Operaciones con números racionales
Yaritza graba un video con su celular. Al editarlo corta $\frac{1}{6}$ del metraje por errores de sonido y luego elimina $\frac{2}{5}$ de lo que queda porque el ritmo era lento. ¿Qué fracción del video original sobrevive? Para responder necesitas sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones con soltura, también cuando aparecen negativas. Al final de la página lo resolvemos.
Recuerda que los números racionales $\mathbb{Q}$ son los que se pueden escribir como fracción $\frac{a}{b}$ con $b \neq 0$, y que $\mathbb{Q}$ está dentro de los números reales $\mathbb{R}$. Todo lo que hagas aquí con fracciones también vale para enteros (como $\frac{3}{1}$) y para decimales exactos o periódicos.
Fracción irreducible
En una encuesta de tu curso, $\frac{12}{30}$ de los estudiantes eligieron una red social de videos cortos. ¿Es esa la forma más simple de decirlo? Una fracción es irreducible cuando numerador y denominador no tienen ningún divisor común aparte de $1$.
En una encuesta realizada en tu curso sobre la red social favorita, $\frac{12}{30}$ de los estudiantes eligieron una plataforma de videos cortos. Obtén la fracción…
En una encuesta realizada en tu curso sobre la red social favorita, $\frac{12}{30}$ de los estudiantes eligieron una plataforma de videos cortos. Obtén la fracción irreducible para saber qué parte del total representa este grupo.
Sumar y restar fracciones
Para preparar un "smoothie" saludable, has mezclado $\frac{3}{4}$ de litro de leche de avena con $\frac{1}{2}$ litro de jugo de naranja. Al servirlo, se derraman…
Para preparar un "smoothie" saludable, has mezclado $\frac{3}{4}$ de litro de leche de avena con $\frac{1}{2}$ litro de jugo de naranja. Al servirlo, se derraman $\frac{1}{8}$ de litro. Realiza la operación paso a paso para saber qué cantidad de mezcla queda en la jarra.
Un adolescente dedica $\frac{1}{3}$ de su tiempo libre de la tarde a hacer deporte y $\frac{2}{5}$ a estudiar matemáticas. a) Calcula qué fracción de su tiempo libre…
Un adolescente dedica $\frac{1}{3}$ de su tiempo libre de la tarde a hacer deporte y $\frac{2}{5}$ a estudiar matemáticas.
- a) Calcula qué fracción de su tiempo libre total ocupan estas dos actividades.
- b) ¿Qué fracción de tiempo le queda libre para jugar a la consola?
Multiplicar y dividir fracciones
Fracción de una cantidad
Para hallar $\frac{a}{b}$ de una cantidad, se multiplica la cantidad por la fracción. Si la batería de tu celular es de $4{,}500$ mAh y queda $\frac{4}{9}$, tienes $4500 \times \frac{4}{9} = 2{,}000$ mAh.
En una estantería de una tienda de cómics, $\frac{2}{3}$ de los ejemplares son de superhéroes. De esos cómics de superhéroes, la mitad ($\frac{1}{2}$) pertenecen a una…
En una estantería de una tienda de cómics, $\frac{2}{3}$ de los ejemplares son de superhéroes. De esos cómics de superhéroes, la mitad ($\frac{1}{2}$) pertenecen a una famosa editorial americana. Calcula la fracción del total de la estantería que representan los cómics de esa editorial específica realizando una multiplicación de fracciones.
Queremos repartir $\frac{3}{2}$ de kilo de gominolas en bolsas pequeñas. Si en cada bolsa ponemos $\frac{1}{10}$ de kilo: a) ¿Cuántas bolsas podremos llenar…
Queremos repartir $\frac{3}{2}$ de kilo de gominolas en bolsas pequeñas. Si en cada bolsa ponemos $\frac{1}{10}$ de kilo:
- a) ¿Cuántas bolsas podremos llenar completamente?
- b) Realiza la operación utilizando la división de fracciones: $\frac{3}{2} : \frac{1}{10}$
La batería de tu celular tiene una capacidad total de $4500$ mAh. Si en este momento la pantalla indica que le queda exactamente $\frac{4}{9}$ de su capacidad: a)…
La batería de tu celular tiene una capacidad total de $4500$ mAh. Si en este momento la pantalla indica que le queda exactamente $\frac{4}{9}$ de su capacidad:
- a) ¿Cuántos mAh tiene disponibles?
- b) Si el modo de ahorro de energía se activa cuando queda $\frac{1}{5}$ del total, ¿cuántos mAh representan ese límite?
Opuesto e inverso de una fracción
Observa la siguiente figura que representa una tarta de chocolate dividida en porciones iguales. Escribe la fracción que representa la parte que falta y calcula la…
Observa la siguiente figura que representa una tarta de chocolate dividida en porciones iguales. Escribe la fracción que representa la parte que falta y calcula la fracción opuesta y la fracción inversa de dicha cantidad.
Potencias y raíces de fracciones
Las propiedades de las potencias que ya conoces valen también con fracciones: se aplica el exponente al numerador y al denominador.
