Sistemas de ecuaciones
En la papelería del liceo, 2 lapiceros y 3 borras cuestan $\text{RD}\$130$; 2 lapiceros y 1 borra cuestan $\text{RD}\$90$. ¿Cuánto vale cada cosa? Hay dos incógnitas (el lapicero y la borra) y dos pistas. Una sola ecuación no alcanza: hay que resolverlas a la vez. Eso es un sistema de ecuaciones.
Qué es un sistema
Para comprobar una solución se sustituye en las dos ecuaciones, no solo en una. Con $x = 35$ e $y = 20$: $2 \times 35 + 3 \times 20 = 130$ ✓ y $2 \times 35 + 20 = 90$ ✓.
Significado gráfico
Cada ecuación de este tipo es una recta: sus puntos son las soluciones de esa ecuación. La solución del sistema es el punto donde las dos rectas se cortan. Mueve las rectas y observa:
Según cuántas soluciones tenga, el sistema se clasifica así:
| Rectas | Soluciones | Nombre |
|---|---|---|
| Se cortan | una | compatible determinado |
| Coinciden | infinitas | compatible indeterminado |
| Paralelas | ninguna | incompatible |
En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:…
En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases} x + y = 15 \\ 2x - y = 9 \end{cases}$$Comprueba, realizando las operaciones necesarias, cuál de estas parejas de valores es la solución correcta del sistema para que el personaje pueda subir de nivel:
- a) $x = 10, y = 5$
- b) $x = 8, y = 7$
Traduce al lenguaje algebraico y escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación: "En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de…
Traduce al lenguaje algebraico y escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación:
"En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de papitas ($y$) nos cobraron $300$ pesos. Si compramos un refresco y una bolsa de papitas, el precio es de $180$ pesos."
(No es necesario resolverlo, solo plantear el sistema).
Método de sustitución
Despejas una incógnita en una ecuación y la sustituyes en la otra. Va muy bien cuando una incógnita ya está despejada o tiene coeficiente $1$ o $-1$.
Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjate que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:…
Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjate que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:
$$\begin{cases} 3x + y = 10 \\ y = 2x \end{cases}$$Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Recuerda que es aconsejable despejar la incógnita que tenga el coeficiente más sencillo:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Recuerda que es aconsejable despejar la incógnita que tenga el coeficiente más sencillo:
$$ \begin{cases} 3x - y = 7 \\ 5x + 2y = 19 \end{cases} $$Método de igualación
Despejas la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualas las dos expresiones. Es una sustitución disfrazada: si $x$ es igual a una cosa y también a otra, esas dos cosas son iguales.
En la gráfica, con $x$ en el eje horizontal, las rectas son $y = x - 5$ e $y = (x - 2)/2$:
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguala las dos expresiones que representan el valor de $x$: $$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2…
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguala las dos expresiones que representan el valor de $x$:
$$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2 \end{cases}$$Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su…
Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su base es el doble que la del rectángulo A y su altura es el triple que la del rectángulo A, sumando un perímetro total de $52\text{ cm}$.
Calcula las dimensiones $x$ (base) e $y$ (altura) del rectángulo A planteando y resolviendo un sistema por el método de igualación.
Método de reducción
Multiplicas las ecuaciones por los números adecuados para que, al sumarlas (o restarlas), una incógnita desaparezca.
Cuando ninguna incógnita tiene coeficientes iguales u opuestos, multiplicas las dos ecuaciones:
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observa que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puedes sumar las dos…
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observa que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puedes sumar las dos ecuaciones directamente para eliminarla:
$$\begin{cases} 4x + y = 13 \\ x - y = 2 \end{cases}$$Lucía compró en la papelería $2$ lapiceros y $3$ borras por un total de $240$ pesos. Pedro compró $2$ lapiceros y $1$ borra por $120$ pesos. Si $x$ es el precio de un…
Lucía compró en la papelería $2$ lapiceros y $3$ borras por un total de $240$ pesos. Pedro compró $2$ lapiceros y $1$ borra por $120$ pesos.
Si $x$ es el precio de un lapicero e $y$ el de una borra, el sistema que representa la situación es:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 240 \\ 2x + y = 120 \end{cases}$$Halla el precio de cada artículo utilizando el método de reducción (restando ambas ecuaciones).
En la cafetería del liceo, un grupo de amigos pagó $\text{RD\$}\ 900$ por 4 refrescos y 2 sándwiches. Al día siguiente, otro grupo pagó $\text{RD\$}\ 1\,050$ por 3…
En la cafetería del liceo, un grupo de amigos pagó $\text{RD\$}\ 900$ por 4 refrescos y 2 sándwiches. Al día siguiente, otro grupo pagó $\text{RD\$}\ 1\,050$ por 3 refrescos y 4 sándwiches. Utiliza el método de reducción para hallar el precio de un refresco y el de un sándwich.
