Representación en la recta
Yaritza sube en el teleférico de Puerto Plata hasta la cima del Isabel de Torres, y Wilkin baja en un submarino turístico a explorar el fondo del mar. Si el nivel del mar es el $0$, ¿cómo los ubicas a los dos en una misma recta? ¿Y a qué distancia están uno del otro? En este apartado lo vas a resolver.
Representar enteros en la recta
En la recta numérica el $0$ es el origen. Los positivos van a la derecha y los negativos a la izquierda. Entre una marca y la siguiente hay siempre la misma distancia: una unidad.
Los números opuestos (como $-4$ y $+4$) están a la misma distancia del origen, uno a cada lado.
Un número está a la izquierda de otro cuando es menor. Por eso, para ordenar de menor a mayor, basta leer la recta de izquierda a derecha: $-6 < -3 < -1 < 2 < 4$.
También puedes representar movimientos con flechas: avanzar a la derecha es sumar, retroceder a la izquierda es restar.
Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y representa en ella los siguientes números enteros: $$-4, \quad +3, \quad 0, \quad -1, \quad +5$$ Puedes hacerlo en papel y…
Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y representa en ella los siguientes números enteros:
$$-4, \quad +3, \quad 0, \quad -1, \quad +5$$Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Sitúa los siguientes números en la recta numérica y utilízala para ordenarlos de menor a mayor usando el signo $<$: $$-6, \quad +2, \quad -3, \quad +4, \quad -1$$
Sitúa los siguientes números en la recta numérica y utilízala para ordenarlos de menor a mayor usando el signo $<$:
$$-6, \quad +2, \quad -3, \quad +4, \quad -1$$Representa en la recta numérica el número $-3$ y su opuesto. ¿A qué distancia se encuentra cada uno respecto al origen? Puedes usar esta recta, en la que están marcados…
Representa en la recta numérica el número $-3$ y su opuesto. ¿A qué distancia se encuentra cada uno respecto al origen?
Puedes usar esta recta, en la que están marcados el origen y las unidades (cada marca es una unidad), o dibujar la tuya:
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Movimientos y temperaturas
La recta sirve para seguir un recorrido paso a paso. Cada movimiento es una flecha que empieza donde terminó la anterior. También se puede dibujar vertical, como un termómetro.
Un termómetro marca una temperatura de $4^\circ\text{C}$ a las diez de la mañana. Si a las ocho de la tarde la temperatura ha bajado $6^\circ\text{C}$, representa en una…
Un termómetro marca una temperatura de $4^\circ\text{C}$ a las diez de la mañana. Si a las ocho de la tarde la temperatura ha bajado $6^\circ\text{C}$, representa en una recta ambas temperaturas y señala cuál es la temperatura final.
Un submarinista se encuentra a una profundidad de $8$ metros bajo el nivel del mar. Si decide subir $3$ metros para observar unos peces, ¿a qué profundidad se encuentra…
Un submarinista se encuentra a una profundidad de $8$ metros bajo el nivel del mar. Si decide subir $3$ metros para observar unos peces, ¿a qué profundidad se encuentra ahora? Representa el movimiento mediante flechas sobre una recta numérica horizontal.
Un repartidor de comida a domicilio comienza su jornada en el "Punto Cero" de una gran avenida principal. Realiza los siguientes desplazamientos: 1. Viaja $4$ kilómetros…
Un repartidor de comida a domicilio comienza su jornada en el "Punto Cero" de una gran avenida principal. Realiza los siguientes desplazamientos:
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Viaja $4$ kilómetros hacia el este ($+4$).
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Desde allí, se desplaza $7$ kilómetros hacia el oeste.
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Finalmente, avanza otros $2$ kilómetros hacia el oeste para entregar su último pedido.
Dibuja una recta numérica en tu cuaderno, representa cada movimiento mediante flechas y determina en qué punto kilométrico se encuentra al terminar.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Leer y ordenar con opuestos y valor absoluto
Para ubicar $-a$ (el opuesto de $a$) se refleja $a$ al otro lado del cero. El valor absoluto $|a|$ es la distancia de $a$ al origen, así que nunca es negativo: $|-5| = 5$.
Cuando te dan expresiones como «el opuesto de $3$» o «el valor absoluto de $-5$», primero calcula su valor y luego colócalo en la recta.
En la siguiente recta numérica se han marcado cuatro puntos representados por letras. Identifica qué número entero corresponde a cada una de las letras $A$, $B$, $C$ y…
En la siguiente recta numérica se han marcado cuatro puntos representados por letras. Identifica qué número entero corresponde a cada una de las letras $A$, $B$, $C$ y $D$.
Dibuja una recta numérica y sitúa en ella los siguientes elementos. Después, ordénalos de menor a mayor utilizando el símbolo $<$: El número $-4$. El opuesto de $3$. El…
Dibuja una recta numérica y sitúa en ella los siguientes elementos. Después, ordénalos de menor a mayor utilizando el símbolo $<$:
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El número $-4$.