Calcula el valor de la siguiente operación combinada con potencias de exponente negativo y simplifica el resultado: $$ \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} : \left(…
Calcula el valor de la siguiente operación combinada con potencias de exponente negativo y simplifica el resultado:
$$ \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} : \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( -1 \right)^5 $$Halla el valor de $x$ en la siguiente igualdad de potencias con números racionales, aplicando las propiedades necesarias para simplificar la expresión: $$\frac{\left(…
Halla el valor de $x$ en la siguiente igualdad de potencias con números racionales, aplicando las propiedades necesarias para simplificar la expresión:
$$\frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \times \left( \frac{9}{4} \right)^{-2}}{\left( \frac{4}{9} \right)^{3} : \left( \frac{3}{2} \right)^{-4}} = \left( \frac{2}{3} \right)^x$$Decimales y fracciones juntos
A veces una expresión mezcla fracciones con decimales. Lo más limpio es pasar todo a fracción y trabajar con fracciones exactas.
En un laboratorio de química, un recipiente contiene $2.4$ litros de una solución ácida. Para un experimento, se extraen primero $\frac{2}{3}$ del contenido. Después, se…
En un laboratorio de química, un recipiente contiene $2.4$ litros de una solución ácida. Para un experimento, se extraen primero $\frac{2}{3}$ del contenido. Después, se añaden $0.5$ litros de agua destilada para rebajar la mezcla. Finalmente, se utilizan $\frac{3}{5}$ de la mezcla resultante.
- a) Realiza todas las operaciones trabajando exclusivamente con fracciones.
- b) ¿Cuántos litros de mezcla quedan al final en el recipiente? Expresa el resultado tanto en fracción como en número decimal.
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión combinada, transformando previamente los números decimales en sus respectivas fracciones generatrices y simplificando…
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión combinada, transformando previamente los números decimales en sus respectivas fracciones generatrices y simplificando los pasos intermedios:
$$\left( \frac{3}{5} - 0,\widehat{6} \right)^2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} + \sqrt{\frac{25}{9}} : 1.2\widehat{5}$$Operaciones combinadas con fracciones
Igual que con los enteros: primero paréntesis y corchetes (de dentro hacia fuera), luego potencias y raíces, después multiplicar y dividir, y al final sumar y restar.
Resuelve la siguiente operación combinada respetando la jerarquía de las operaciones: $$\frac{2}{5} \times \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) - \frac{1}{10}$$
Resuelve la siguiente operación combinada respetando la jerarquía de las operaciones:
$$\frac{2}{5} \times \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) - \frac{1}{10}$$Resuelve la siguiente expresión combinada, simplificando el resultado hasta obtener la fracción irreducible: $$\frac{3}{5} - \left[ \frac{1}{2} : \left( \frac{2}{3} -…
Resuelve la siguiente expresión combinada, simplificando el resultado hasta obtener la fracción irreducible:
$$\frac{3}{5} - \left[ \frac{1}{2} : \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{6} \right) \right] \times \frac{5}{4}$$Calcula el resultado de la siguiente operación combinada, simplificando el resultado hasta obtener la fracción irreducible: $$ \frac{3}{5} - \left[ \frac{1}{2} + \left(…
Calcula el resultado de la siguiente operación combinada, simplificando el resultado hasta obtener la fracción irreducible:
$$ \frac{3}{5} - \left[ \frac{1}{2} + \left( \frac{2}{3} \right)^2 \times \left( \frac{1}{4} - 1 \right) \right] $$Halla el valor de la siguiente expresión teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones y las reglas de los signos: $$ \frac{\frac{3}{2} - \frac{5}{4}}{\frac{1}{2}…
Halla el valor de la siguiente expresión teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones y las reglas de los signos:
$$ \frac{\frac{3}{2} - \frac{5}{4}}{\frac{1}{2} \times \left( -3 \right)} + \sqrt{\frac{16}{81}} $$Problemas «del resto»
Cuando un problema dice una fracción de lo que queda, esa fracción no se aplica al total, sino al resto. Hay que ir paso a paso.
Un creador de contenido ha grabado un video para su canal. Durante la edición, corta $\frac{1}{6}$ del metraje total por errores de sonido. Después, elimina…
Un creador de contenido ha grabado un video para su canal. Durante la edición, corta $\frac{1}{6}$ del metraje total por errores de sonido. Después, elimina $\frac{2}{5}$ de lo que quedaba porque el ritmo era demasiado lento. Al final, el video editado tiene una duración de $18$ minutos.
- a) ¿Qué fracción del metraje original representa el video final de $18$ minutos?
- b) ¿Cuánto duraba la grabación original antes de empezar a editar?
Tres amigos deciden comprar un regalo para un compañero que se cambia de liceo. El primero aporta $\frac{2}{5}$ del precio total, el segundo aporta $\frac{1}{3}$ de lo…
Tres amigos deciden comprar un regalo para un compañero que se cambia de liceo. El primero aporta $\frac{2}{5}$ del precio total, el segundo aporta $\frac{1}{3}$ de lo que queda y el tercero completa el pago con $960$ pesos.
