ¿Hacia qué valor se estabiliza la frecuencia relativa?
b) ¿Está trucada la moneda? ¿Por qué?
c) ¿Cuántas caras esperarías si se lanzara $1\,000$ veces más?
Pocas repeticiones engañan
Con pocos intentos, la frecuencia relativa puede alejarse mucho de la probabilidad real, aunque esta no haya cambiado.
Una jugadora de baloncesto tiene un porcentaje histórico del $80\%$ en tiros libres. En el último partido encestó solo $3$ de $5$. Su entrenadora comenta: «Hoy bajó su…
Una jugadora de baloncesto tiene un porcentaje histórico del $80\%$ en tiros libres. En el último partido encestó solo $3$ de $5$. Su entrenadora comenta: «Hoy bajó su probabilidad de acierto».
a) ¿Estás de acuerdo con la entrenadora? Razona tu respuesta distinguiendo entre probabilidad y frecuencia en pocas repeticiones.
b) ¿Qué esperarías si lanzara $100$ tiros libres en los próximos entrenamientos?
Una fábrica de tenis revisa $400$ pares cada día y anota los que tienen algún defecto: lunes $8$, martes $5$, miércoles $10$, jueves $6$ y viernes $11$. a) Calcula la…
Una fábrica de tenis revisa $400$ pares cada día y anota los que tienen algún defecto: lunes $8$, martes $5$, miércoles $10$, jueves $6$ y viernes $11$.
a) Calcula la frecuencia relativa de pares defectuosos de cada día.
b) Calcula la frecuencia relativa de pares defectuosos de toda la semana.
c) Si elegimos al azar un par fabricado esa semana, ¿qué probabilidad estimarías de que sea defectuoso?
Un profesor pide hacer girar $360$ veces una ruleta con tres sectores: rojo ($180º$), azul ($90º$) y verde ($90º$). Tres alumnos entregan estos resultados: | | rojo |…
Un profesor pide hacer girar $360$ veces una ruleta con tres sectores: rojo ($180º$), azul ($90º$) y verde ($90º$). Tres alumnos entregan estos resultados:
| rojo | azul | verde | |
|---|---|---|---|
| Aina | $178$ | $96$ | $86$ |
| Biel | $120$ | $121$ | $119$ |
| Salma | $180$ | $90$ | $90$ |
a) Calcula la frecuencia relativa de cada color en las tres tablas.
b) ¿Cuáles serían las frecuencias esperadas según las probabilidades teóricas?
c) Dos de los alumnos han hecho trampa. ¿Quiénes son y por qué?
Tras lanzar una moneda $4$ veces y obtener $3$ caras, Omar afirma: «La probabilidad de sacar cara con esta moneda es $0.75$». a) Explica el error de su afirmación. b)…
Tras lanzar una moneda $4$ veces y obtener $3$ caras, Omar afirma: «La probabilidad de sacar cara con esta moneda es $0.75$».
a) Explica el error de su afirmación.
b) ¿Qué debería hacer Omar para estimar la probabilidad con fiabilidad?
c) Si la moneda es correcta, ¿hacia qué valor se acercará la frecuencia relativa de caras al aumentar el número de lanzamientos?
Comparar con lo esperado y decidir
Para saber si un dado, una moneda o una máquina funciona como debería, comparamos la frecuencia relativa con la probabilidad teórica.
También sirve al comparar dos estimaciones: la que sale de más repeticiones es más confiable. Si un equipo lanza dos dados $30$ veces y obtiene suma $7$ seis veces ($0.2$) y otro lo hace $300$ veces y obtiene $50$ ($0.167$), la segunda estimación es mejor; además, la probabilidad teórica es $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
Sospechamos que un dado está trucado y lo lanzamos $600$ veces. El $6$ sale $168$ veces. a) Calcula la frecuencia relativa del evento «salir $6$». b) ¿Qué frecuencia…
Sospechamos que un dado está trucado y lo lanzamos $600$ veces. El $6$ sale $168$ veces.
a) Calcula la frecuencia relativa del evento «salir $6$».
b) ¿Qué frecuencia relativa esperarías si el dado fuera equilibrado?
c) ¿Concluirías que el dado está trucado? ¿Por qué?
d) Si seguimos lanzándolo $300$ veces más, ¿cuántos «seises» esperarías, según tu conclusión?
