Aproximación y redondeo

En el sistema de numeración decimal, cada cifra tiene un valor según la posición que ocupa. Dado el número $58.347$, indica qué cifra ocupa cada una de las siguientes posiciones:

1. a) Las décimas.
2. b) Las centésimas.
3. c) Las milésimas.
4. d) Las unidades.

Observa la siguiente recta numérica donde se ha marcado el punto $P$. Escribe el número decimal exacto que representa $P$ y luego redondea dicho valor a la unidad más cercana (al número entero más próximo).

Estás revisando los precios de una tienda en línea y encuentras un accesorio para tu consola que cuesta $24.9632$ pesos. Aproxima este precio por truncamiento a las centésimas (es decir, a los centavos de pesos).

En la clase de Tecnología has medido el grosor de una pieza con un calibre digital, obteniendo el valor $3.749$ mm. Aproxima este valor a las décimas de dos formas distintas:

1. a) Mediante truncamiento.
2. b) Mediante redondeo.

Indica si las siguientes afirmaciones sobre la aproximación de $4.572$ son verdaderas o falsas:

1. a) El truncamiento a las décimas es $4.5$.
2. b) El redondeo a las décimas es $4.5$.
3. c) El redondeo a las centésimas es $4.57$.
4. d) El truncamiento a las unidades es $4$.

Un atleta ha registrado un tiempo de $10.438$ segundos en una carrera de 100 metros lisos. Redondea su marca a las centésimas. ¿Ha sido el redondeo por exceso o por defecto?

Completa la siguiente tabla en tu cuaderno para el número $7.4628$. Para cada caso, indica si la aproximación obtenida por redondeo es por defecto o por exceso.

Considera el número irracional $\pi \approx 3.14159265...$. En la figura puedes ver el valor de cada posición decimal.

1. a) Realiza un truncamiento a las diezmilésimas.

1. b) Realiza un redondeo a las diezmilésimas.

1. c) Compara ambos resultados y explica por qué en este caso particular el redondeo y el truncamiento no coinciden.

Aproxima el número $0.666...$ (periódico puro) de las siguientes maneras:

1. a) Truncando a las centésimas.
2. b) Redondeando a las centésimas.
3. c) Redondeando a las décimas.

Si el lado de un cuadrado mide $6.8$ cm, estima su área redondeando primero la medida del lado al número entero más próximo. Dibuja un esquema del cuadrado indicando la medida aproximada.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una tienda de informática, los precios de tres componentes son $15.99$ pesos, $32.45$ pesos y $12.80$ pesos.

Si decides estimar el costo total redondeando a la unidad (pesos) antes de sumar, ¿cuál es la diferencia entre el precio real total y tu estimación? ¿Estimaste por exceso o por defecto?

Un sastre necesita comprar tela para fabricar 7 fundas de cojín. Cada funda requiere exactamente $1.428$ metros de tela.

1. a) Calcula la cantidad total de tela necesaria de forma exacta.
2. b) Si el sastre decide comprar la tela redondeando el total obtenido a las décimas, ¿le sobrará o le faltará tela? Calcula la cantidad exacta de esa diferencia.

El tiempo oficial de una carrera de 100 metros lisos se mide con milésimas de segundo. Un corredor ha tardado $10.437$ segundos.

1. a) Si en las noticias solo informan del tiempo redondeando a las centésimas, ¿qué tiempo dirán?
2. b) Si otro corredor ha tardado $10.432$ segundos, ¿qué tiempo le asignarían siguiendo el mismo criterio de redondeo?
3. c) ¿Sería justo usar este redondeo si ambos corredores compitieran en la misma serie? Razona tu respuesta basándote en la precisión.

Un sensor de precisión en una central meteorológica registra la humedad relativa del aire. Por motivos de almacenamiento de datos, el sistema informático redondea automáticamente el valor a las centésimas. Si en la pantalla aparece un valor de $64.38\,\%$, determina el intervalo exacto (valor mínimo y valor máximo) en el que se encuentra la humedad real captada por el sensor antes de ser redondeada.

La figura muestra la recta numérica con el valor de la pantalla y los dos valores con centésimas que están a su lado.

Un agricultor ha medido el área de su parcela rectangular y ha obtenido un valor de $124.3756$ $m^2$.

1. a) Calcula el valor del área aproximando por redondeo a las centésimas.
2. b) Calcula el error absoluto cometido al realizar dicha aproximación. Recuerda que el error absoluto es $E_a = |V_{real} - V_{aproximado}|$.