Plantear problemas con sistemas
-
Elige dos incógnitas y escribe qué significa cada una.
-
Traduce cada dato del enunciado en una ecuación distinta.
-
Resuelve por el método que más te convenga.
-
Comprueba en el enunciado, no solo en las ecuaciones.
En una pequeña granja hay un total de $12$ animales entre gallinas ($x$) y conejos ($y$). Si contamos las patas de todos ellos, hay un total de $34$ patas. El sistema de…
En una pequeña granja hay un total de $12$ animales entre gallinas ($x$) y conejos ($y$). Si contamos las patas de todos ellos, hay un total de $34$ patas. El sistema de ecuaciones que describe esta situación es:
$$\begin{cases} x + y = 12 \\ 2x + 4y = 34 \end{cases}$$Resuelve el sistema por el método que prefieras para averiguar cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja.
En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora necesitas recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de gemas…
En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora necesitas recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de gemas rojas suma un total de 34 energía. Además, la diferencia entre el número de gemas azules y rojas es de solo 3 unidades.
- a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas gemas de cada tipo necesitas.
- b) Comprueba si la pareja de valores $x = 8, y = 5$ (donde $x$ son las azules e $y$ las rojas) es la solución del sistema.
Para organizar un festival benéfico se han vendido dos tipos de entradas: infantiles a $\text{RD\$}\ 240$ y de adultos a $\text{RD\$}\ 420$. Al terminar el evento, se…
Para organizar un festival benéfico se han vendido dos tipos de entradas: infantiles a $\text{RD\$}\ 240$ y de adultos a $\text{RD\$}\ 420$. Al terminar el evento, se sabe que han asistido un total de 240 personas y que la recaudación total ha sido de $\text{RD\$}\ 81\,000$. ¿Cuántos niños y cuántos adultos asistieron al festival?
Edades, cifras y figuras
Edades. Una tabla ordena los datos. Cifras: un número de dos cifras $xy$ vale $10x + y$; con las cifras invertidas vale $10y + x$. Rectángulos: el perímetro es $2x + 2y$ y el área $x \cdot y$.
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Sin embargo, dentro de 12 años, la edad de la madre será solamente el doble que la de su hijo. ¿Qué edad…
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Sin embargo, dentro de 12 años, la edad de la madre será solamente el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen ambos en la actualidad? Utiliza una tabla para organizar los datos de las edades antes de plantear el sistema.
La suma de las dos cifras de un número es $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el original. Plantea un…
La suma de las dos cifras de un número es $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el original. Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar dicho número.
(Pista: Un número de dos cifras se escribe como $10x + y$).
Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide $40$ cm. Si se triplicara su base y se redujera su altura a la mitad, el perímetro pasaría a ser de…
Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide $40$ cm. Si se triplicara su base y se redujera su altura a la mitad, el perímetro pasaría a ser de $70$ cm. Una vez halladas la base ($x$) y la altura ($y$), calcula el área del rectángulo original.
Movimiento: encuentro y alcance
Con velocidad constante, $\text{distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo}$. Hay dos situaciones típicas con dos cuerpos en movimiento que van por la misma ruta:
-
Se acercan (sentidos contrarios): las velocidades se suman. $d = (v_1 + v_2)\,t$.
-
Uno persigue al otro (mismo sentido): las velocidades se restan. $d = (v_1 - v_2)\,t$.
Dos ciclistas, Ana y David, se encuentran a una distancia de $45\text{ km}$. Ana sale desde el punto A a una velocidad constante de $12\text{ km/h}$ y David sale al…
Dos ciclistas, Ana y David, se encuentran a una distancia de $45\text{ km}$. Ana sale desde el punto A a una velocidad constante de $12\text{ km/h}$ y David sale al mismo tiempo desde el punto B al encuentro de Ana a $18\text{ km/h}$.
Si $x$ es el tiempo que tardan en encontrarse e $y$ es la distancia recorrida por Ana:
- a) Plantea un sistema de ecuaciones que relacione el tiempo y el espacio de ambos.
- b) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia del punto A ocurrirá?
Dos ciclistas, Elena y Marco, están a una distancia de $36$ km. Si avanzan el uno hacia el otro, tardan $45$ minutos en encontrarse. Si avanzan en el mismo sentido…
Dos ciclistas, Elena y Marco, están a una distancia de $36$ km. Si avanzan el uno hacia el otro, tardan $45$ minutos en encontrarse. Si avanzan en el mismo sentido (Elena persiguiendo a Marco), Elena tarda $3$ horas en alcanzarlo.
Calcula la velocidad de cada ciclista en km/h planteando un sistema de ecuaciones.
