Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Wilkin quiere saber si su celular de 6 pulgadas cabe en un bolsillo, y Yaritza necesita saber cuánto cable hace falta para sujetar una antena. En los dos casos hay un triángulo rectángulo escondido. Casi nunca te lo dan dibujado: tienes que encontrarlo, y luego aplicar Pitágoras o la semejanza. Al final volveremos al celular de Wilkin.
La diagonal de un rectángulo: pantallas y fotos
En cualquier rectángulo, la diagonal, el ancho y el alto forman un triángulo rectángulo. La diagonal es la hipotenusa. Recuerda: $c^2 = a^2 + b^2$.
Si te dan la diagonal y un lado, el otro lado es un cateto: restas cuadrados, $a^2 = c^2 - b^2$.
Una tablet tiene una pantalla rectangular cuyas dimensiones son $24 \text{ cm}$ de base y $7 \text{ cm}$ de altura. Calcula la medida de su diagonal aplicando el teorema…
Una tablet tiene una pantalla rectangular cuyas dimensiones son $24 \text{ cm}$ de base y $7 \text{ cm}$ de altura. Calcula la medida de su diagonal aplicando el teorema de Pitágoras.
Marta ha comprado una televisión de $50$ pulgadas. Sabiendo que $1$ pulgada equivale a $2.54 \text{ cm}$, la diagonal de la pantalla mide exactamente $127 \text{ cm}$.…
Marta ha comprado una televisión de $50$ pulgadas. Sabiendo que $1$ pulgada equivale a $2.54 \text{ cm}$, la diagonal de la pantalla mide exactamente $127 \text{ cm}$. Si la anchura de la televisión es de $110 \text{ cm}$, ¿cuál es la altura de la pantalla? Utiliza el teorema de Pitágoras y redondea el resultado a las décimas.
Cables, rampas y tirolinas
Un cable tensor, el poste vertical y el suelo forman un triángulo rectángulo. El cable es la hipotenusa porque es el lado más largo y está frente al ángulo recto.
La misma idea sirve para una tirolina o una rampa. Si el punto de salida está a $18$ m y el de llegada a $3$ m, el desnivel es $18 - 3 = 15$ m: ese es un cateto. La distancia horizontal es el otro cateto, y la tirolina es la hipotenusa.
Si hay un cuerpo apoyado sobre otro (un faro sobre un acantilado), dibuja un triángulo para cada punto de mira. Verás que la distancia horizontal al pie de la pared es común a los dos triángulos.
Para asegurar una antena de radio, se ha colocado un cable tensor desde su parte más alta hasta el suelo. Si la antena mide $12 \text{ m}$ de altura y el cable se amarra…
Para asegurar una antena de radio, se ha colocado un cable tensor desde su parte más alta hasta el suelo. Si la antena mide $12 \text{ m}$ de altura y el cable se amarra al suelo a una distancia de $5 \text{ m}$ de la base, ¿qué longitud tiene el cable?
Para salvar un pequeño barranco en un circuito de aventuras, se ha instalado una tirolina de $25 \text{ m}$ de longitud. El punto de salida está en una torre a…
Para salvar un pequeño barranco en un circuito de aventuras, se ha instalado una tirolina de $25 \text{ m}$ de longitud. El punto de salida está en una torre a $18 \text{ m}$ de altura y el punto de llegada está en otra plataforma a $3 \text{ m}$ de altura. ¿Cuál es la distancia horizontal que separa ambas estructuras?
Un faro de $35\text{ m}$ de altura está situado sobre un acantilado vertical. Desde un barco en el mar, se observa que la distancia a la base del faro (el punto donde…
Un faro de $35\text{ m}$ de altura está situado sobre un acantilado vertical. Desde un barco en el mar, se observa que la distancia a la base del faro (el punto donde empieza el faro en el acantilado) es de $100\text{ m}$ y la distancia a la parte más alta del faro es de $110\text{ m}$. Calcula:
- a) La altura del acantilado sobre el nivel del mar.
- b) La distancia horizontal desde el barco hasta la base del acantilado.
Tejados y triángulos isósceles
Un tejado a dos aguas tiene forma de triángulo isósceles. Si trazas la altura, esta cae en el punto medio de la base y tienes dos triángulos rectángulos.
El tejado de una caseta de jardín tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $6 \text{ metros}$ y los lados iguales miden $5 \text{ metros}$ cada…
El tejado de una caseta de jardín tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $6 \text{ metros}$ y los lados iguales miden $5 \text{ metros}$ cada uno. Calcula la altura del tejado.