- a) ¿Qué fracción del total representa la cantidad aportada por el segundo amigo?
- b) ¿Cuál es el precio total del regalo?
- c) ¿Cuánto dinero puso cada uno?
En una competición de eSports, el premio total se reparte de la siguiente forma: el equipo ganador se lleva $\frac{4}{7}$ del total, el segundo clasificado $\frac{2}{3}$…
En una competición de eSports, el premio total se reparte de la siguiente forma: el equipo ganador se lleva $\frac{4}{7}$ del total, el segundo clasificado $\frac{2}{3}$ de lo que queda, y el tercer clasificado el resto. Si la diferencia entre el premio del segundo y el del tercero es de $210\,000$ pesos, calcula el valor total del premio y cuánto dinero recibe cada uno de los tres equipos.
Problemas con fracciones y datos desconocidos
Hay problemas donde el total o una cantidad desconocida aparece en varias partes. La estrategia: llama $x$ al total, expresa cada parte como fracción de $x$ y plantea una ecuación sencilla.
Un arquitecto está diseñando una zona de juegos en un parque rectangular. Ha decidido dividir el terreno como se muestra en el siguiente esquema: Si la zona de "Césped"…
Un arquitecto está diseñando una zona de juegos en un parque rectangular. Ha decidido dividir el terreno como se muestra en el siguiente esquema:
Si la zona de "Césped" ocupa exactamente la mitad del terreno y la zona de "Columpios" es $\frac{3}{10}$ del total del parque:
- a) ¿Qué fracción del total representa la zona de "Arena"?
- b) Si el parque tiene una superficie total de $1200$ $m^2$, ¿cuántos metros cuadrados mide la zona de "Arena"?
Una joven influencer* está organizando su presupuesto mensual derivado de sus colaboraciones. Destina $\frac{2}{5}$ de sus ingresos al alquiler de su estudio y…
Una joven influencer está organizando su presupuesto mensual derivado de sus colaboraciones. Destina $\frac{2}{5}$ de sus ingresos al alquiler de su estudio y $\frac{1}{4}$ del resto a la edición de video. Si después de estos gastos aún le quedan $\frac{5}{9}$ de lo que quedaba para ahorrar y todavía dispone de $28\,800$ pesos para gastos personales, ¿a cuánto ascienden sus ingresos totales mensuales?
En un laboratorio de química, un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua. Inicialmente, $\frac{2}{7}$ del contenido es alcohol. Se extraen $12$ litros de la mezcla…
En un laboratorio de química, un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua. Inicialmente, $\frac{2}{7}$ del contenido es alcohol. Se extraen $12$ litros de la mezcla y se sustituyen por $12$ litros de alcohol puro. Si ahora la mezcla contiene $\frac{2}{5}$ de alcohol, ¿cuántos litros de líquido hay en total en el tanque?
Los siguientes ejercicios combinan geometría, tiempo y reparto de inversiones:
Observa el diseño de esta baldosa moderna para un centro cultural. El cuadrado exterior tiene un área de $1$ m$^2$. Se han sombreado diferentes regiones siguiendo un…
Observa el diseño de esta baldosa moderna para un centro cultural. El cuadrado exterior tiene un área de $1$ m$^2$. Se han sombreado diferentes regiones siguiendo un patrón geométrico. Determina qué fracción del total representa la zona sombreada en color naranja y calcula cuántos cm$^2$ le corresponden.
Un dron de vigilancia realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos bases. En la ida, vuela con el viento a favor a una velocidad constante. En la vuelta, con el viento…
Un dron de vigilancia realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos bases. En la ida, vuela con el viento a favor a una velocidad constante. En la vuelta, con el viento en contra, su velocidad se reduce a las $\frac{3}{5}$ partes de la velocidad de ida. Si el tiempo total de vuelo ha sido de $1$ hora y $20$ minutos, ¿qué fracción del tiempo total ha empleado en el viaje de vuelta? Expresa el resultado también en minutos y segundos.
Tres socios invierten en un negocio tecnológico. El primero aporta $720\,000$ pesos, el segundo aporta las $\frac{2}{5}$ partes del total y el tercero aporta la misma…
Tres socios invierten en un negocio tecnológico. El primero aporta $720\,000$ pesos, el segundo aporta las $\frac{2}{5}$ partes del total y el tercero aporta la misma cantidad que los otros dos juntos menos $1\,080\,000$ pesos.
- a) ¿Cuál es la inversión total del negocio?
- b) ¿Qué fracción del total aporta cada socio? (Expresa las fracciones de forma irreducible).
Vuelve al principio: el video de Yaritza conserva $\frac{1}{2}$ del metraje original, porque tras el primer corte quedaba $\frac{5}{6}$ y el segundo corte quitó $\frac{2}{5}$ de ese resto, o sea $\frac{1}{3}$ del total.