Modellierung im Sachkontext
Im Prüfungsteil 2 der ZP10 hast du Taschenrechner und Formelsammlung, aber die Aufgaben kommen als Geschichte: ein Schwimmbad in Gelsenkirchen, eine Seilbahn im Sauerland, ein Dorf in der Eifel. Die Frage ist immer dieselbe: Wie wird aus dem Text eine Rechnung, und woher weißt du am Ende, dass das Ergebnis stimmt? Genau das übst du hier.
Der Modellierungskreislauf
Jede Sachaufgabe löst du in vier Schritten. Wenn du sie jedes Mal gleich gehst, verlierst du in der Prüfung keine Punkte durch Unordnung.
Merke: Ein Ergebnis ist erst fertig, wenn du es mit einem Antwortsatz und der richtigen Einheit auf die Frage zurückgeführt hast. Beides wird in der ZP10 eigenständig bewertet.
Eine Ferienwohnung an der Ostsee kostet $85\,€$ pro Nacht, dazu kommen einmalig $60\,€$ für die Endreinigung. a) Gib einen Term für die Gesamtkosten bei $n$ Nächten an.…
Eine Ferienwohnung an der Ostsee kostet $85\,€$ pro Nacht, dazu kommen einmalig $60\,€$ für die Endreinigung.
- a) Gib einen Term für die Gesamtkosten bei $n$ Nächten an.
- b) Berechne die Kosten für einen Aufenthalt von $7$ Nächten.
- c) Familie Schulte hat ein Budget von $800\,€$. Bestimme, wie viele Nächte sie höchstens buchen kann. Berechne außerdem den Preis für $7$ Nächte nach einem Rabatt von $15\,\%$ auf den Gesamtpreis.
Körper im Sachkontext
Schwimmbecken, Ballons, Konservendosen: Hinter vielen Aufgaben steckt ein Körper. Zeichne zuerst eine Skizze und markiere die gegebenen Größen. Die Formeln stehen in der Formelsammlung, aber du solltest sie wiedererkennen.
| Körper | Volumen | Oberflächeninhalt |
|---|---|---|
| Quader | $V=a\cdot b\cdot c$ | $O=2(ab+ac+bc)$ |
| Zylinder | $V=\pi r^2h$ | $O=2\pi r^2+2\pi rh$ |
| Kugel | $V=\frac43\pi r^3$ | $O=4\pi r^2$ |
Achte auf Einheiten: $1\,\mathrm{m}^3=1\,000\,\ell$ und $1\,\mathrm{cm}^3=1\,\mathrm{ml}$. Außerdem: Bei der Kugel ist oft der Durchmesser gegeben. Dann gilt $r=d:2$.
Ein Schwimmbecken in Gelsenkirchen hat die Form eines Quaders mit der Länge $25\,\mathrm{m}$, der Breite $12{,}5\,\mathrm{m}$ und der Wassertiefe $1{,}8\,\mathrm{m}$. a)…
Ein Schwimmbecken in Gelsenkirchen hat die Form eines Quaders mit der Länge $25\,\mathrm{m}$, der Breite $12{,}5\,\mathrm{m}$ und der Wassertiefe $1{,}8\,\mathrm{m}$.
- a) Berechne, wie viele Liter Wasser das Becken fasst.
- b) Eine Pumpe füllt das Becken mit $50\,\mathrm{m}^3$ pro Stunde. Berechne die Füllzeit.
- c) Boden und Seitenwände (ohne Deckfläche) werden gefliest. Berechne die zu fliesende Fläche und die Kosten bei $28\,€$ pro $\mathrm{m}^2$.
Ein Heißluftballon hat näherungsweise die Form einer Kugel mit dem Durchmesser $20\,\mathrm{m}$. a) Berechne das Volumen des Ballons. b) Berechne den Oberflächeninhalt…
Ein Heißluftballon hat näherungsweise die Form einer Kugel mit dem Durchmesser $20\,\mathrm{m}$.
- a) Berechne das Volumen des Ballons.
- b) Berechne den Oberflächeninhalt der Hülle.
- c) Für die Hülle wird Stoff für $12\,€$ pro $\mathrm{m}^2$ benötigt, dazu kommen $10\,\%$ Verschnitt. Berechne die Stoffkosten.
Ein Hersteller in Hagen produziert zylinderförmige Konservendosen mit dem Volumen $500\,\mathrm{cm}^3$. a) Berechne die Höhe einer Dose mit dem Radius $4\,\mathrm{cm}$.…
Ein Hersteller in Hagen produziert zylinderförmige Konservendosen mit dem Volumen $500\,\mathrm{cm}^3$.
- a) Berechne die Höhe einer Dose mit dem Radius $4\,\mathrm{cm}$.
- b) Berechne den Materialbedarf (Oberflächeninhalt) dieser Dose.