Rombos y hexágonos
Las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente por su punto medio. Así dividen el rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales, cuyos catetos son las mitades de las diagonales y cuya hipotenusa es el lado.
En un hexágono regular de lado $\ell$, el radio es igual al lado, porque está formado por $6$ triángulos equiláteros. La apotema $m$ es la altura de uno de ellos.
Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden $16 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. (Pista: Recuerda que las diagonales de un rombo son perpendiculares y se…
Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden $16 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. (Pista: Recuerda que las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio, formando cuatro triángulos rectángulos iguales).
Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular cuyo lado mide $8 \text{ cm}$. Para hallar el área, recuerda que primero debes calcular la apotema utilizando el…
Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular cuyo lado mide $8 \text{ cm}$. Para hallar el área, recuerda que primero debes calcular la apotema utilizando el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos equiláteros que forman el hexágono.
Pitágoras en el espacio: cajas y pirámides
Una caja (ortoedro) de dimensiones $a$, $b$, $c$ tiene una diagonal del espacio que va de un vértice al vértice opuesto. Se calcula con Pitágoras dos veces: primero la diagonal de la base, y luego la diagonal del espacio.
En una pirámide regular de base cuadrada hay tres triángulos rectángulos escondidos:
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altura y mitad del lado de la base, que dan la apotema de la cara;
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apotema y mitad del lado, que dan la arista lateral;
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altura y mitad de la diagonal de la base, que dan lo mismo.
Un gamer quiere guardar su teclado mecánico de $52\text{ cm}$ de largo dentro de una caja de transporte que compró. La caja es un ortoedro con unas dimensiones internas…
Un gamer quiere guardar su teclado mecánico de $52\text{ cm}$ de largo dentro de una caja de transporte que compró. La caja es un ortoedro con unas dimensiones internas de $48\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $10\text{ cm}$ de alto. ¿Podrá el teclado caber en la caja si lo coloca uniendo dos vértices opuestos (la diagonal del espacio)? Calcula la medida de la diagonal mayor del interior de la caja para justificar tu respuesta.
Figuras semejantes, razón y escala
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma: sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. La razón de semejanza es $k = \dfrac{\text{medida en la figura nueva}}{\text{medida en la figura original}}$.
Una escala $1:500$ es una razón de semejanza: $1$ cm en el plano son $500$ cm en la realidad.
Dos antenas semejantes de $12$ m y $18$ m tienen $k = \dfrac{18}{12} = 1.5$, y todas sus medidas lineales (distancia de anclaje incluida) se multiplican por $1.5$.
Un diseñador gráfico tiene una fotografía rectangular de $10 \text{ cm}$ de ancho y $15 \text{ cm}$ de alto. Si decide ampliarla para hacer un cartel de modo que el…
Un diseñador gráfico tiene una fotografía rectangular de $10 \text{ cm}$ de ancho y $15 \text{ cm}$ de alto. Si decide ampliarla para hacer un cartel de modo que el nuevo ancho sea de $40 \text{ cm}$, ¿cuánto medirá la altura del cartel si ambas figuras deben ser semejantes?
En el plano de una urbanización, la escala utilizada es $1:500$. Si la piscina comunitaria mide $3 \text{ cm}$ de largo en el plano, ¿cuál es su longitud real expresada…
En el plano de una urbanización, la escala utilizada es $1:500$. Si la piscina comunitaria mide $3 \text{ cm}$ de largo en el plano, ¿cuál es su longitud real expresada en metros?
Una antena de telefonía de $12 \text{ m}$ de altura se sujeta al suelo con dos cables tensores que parten de su extremo superior. Cada cable está anclado a una distancia…
Una antena de telefonía de $12 \text{ m}$ de altura se sujeta al suelo con dos cables tensores que parten de su extremo superior. Cada cable está anclado a una distancia de $5 \text{ m}$ de la base de la antena.
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¿Cuál es la longitud total de cable necesaria para sujetar la antena?
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Si queremos colocar otra antena semejante cuya altura sea de $18 \text{ m}$, ¿a qué distancia de la base deberíamos anclar los cables para que la estructura siga siendo proporcional?
Perímetros y áreas de figuras semejantes
Si $k$ es la razón de semejanza, las longitudes (lados, perímetros, diagonales) se multiplican por $k$, pero las áreas se multiplican por $k^2$.
También se puede ir al revés: si el área de una figura es la mitad de la otra, entonces $k^2 = \dfrac{1}{2}$ y $k = \sqrt{\dfrac{1}{2}} \approx 0.71$. Si el perímetro se triplica, $k = 3$ y el área se multiplica por $9$ sin calcular ningún lado.