La sonda espacial Voyager 1 se encuentra aproximadamente a $2.348 \times 10^{10}$ kilómetros de la Tierra. Un astrónomo decide aproximar esta distancia truncando el número a las unidades de millar de millón (es decir, dejando solo dos cifras significativas: $2.3 \times 10^{10}$ km).

En la figura se han marcado sobre una recta ambos valores, el exacto y el aproximado.

Calcula el error absoluto y el error relativo cometido con esta aproximación. Expresa el error relativo en forma de porcentaje redondeado a las milésimas.

En una fábrica de componentes electrónicos, una pieza rectangular debe medir $12.456$ mm de largo y $8.321$ mm de ancho. El operario de la máquina redondea ambas medidas a las décimas antes de realizar el corte.

1. Calcula el área de la pieza con las medidas originales (sin aproximar).

2. Calcula el área de la pieza con las medidas redondeadas.

3. Determina el error absoluto cometido en el cálculo del área debido a esos redondeos previos.

Una empresa de transporte calcula el costo del combustible para un viaje largo. El precio del gasoil es de $1.387$ pesos/litro y el camión consume $32.4$ litros cada 100 km. El viaje es de 450 km.

1. a) Calcula el costo total exacto del combustible para el viaje.
2. b) Si la empresa estima el costo redondeando el precio del litro a las centésimas y el consumo a unidades (litros), ¿cuál sería el presupuesto estimado?
3. c) Calcula la diferencia entre el costo real y el estimado. ¿Es una estimación segura para la empresa (por exceso) o arriesgada (por defecto)?

Se están comparando dos métodos de aproximación para el número irracional $\pi$.

• El método A utiliza el redondeo a las diezmilésimas ($3.1416$).

• El método B utiliza la fracción de Arquímedes $\frac{22}{7}$.

Calcula el error absoluto de cada método sabiendo que el valor de $\pi$ con siete decimales es $3.1415926$. ¿Cuál de los dos métodos es más preciso? Justifica tu respuesta comparando los errores.

Considera el número periódico mixto $n = 4.12\widehat{6}$, es decir, $n = 4.12666\ldots$ (el 6 se repite indefinidamente).

1. a) Obtén su fracción generatriz simplificada al máximo.

1. b) Aproxima el número $n$ por redondeo a las milésimas.

1. c) Calcula la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real (usando la fracción generatriz) y la aproximación del apartado b). ¿A qué concepto de error corresponde este resultado?

Representa en una recta numérica el número decimal periódico puro $2,\widehat{6}$. Para ello:

1. a) Sitúa entre qué dos números enteros se encuentra.
2. b) Indica qué número obtendrías si redondeas a las décimas.
3. c) ¿Cuál es la cota de error máximo que cometemos al redondear a las décimas?

Un influencer está analizando el crecimiento de sus seguidores. El lunes tenía $1,240,500$ seguidores. El martes, su audiencia creció un $0.125\,\%$.

1. Calcula el número exacto de nuevos seguidores.

2. Si el sistema de estadísticas solo muestra números enteros y utiliza el truncamiento, ¿qué número de seguidores totales verá el influencer el martes?

3. ¿Cuál es el error relativo (en porcentaje) que comete la plataforma al mostrar el dato truncado respecto al crecimiento real?

Deseamos diseñar una placa cuadrada cuya área exacta sea de $30$ cm². Como no podemos medir con precisión infinita, aproximamos el lado del cuadrado ($\sqrt{30}$) mediante redondeo a las centésimas.

1. a) ¿Cuál es el valor del lado aproximado?

1. b) Si fabricamos la placa con ese lado aproximado, ¿cuál será su área real?

1. c) Calcula el error absoluto cometido en el área respecto a los $30$ cm² originales.

Una empresa de mensajería utiliza drones para repartir paquetes. El software de navegación estima el tiempo de llegada dividiendo la distancia por la velocidad media.

Para un trayecto de $15$ km a una velocidad de $35$ km/h:

1. Calcula el tiempo exacto en horas (en forma de fracción y en forma decimal periódica).

2. El software ofrece una estimación redondeando el tiempo a los minutos enteros.

3. Calcula el error relativo que comete el software al informar al cliente en minutos, comparándolo con el tiempo real (expresa ambos tiempos en la misma unidad).