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El opuesto de $3$.
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El valor absoluto de $-5$.
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El número $0$.
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El opuesto del opuesto de $-2$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Representa en la recta numérica el número $-3$ y todos los números enteros cuyo valor absoluto sea menor que él. ¿Es posible realizar esta tarea? Justifica tu respuesta…
Representa en la recta numérica el número $-3$ y todos los números enteros cuyo valor absoluto sea menor que él. ¿Es posible realizar esta tarea? Justifica tu respuesta basándote en la definición de valor absoluto y su representación gráfica.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Distancia entre dos puntos
Si los dos puntos están a lados distintos del cero, se suman las distancias de cada uno al origen. Si están del mismo lado, se resta. Las dos situaciones se resumen en una sola regla.
El punto medio entre $a$ y $b$ está a igual distancia de los dos: es $\dfrac{a+b}{2}$. Por ejemplo, entre $-7$ y $+3$ está $\dfrac{-7+3}{2} = -2$, a $5$ unidades de cada uno.
En una estación de esquí de Sierra Nevada, el termómetro ha marcado las siguientes temperaturas a lo largo de la mañana: A las 8:00h: $-6$ $^\circ$C A las 10:00h: $-2$…
En una estación de esquí de Sierra Nevada, el termómetro ha marcado las siguientes temperaturas a lo largo de la mañana:
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A las 8:00h: $-6$ $^\circ$C
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A las 10:00h: $-2$ $^\circ$C
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A las 12:00h: $+3$ $^\circ$C
- a) Representa las tres temperaturas en una recta numérica vertical (como si fuera un termómetro).
- b) ¿Cuál ha sido la variación térmica (distancia en la recta) entre las 8:00h y las 12:00h?
Halla el número entero que se encuentra exactamente a la misma distancia de $-7$ y de $+3$ en la recta numérica. En la figura tienes marcados esos dos números.…
Halla el número entero que se encuentra exactamente a la misma distancia de $-7$ y de $+3$ en la recta numérica. En la figura tienes marcados esos dos números. Represéntalo gráficamente sobre la recta para comprobar tu resultado y explica cómo lo has calculado.
Un submarino y un helicóptero de rescate están situados sobre la misma línea vertical. Si transponemos sus posiciones a una recta numérica horizontal donde el $0$ es el…
Un submarino y un helicóptero de rescate están situados sobre la misma línea vertical. Si transponemos sus posiciones a una recta numérica horizontal donde el $0$ es el nivel del mar:
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El submarino se encuentra en el punto $S$.
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El helicóptero se encuentra en el punto $H$.
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Se sabe que $|S| = |H| - 200$.
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La distancia entre el submarino y el helicóptero es de $500$ metros.
Dibuja la recta numérica y halla las coordenadas de $S$ y $H$, sabiendo que el helicóptero vuela por encima del nivel del mar y el submarino está sumergido.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Intervalos: extremos abiertos y cerrados
Una condición como $-2 < x \le 3$ describe de golpe todos los enteros de un tramo de la recta, no solo uno.
En forma de intervalo, $-2 < x \le 3$ se escribe $(-2, 3]$: paréntesis si el extremo no entra, corchete si entra.
Escribe en tu cuaderno todos los números enteros $x$ que cumplen la condición $-2 < x \leq 3$ y represéntalos en la recta numérica. Fíjate bien en los extremos abiertos…
Escribe en tu cuaderno todos los números enteros $x$ que cumplen la condición $-2 < x \leq 3$ y represéntalos en la recta numérica. Fíjate bien en los extremos abiertos y cerrados.
Puedes copiar esta recta en tu cuaderno:
Escribe todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes dos condiciones y represéntalos en una recta numérica: $-5 < x \leq 2$ El valor absoluto…
Escribe todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes dos condiciones y represéntalos en una recta numérica:
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$-5 < x \leq 2$
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El valor absoluto de $x$ es mayor que $1$, es decir, $|x| > 1$.
Identifica todos los números enteros $n$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones y ubícalos en una recta numérica: 1. El valor absoluto de $n$ es…
Identifica todos los números enteros $n$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones y ubícalos en una recta numérica:
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El valor absoluto de $n$ es menor o igual que $7$: $|n| \leq 7$.
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$n$ es estrictamente mayor que su opuesto: $n > -n$.
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La distancia entre $n$ y el número $-2$ es mayor que $5$ unidades.
Valor absoluto en la recta
La ecuación $|x| = 4$ tiene dos soluciones: los dos puntos que están a distancia $4$ de $0$.
Con $|x - c| = d$ pasa lo mismo, pero el centro es $c$ en vez de $0$: $x$ está a $d$ unidades de $c$, a la derecha o a la izquierda.