Dos cuadrados son semejantes. El lado del primero mide $4 \text{ cm}$ y el lado del segundo mide $12 \text{ cm}$. Calcula la razón de semejanza $k$ y explica cuántas…
Dos cuadrados son semejantes. El lado del primero mide $4 \text{ cm}$ y el lado del segundo mide $12 \text{ cm}$. Calcula la razón de semejanza $k$ y explica cuántas veces es mayor el área del segundo cuadrado respecto al primero.
En el plano de una habitación a escala $1:50$, las dimensiones de una mesa de estudio rectangular son $2.4 \text{ cm}$ de ancho y $3.6 \text{ cm}$ de largo. 1. Calcula…
En el plano de una habitación a escala $1:50$, las dimensiones de una mesa de estudio rectangular son $2.4 \text{ cm}$ de ancho y $3.6 \text{ cm}$ de largo.
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Calcula las dimensiones reales de la mesa en metros.
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Si el área real de la habitación es de $12 \text{ m}^2$, ¿cuál es el área que ocupa la habitación en el plano expresada en $\text{cm}^2$?
Una señal de tráfico tiene forma de triángulo equilátero de $90\text{ cm}$ de lado. Dentro de ella, hay una franja de color rojo que forma otro triángulo equilátero…
Una señal de tráfico tiene forma de triángulo equilátero de $90\text{ cm}$ de lado. Dentro de ella, hay una franja de color rojo que forma otro triángulo equilátero semejante. Si el área de la parte blanca (el triángulo interior) es exactamente la mitad del área total de la señal, ¿cuál es la razón de semejanza entre el triángulo pequeño y el grande? ¿Cuánto mide el lado del triángulo interior? Redondea a dos cifras decimales.
Volúmenes de cuerpos semejantes
En cuerpos semejantes, el volumen se estira en tres direcciones: largo, ancho y alto. Por eso se multiplica por $k^3$.
Para la pirámide, recuerda que $V = \dfrac{1}{3} \cdot \text{Área de la base} \cdot \text{altura}$. Con la altura de la maqueta ($k$ por la real) puedes calcular el volumen directamente, o usar $k^3$ para comprobar.
Se ha fabricado una maqueta de un monumento utilizando una escala $1:250$. Si el monumento real tiene un volumen de $1500 \text{ m}^3$, calcula el volumen de la maqueta…
Se ha fabricado una maqueta de un monumento utilizando una escala $1:250$. Si el monumento real tiene un volumen de $1500 \text{ m}^3$, calcula el volumen de la maqueta en decímetros cúbicos ($\text{dm}^3$). Recuerda la relación entre la razón de semejanza y la razón de los volúmenes.
Para un festival de cine, se ha construido una maqueta a escala de una pirámide regular de base cuadrada. La pirámide real tiene un lado de la base de $24\text{ m}$ y…
Para un festival de cine, se ha construido una maqueta a escala de una pirámide regular de base cuadrada. La pirámide real tiene un lado de la base de $24\text{ m}$ y una altura de $16\text{ m}$. Si la maqueta se ha construido con una razón de semejanza $k = 1:80$, calcula:
- a) La longitud de la arista lateral de la pirámide real (necesitarás aplicar Pitágoras dos veces).
- b) El volumen de la maqueta en centímetros cúbicos, sabiendo que el volumen de una pirámide es $V = \frac{1}{3} \times \text{Área base} \times \text{Altura}$. (Usa la relación $k^3$ para el volumen).
Sombras y el teorema de Tales
A la misma hora, el sol incide con el mismo ángulo sobre todos los objetos. Un poste y su sombra forman un triángulo rectángulo semejante al que forman un edificio y su sombra. Por el teorema de Tales, los lados correspondientes son proporcionales:
$$\frac{\text{altura del objeto}}{\text{sombra del objeto}} = \frac{\text{altura de la referencia}}{\text{sombra de la referencia}}$$A una hora determinada del día, un poste vertical de $2 \text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $1.5 \text{ m}$. En ese mismo instante, la sombra de una torre…
A una hora determinada del día, un poste vertical de $2 \text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $1.5 \text{ m}$. En ese mismo instante, la sombra de una torre eléctrica cercana mide $12 \text{ m}$. Aplicando el teorema de Tales, calcula la altura de la torre.
