El conjunto de los números naturales
Yaritza vende jugo de chinola en la puerta de su liceo y cada día anota cuántos vasos vendió: 0, 12, 25… ¿Existe un número natural que sea el más grande? ¿Y uno que esté entre el 7 y el 8? El conjunto de los números naturales, $\mathbb{N}$, tiene reglas propias que conviene dejar claras antes de operar con ellos en serio.
El conjunto ℕ
ℕ dentro de los números reales
Cuando la resta no cabe en $\mathbb{N}$, se amplía el conjunto: aparecen los enteros $\mathbb{Z}$ (con negativos), después los racionales $\mathbb{Q}$ (con fracciones) y por último los reales $\mathbb{R}$. Cada conjunto contiene al anterior:
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$Así, el $5$ es natural, entero, racional y real a la vez, pero $-3$ es entero y no es natural.
Valor posicional, lectura y redondeo
Nuestro sistema es decimal y posicional: una cifra vale más o menos según el lugar que ocupa. En $7{,}475$ el primer $7$ está en las unidades de millar y vale $7{,}000$; el segundo está en las decenas y vale $70$.
| Orden | Millones | Centenas de millar | Decenas de millar | Unidades de millar | Centenas | Decenas | Unidades |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Potencia | $10^6$ | $10^5$ | $10^4$ | $10^3$ | $10^2$ | $10^1$ | $10^0$ |
Cada posición vale 10 veces la de su derecha. Por eso un número se puede escribir como suma de cada cifra por su potencia de $10$: es la descomposición polinómica.
Cómo se lee un número grande
Las cifras se agrupan de tres en tres, de derecha a izquierda, y cada grupo se lee con su nombre: unidades, miles, millones. La coma separa los grupos.
Redondear un número
Redondear es cambiar un número por otro cercano que termina en ceros. Para redondear a un orden (decenas, centenas, millares…), mira la cifra de su derecha:
En el sistema de numeración decimal, el valor de una cifra depende de la posición que ocupa. En el número 7,475, indica qué valor representa el primer "7" (empezando por…
En el sistema de numeración decimal, el valor de una cifra depende de la posición que ocupa. En el número 7,475, indica qué valor representa el primer "7" (empezando por la izquierda) y qué valor representa el segundo "7". ¿Cuántas veces es mayor el primero respecto al segundo?
La población estimada de una red social en el año 2023 alcanzó la cifra de $1,205,040,300$ usuarios activos. a) Escribe cómo se lee dicho número en castellano. b)…
La población estimada de una red social en el año 2023 alcanzó la cifra de $1,205,040,300$ usuarios activos.
- a) Escribe cómo se lee dicho número en castellano.
- b) Realiza su descomposición polinómica utilizando potencias de base $10$.
- c) ¿Cuál es el valor posicional de la cifra $5$ en dicho número?
Considera el número natural $N = 47,082$. a) Si intercambiamos la cifra de las unidades de millar con la cifra de las decenas, ¿cuál es la diferencia entre el número…
Considera el número natural $N = 47,082$.
- a) Si intercambiamos la cifra de las unidades de millar con la cifra de las decenas, ¿cuál es la diferencia entre el número original y el nuevo número obtenido?
- b) ¿Cuántas centenas completas hay en total en el número $N$?
- c) Escribe el número natural más cercano a $N$ que termine en tres ceros.
Jerarquía de operaciones
Cuando una expresión mezcla sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y paréntesis, el orden en que operas no es libre: hay una jerarquía fija.
En un desafío de lógica matemática, se te entrega una expresión a la que le faltan paréntesis para que el resultado sea correcto. Coloca los paréntesis necesarios para…
En un desafío de lógica matemática, se te entrega una expresión a la que le faltan paréntesis para que el resultado sea correcto. Coloca los paréntesis necesarios para que se cumpla la igualdad:
$$5 + 3 \times 8 - 6^2 : 4 + 2 = 23$$Una vez resuelto, explica paso a paso la jerarquía de operaciones que has seguido para llegar al resultado de $23$.