Representa en la recta numérica todos los números enteros cuyo valor absoluto sea igual a $4$. ¿Cuántos números has marcado? Puedes hacerlo en papel y enviar una foto…
Representa en la recta numérica todos los números enteros cuyo valor absoluto sea igual a $4$. ¿Cuántos números has marcado?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dados los números enteros $x$ tales que su distancia al origen ($0$) es de $6$ unidades, y usando la recta numérica de la figura (o dibujando una igual en tu cuaderno):…
Dados los números enteros $x$ tales que su distancia al origen ($0$) es de $6$ unidades, y usando la recta numérica de la figura (o dibujando una igual en tu cuaderno):
- a) Representa dichos números en la recta numérica.
- b) Representa también sus opuestos.
- c) ¿Qué observas respecto a la posición de los números originales y sus opuestos en la recta?
Dadas las siguientes expresiones, sitúa en la recta numérica los valores de $x$ que las hacen verdaderas: a) $|x - 3| = 5$ b) $|x - 2| = 4$ ¿Qué número entero es…
Dadas las siguientes expresiones, sitúa en la recta numérica los valores de $x$ que las hacen verdaderas:
- a) $|x - 3| = 5$
- b) $|x - 2| = 4$
¿Qué número entero es solución de ambas expresiones a la vez? Márcalo con un color diferente en tu recta.
Problemas con condiciones sobre la recta
En los problemas difíciles te dan pistas sobre posiciones, distancias y valores absolutos. La estrategia es siempre la misma: dibuja la recta, traduce cada pista a una condición y revisa si hay dos posibilidades (una a cada lado del cero).
Un explorador se encuentra en una red de cuevas subterráneas representadas en una recta numérica horizontal. El origen $0$ es la entrada de la cueva. Sabemos que el…
Un explorador se encuentra en una red de cuevas subterráneas representadas en una recta numérica horizontal. El origen $0$ es la entrada de la cueva. Sabemos que el explorador ha realizado los siguientes movimientos sucesivos:
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Comienza en un punto desconocido $x$.
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Avanza $+12$ unidades.
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Retrocede el doble de su posición inicial $x$ (es decir, $2x$ unidades hacia la izquierda).
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Avanza el opuesto de $-5$.
Si finalmente se encuentra en el punto $-3$, representa la situación en la recta numérica (dibuja tú mismo la recta y los movimientos) y determina razonadamente el valor del punto de partida $x$.
En la recta numérica de los números enteros, el punto $A$ representa al número $-4$. El punto $B$ es un número tal que su distancia al origen es el triple que la…
En la recta numérica de los números enteros, el punto $A$ representa al número $-4$. El punto $B$ es un número tal que su distancia al origen es el triple que la distancia de $A$ al origen. Si el punto $C$ es el punto medio del segmento formado por los puntos opuestos de $A$ y $B$, ¿qué números podría representar $C$? Ten en cuenta que existen dos soluciones posibles para $B$. Represéntalas gráficamente.
Tres puntos $P$, $Q$ y $R$ están situados en la recta numérica. Se sabe que: El punto $Q$ es el opuesto de $-6$. El punto $P$ está a una distancia de $10$ unidades de…
Tres puntos $P$, $Q$ y $R$ están situados en la recta numérica. Se sabe que:
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El punto $Q$ es el opuesto de $-6$.
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El punto $P$ está a una distancia de $10$ unidades de $Q$, hacia la izquierda.
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El punto $R$ cumple que $|R| = |P| + |Q|$.
Calcula los valores de $P$, $Q$ y $R$. Representa en la recta todas las posiciones posibles de $R$ y explica cuál de ellas está más alejada del punto medio entre $P$ y $Q$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Considera un número entero negativo $a$ y un número entero positivo $b$. En la recta numérica, la distancia entre $a$ y $b$ es de $15$ unidades. Si el valor absoluto de…
Considera un número entero negativo $a$ y un número entero positivo $b$. En la recta numérica, la distancia entre $a$ y $b$ es de $15$ unidades. Si el valor absoluto de $a$ es el doble que el valor absoluto de $b$, es decir, $|a| = 2 \times |b|$, encuentra los valores de $a$ y $b$ y represéntalos. ¿Cuál es el opuesto de la suma $a + b$?
Dibuja una recta numérica y representa los siguientes conjuntos de números de forma que se pueda apreciar la diferencia entre ellos (por ejemplo, usando un color…
Dibuja una recta numérica y representa los siguientes conjuntos de números de forma que se pueda apreciar la diferencia entre ellos (por ejemplo, usando un color distinto para cada conjunto):
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Conjunto $X$: números enteros $x$ tales que $|x| < 4$.
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Conjunto $Y$: números enteros $y$ tales que su opuesto $-y$ está entre $-2$ y $5$ (ambos excluidos).
Indica razonadamente qué números enteros pertenecen a ambos conjuntos a la vez.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Resumen
Vuelve al principio: con el nivel del mar como $0$, Yaritza en la cima queda en un número positivo y Wilkin bajo el agua en uno negativo; la distancia entre ambos es $|a - b|$.