Un grupo de alumnos de 2º de ESO quiere calcular la altura de la canasta del patio sin utilizar una escalera. En un momento determinado, Luis, que mide $1.60 \text{ m}$,…
Un grupo de alumnos de 2º de ESO quiere calcular la altura de la canasta del patio sin utilizar una escalera. En un momento determinado, Luis, que mide $1.60 \text{ m}$, proyecta una sombra de $0.80 \text{ m}$. Si en ese mismo instante la sombra de la canasta mide $1.52 \text{ m}$, ¿cuál es la altura de la canasta? Dibuja un esquema de la situación identificando los triángulos semejantes.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Triángulos dentro de triángulos
Una paralela a un lado de un triángulo crea un triángulo pequeño semejante al grande: una balda paralela a la base de una repisa, un foco que proyecta una sombra, la inclinación de un tejado. Siempre buscas las dos figuras semejantes y planteas una proporción entre sus lados.
Con proyección desde un foco pasa igual: el foco y el objeto, y el foco y la pared, forman triángulos semejantes. Lo importante es dibujar las distancias correctas. Si el chico camina hacia el mástil, la altura de la sombra sobre la pared cambia.
Un carpintero está diseñando una estantería que tiene forma de triángulo rectángulo. Ha colocado una balda intermedia paralela a la base. La altura total de la…
Un carpintero está diseñando una estantería que tiene forma de triángulo rectángulo. Ha colocado una balda intermedia paralela a la base. La altura total de la estantería es de $150 \text{ cm}$ y la base mide $90 \text{ cm}$. Si la balda intermedia está situada a una altura de $60 \text{ cm}$ desde la base:
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¿Cuánto mide la longitud de dicha balda intermedia?
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¿Qué longitud tiene el listón inclinado que forma la hipotenusa de la estantería completa?
En una plaza hay un mástil vertical. A una distancia de $12\text{ m}$ de su base, hay un foco en el suelo que proyecta luz. Un adolescente que mide $1.65\text{ m}$ se…
En una plaza hay un mástil vertical. A una distancia de $12\text{ m}$ de su base, hay un foco en el suelo que proyecta luz. Un adolescente que mide $1.65\text{ m}$ se coloca entre el foco y el mástil, a una distancia de $3\text{ m}$ del foco.
- a) Calcula la altura del mástil sabiendo que la sombra de la cabeza del chico coincide exactamente con la parte superior del mástil.
- b) Si el chico camina $2\text{ m}$ hacia el mástil, ¿qué longitud tendrá su sombra proyectada sobre el propio mástil?
Se quiere instalar una placa solar rectangular en un tejado inclinado. El tejado tiene una inclinación tal que por cada $4\text{ m}$ de avance horizontal sube…
Se quiere instalar una placa solar rectangular en un tejado inclinado. El tejado tiene una inclinación tal que por cada $4\text{ m}$ de avance horizontal sube $3\text{ m}$ de altura.
- a) Calcula la longitud real del tramo de tejado que cubre $8\text{ m}$ de distancia horizontal.
- b) Si la placa solar mide $2\text{ m}$ de largo y se coloca siguiendo la pendiente del tejado, ¿qué altura vertical $h$ salva la placa entre su borde inferior y el superior? (Usa semejanza de triángulos).
El teorema de la altura
En un triángulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto divide la hipotenusa en dos segmentos, $m$ y $n$. Los dos triángulos pequeños son semejantes entre sí y al grande, y de eso sale una relación sencilla.
Esto sirve cuando dos rayos o dos cables forman un ángulo recto y el punto de apoyo queda sobre la altura: el suelo es la hipotenusa y la altura la da este teorema.
Una empresa de mensajería utiliza drones para entregar paquetes. Para que el aterrizaje sea seguro en una azotea, el dron proyecta dos rayos láser que forman un ángulo…
Una empresa de mensajería utiliza drones para entregar paquetes. Para que el aterrizaje sea seguro en una azotea, el dron proyecta dos rayos láser que forman un ángulo recto en el emisor. El dron se encuentra a una altura $h$ sobre la azotea. Los puntos de impacto de los láseres en el suelo están alineados con la vertical del dron y distan entre sí $15.6\text{ m}$. Si uno de los puntos de impacto está a $3.9\text{ m}$ de la vertical del dron, calcula:
- a) La altura $h$ a la que vuela el dron utilizando el teorema de la altura.
- b) La distancia desde el dron hasta cada uno de los dos puntos de aterrizaje (los catetos del triángulo).
Vuelve al principio: el celular de Wilkin
La pantalla del celular de Wilkin mide $6$ pulgadas de diagonal, es decir, $6 \times 2.54 = 15.24$ cm. Si la pantalla tiene $13.5$ cm de alto, su ancho es un cateto: $\sqrt{15.24^2 - 13.5^2} \approx 7.07$ cm. Para el cable de la antena de Yaritza se hace el mismo tipo de cálculo con la hipotenusa. En todos los casos, primero se busca el triángulo rectángulo escondido.