Un supermercado tiene una máquina de devolución de envases que, por término medio, no debería rechazar más del $2\%$ de los envases válidos. En una semana se registran…
Un supermercado tiene una máquina de devolución de envases que, por término medio, no debería rechazar más del $2\%$ de los envases válidos. En una semana se registran estos datos:
| Día | Envases | Rechazados |
|---|---|---|
| Lunes | $350$ | $9$ |
| Martes | $410$ | $8$ |
| Miércoles | $380$ | $12$ |
| Jueves | $420$ | $7$ |
| Viernes | $390$ | $14$ |
a) Calcula la frecuencia relativa de rechazo de cada día, redondeando a las milésimas.
b) Calcula la frecuencia relativa de rechazo de toda la semana.
c) El encargado debe decidir si llama al servicio técnico. ¿Qué le aconsejas? Razona la decisión con los datos.
Dos equipos de la clase estiman experimentalmente la probabilidad de obtener suma $7$ al lanzar dos dados. El equipo A lanza $30$ veces y obtiene ese evento $6$ veces;…
Dos equipos de la clase estiman experimentalmente la probabilidad de obtener suma $7$ al lanzar dos dados. El equipo A lanza $30$ veces y obtiene ese evento $6$ veces; el equipo B lanza $300$ veces y lo obtiene $50$ veces.
a) Calcula las frecuencias relativas de ambos equipos.
b) Calcula la probabilidad teórica de «suma $7$» aplicando la regla de Laplace.
c) ¿Qué estimación es más confiable? ¿Por qué?
Cuando no se puede calcular con Laplace
A veces no sabemos si los resultados son igual de probables (una chincheta, una taba, la tapa de un bote al caer). En esos casos se experimenta muchas veces y se usa la frecuencia relativa como estimación de la probabilidad.
Se lanza $100$ veces la tapa de un bote y cae con la parte superior hacia arriba $64$ veces. a) Estima la probabilidad de que caiga boca arriba. b) ¿Y de que caiga boca…
Se lanza $100$ veces la tapa de un bote y cae con la parte superior hacia arriba $64$ veces.
a) Estima la probabilidad de que caiga boca arriba.
b) ¿Y de que caiga boca abajo?
c) Si se lanza $500$ veces más, ¿cuántas veces cabe esperar que caiga boca arriba?
d) ¿Por qué no podemos usar la regla de Laplace con la tapa?
Una taba (hueso de cordero que se usaba como dado) se ha lanzado $600$ veces y ha caído con la cara lisa hacia arriba $264$ veces. a) ¿Qué probabilidad experimental le…
Una taba (hueso de cordero que se usaba como dado) se ha lanzado $600$ veces y ha caído con la cara lisa hacia arriba $264$ veces.
a) ¿Qué probabilidad experimental le asignarías a ese resultado?
b) Explica por qué en este experimento no se puede aplicar la regla de Laplace.
c) ¿Cuántas veces esperarías que cayera así en los próximos $150$ lanzamientos?
Simular con números aleatorios
Si no tienes dado ni moneda a mano, puedes simular el experimento con una tabla de números aleatorios (o con la función de azar de la computadora o el celular). Es una lista de dígitos del $0$ al $9$ donde cada uno tiene la misma probabilidad.
Se asigna a cada resultado una cantidad de dígitos proporcional a su probabilidad.
Si un evento tiene probabilidad $0.3$, le asignas $3$ dígitos de los $10$ (por ejemplo, $0$, $1$ y $2$). Cuantos más dígitos leas, mejor será tu estimación.