Descuentos y mezclas
Porcentajes. Un descuento del $10\%$ deja el precio en $0.9$ del original; uno del $20\%$, en $0.8$. Así, un artículo de precio original $x$ cuesta $0.9x$ con $10\%$ de descuento.
Mezclas. Se plantean dos ecuaciones: una con las cantidades y otra con la cantidad de sustancia pura (porcentaje $\times$ cantidad).
En una tienda de informática, un usuario compra 3 teclados mecánicos y 2 ratones inalámbricos por un total de $135$ pesos. Al día siguiente, aprovechando una oferta,…
En una tienda de informática, un usuario compra 3 teclados mecánicos y 2 ratones inalámbricos por un total de $135$ pesos. Al día siguiente, aprovechando una oferta, compra 2 teclados y 4 ratones por $111$ pesos. Sin embargo, la oferta consistía en que los teclados tenían un $10\%$ de descuento y los ratones un $20\%$ sobre su precio original.
Calcula el precio original de cada artículo planteando un sistema de ecuaciones.
Un laboratorio químico necesita preparar $10$ litros de una solución ácida al $25\%$. Para ello, dispone de dos garrafas: una con una concentración del $15\%$ de ácido y…
Un laboratorio químico necesita preparar $10$ litros de una solución ácida al $25\%$. Para ello, dispone de dos garrafas: una con una concentración del $15\%$ de ácido y otra con una concentración del $40\%$. ¿Qué cantidad de litros debe mezclar de cada garrafa para obtener la solución deseada?
Sistemas con paréntesis y fracciones
A veces el sistema no viene listo. Antes de elegir método, llévalo a la forma $ax + by = c$:
-
Quita paréntesis (propiedad distributiva).
-
Quita denominadores: multiplica cada ecuación por el m.c.m. de sus denominadores.
-
Reúne los términos con $x$ e $y$ a la izquierda y los números a la derecha.
Al simplificar puede ocurrir que el sistema sea especial. Mira qué pasa al reducir:
-
Si te queda algo falso como $0 = 5$, el sistema es incompatible (rectas paralelas). Ejemplo: $x + y = 3$ y $2x + 2y = 8$.
-
Si te queda algo siempre cierto como $0 = 0$, es compatible indeterminado (la misma recta). Ejemplo: $x + y = 3$ y $2x + 2y = 6$.
-
Si obtienes valores para $x$ e $y$, es compatible determinado.
Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que consideres más apropiado. Antes de resolverlo, observa si es necesario simplificar las…
Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que consideres más apropiado. Antes de resolverlo, observa si es necesario simplificar las expresiones quitando los paréntesis:
$$ \begin{cases} 2(x + y) - 3x = 1 \\ x + 3(y - 1) = 2 \end{cases} $$Resuelve el siguiente sistema mediante el método que consideres más oportuno, tras eliminar los paréntesis y agrupar términos: $$ \begin{cases} 3(x+2) - 5(y-1) = 2x + 5…
Resuelve el siguiente sistema mediante el método que consideres más oportuno, tras eliminar los paréntesis y agrupar términos:
$$ \begin{cases} 3(x+2) - 5(y-1) = 2x + 5 \\ \\ 2(x+y) - 3(x-y) = 11 \end{cases} $$Una vez resuelto, indica si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales simplificando previamente ambas expresiones. Para hallar la solución definitiva, utiliza el método de reducción…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales simplificando previamente ambas expresiones. Para hallar la solución definitiva, utiliza el método de reducción doble (eliminando una incógnita y luego la otra):
$$ \begin{cases} \dfrac{2(x-1)}{3} - \dfrac{y+2}{6} = -1 \\ \\ \dfrac{x+y}{2} + \dfrac{x-y}{3} = \dfrac{7}{6} \end{cases} $$Un cálculo geométrico auxiliar: superficie lateral de un tronco de pirámide
Un tronco de pirámide cuadrangular regular tiene dos bases cuadradas (de lados $B$ y $b$) y cuatro caras laterales que son trapecios iguales. Su altura de trapecio es la apotema $a$ del tronco, y se halla con Pitágoras: si $h$ es la altura del tronco,
$$a = \sqrt{h^2 + \left(\frac{B - b}{2}\right)^2}$$Superficie lateral $= 4 \times \dfrac{B + b}{2} \times a$.
Calcula el coste de pintar la superficie lateral de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ de lado y su altura es de…
Calcula el coste de pintar la superficie lateral de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ de lado y su altura es de $1.5\text{ m}$, sabiendo que el precio es de $85\text{ \text{RD\$}\ /m}^2$.
Vuelve al principio: el sistema de la papelería era $\begin{cases} 2x + 3y = 130 \\ 2x + y = 90 \end{cases}$. Al restar obtuvimos $y = 20$ y $x = 35$: cada lapicero cuesta 35 pesos y cada borra 20 pesos.