Números romanos
Antes del sistema decimal, en Roma se escribía con letras. Todavía los ves en relojes, en placas de monumentos o en los capítulos de un libro.
Caminando por el centro de tu ciudad, ves una placa en un monumento antiguo que indica el año de su construcción en números romanos: MDCCCXCVII. Traduce esa fecha a…
Caminando por el centro de tu ciudad, ves una placa en un monumento antiguo que indica el año de su construcción en números romanos: MDCCCXCVII. Traduce esa fecha a nuestro sistema de numeración decimal.
Números con patrones especiales
Algunos naturales esconden un patrón geométrico. Ya conoces los cuadrados perfectos ($1, 4, 9, 16, 25, \ldots$): con esa cantidad de puntos (o de cajas, o de pegatinas) se arma un cuadrado completo, y el número de puntos de cada lado es su raíz cuadrada. Así, $36$ puntos forman un cuadrado de $6 \times 6$ porque $6^2 = 36$.
Cubos perfectos
Si apilas capas de un cuadrado hasta que la altura sea igual al lado, armas un cubo. Un cubo perfecto es un número de la forma $n^3 = n \times n \times n$. Por ejemplo, un cubo de $4 \times 4 \times 4$ cajas tiene $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ cajas. Los primeros son $1, 8, 27, 64, 125, \ldots$
Números hexagonales
Otra familia son los números hexagonales, que estudiaban los pitagóricos: los puntos se colocan formando hexágonos cada vez más grandes.
Los números capicúa se leen igual al derecho y al revés, como $4{,}774$. Para hallar uno con condiciones, usa la simetría: en uno de cuatro cifras $abba$, solo debes encontrar $a$ y $b$.
Lucía quiere organizar su colección de $36$ pegatinas formando un cuadrado perfecto sobre la tapa de su álbum. ¿Cuántas pegatinas debe poner en cada lado del cuadrado…
Lucía quiere organizar su colección de $36$ pegatinas formando un cuadrado perfecto sobre la tapa de su álbum. ¿Cuántas pegatinas debe poner en cada lado del cuadrado para que no le sobre ninguna? Dibuja un esquema sencillo de la solución.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un almacén de logística se organizan cajas de zapatos formando cubos perfectos. Si una estantería tiene una base cuadrada de $7 \times 7$ cajas y se apilan hasta…
En un almacén de logística se organizan cajas de zapatos formando cubos perfectos. Si una estantería tiene una base cuadrada de $7 \times 7$ cajas y se apilan hasta alcanzar la misma altura para formar un cubo:
- a) ¿Cuántas cajas hay en total en la estantería? Exprésalo en forma de potencia y calcula el valor.
- b) Si se venden $150$ cajas, ¿cuál es el número máximo de cajas que pueden seguir formando un cuadrado perfecto en el suelo del almacén? ¿Cuántas cajas sobrarían en ese caso?
Los pitagóricos estudiaban los números poligonales. Observa la siguiente secuencia de números hexagonales y responde: 1. Dibuja o describe cómo sería la figura del…
Los pitagóricos estudiaban los números poligonales. Observa la siguiente secuencia de números hexagonales y responde:
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Dibuja o describe cómo sería la figura del cuarto número hexagonal ($H_4$).
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¿Cuántos puntos tendrá la figura $H_5$?
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Sabiendo que la fórmula para calcular el número hexagonal que ocupa la posición $n$ es $H_n = 2n^2 - n$, calcula el valor para $H_{12}$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un número natural de cuatro cifras cumple las siguientes condiciones: Es un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda). La suma de…
Un número natural de cuatro cifras cumple las siguientes condiciones:
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Es un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda).
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La suma de sus cifras es $24$.
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La cifra de las unidades de millar es el triple que la cifra de las centenas.
Determina razonadamente de qué número se trata y represéntalo mediante su descomposición polinómica.
Resumen
Vuelve al principio: no existe un natural más grande (siempre puedes sumar $1$) y entre el $7$ y el $8$ no hay ningún natural.