- c) Eine zweite Dose hat denselben Inhalt, aber den Radius $5\,\mathrm{cm}$. Vergleiche den Materialbedarf beider Dosen und gib an, welche Dose mit weniger Material auskommt.
Lineares und exponentielles Wachstum
Bei linearem Wachstum kommt pro Schritt immer derselbe Betrag dazu: $y=mx+b$. Bei exponentiellem Wachstum wird pro Schritt mit demselben Faktor multipliziert: $f(x)=a\cdot q^x$ mit dem Anfangswert $a$ und dem Wachstumsfaktor $q=1+\frac p{100}$. Bei einer Abnahme um $p\,\%$ ist $q=1-\frac p{100}$.
Beim Sparen heißt das Zinseszins: $K_n=K_0\cdot\left(1+\frac p{100}\right)^n$.
Die Gerade steht für $1\,500\,€+45\,€$ pro Jahr, die Kurve für $1\,500\,€$ mit dem Faktor $q$. Schiebe $q$ und beobachte, ab wann die Kurve langfristig die Gerade überholt (und was bei $q<1$ passiert).
Familie Yildiz legt $8\,000\,€$ für $5$ Jahre bei einer Bank zu einem Zinssatz von $2{,}5\,\%$ pro Jahr an. Die Zinsen werden mitverzinst. a) Berechne das Guthaben am…
Familie Yildiz legt $8\,000\,€$ für $5$ Jahre bei einer Bank zu einem Zinssatz von $2{,}5\,\%$ pro Jahr an. Die Zinsen werden mitverzinst.
- a) Berechne das Guthaben am Ende der $5$ Jahre.
- b) Berechne den Gesamtbetrag der Zinsen.
- c) Ein anderes Angebot bietet $2\,\%$ Zinsen pro Jahr und einen Bonus von $300\,€$ nach $5$ Jahren. Entscheide begründet, welches Angebot günstiger ist.
Ein Dorf in der Eifel hat heute $3\,200$ Einwohner. Man erwartet, dass die Einwohnerzahl jedes Jahr um $1{,}5\,\%$ sinkt. a) Berechne die erwartete Einwohnerzahl nach…
Ein Dorf in der Eifel hat heute $3\,200$ Einwohner. Man erwartet, dass die Einwohnerzahl jedes Jahr um $1{,}5\,\%$ sinkt.
- a) Berechne die erwartete Einwohnerzahl nach $5$ Jahren.
- b) Bestimme, nach wie vielen Jahren die Einwohnerzahl erstmals unter $2\,500$ sinkt.
- c) Vergleiche den Wert nach $17$ Jahren mit einem linearen Rückgang um jährlich $48$ Einwohner und beurteile, welches Modell langfristig sinnvoller ist.
Lineare Gleichungssysteme im Sachkontext
Wenn in einer Aufgabe zwei unbekannte Größen vorkommen und du zwei Informationen dazu hast, brauchst du ein lineares Gleichungssystem (LGS). Typische Fälle: Eintrittspreise, Mischungen, Altersaufgaben.
Vorgehen:
-
Variablen festlegen („Sei $b$ der Preis eines Brötchens …“).
-
Pro Information eine Gleichung aufstellen: (I) und (II).
-
Mit Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsverfahren lösen.
-
Probe am Text: beide ursprünglichen Aussagen überprüfen.
-
Antwortsatz.
Im Tierpark Olderdissen in Bielefeld zahlt Familie A für $2$ Erwachsene und $3$ Kinder insgesamt $21\,€$, Familie B für $1$ Erwachsenen und $4$ Kinder insgesamt…
Im Tierpark Olderdissen in Bielefeld zahlt Familie A für $2$ Erwachsene und $3$ Kinder insgesamt $21\,€$, Familie B für $1$ Erwachsenen und $4$ Kinder insgesamt $15{,}50\,€$.
- a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, wenn $e$ der Eintrittspreis für Erwachsene und $k$ der für Kinder ist.
- b) Bestimme die beiden Eintrittspreise und führe die Probe durch.
- c) Eine Klasse mit $28$ Kindern und $2$ Lehrkräften besucht den Tierpark und erhält $10\,\%$ Gruppenrabatt. Berechne den Gesamtpreis.
Eine Kantine in Essen mischt Apfelsaft aus zwei Sorten. Sorte A hat einen Fruchtanteil von $40\,\%$, Sorte B von $10\,\%$. Es sollen $20\,\ell$ Mischung mit einem…
Eine Kantine in Essen mischt Apfelsaft aus zwei Sorten. Sorte A hat einen Fruchtanteil von $40\,\%$, Sorte B von $10\,\%$. Es sollen $20\,\ell$ Mischung mit einem Fruchtanteil von $28\,\%$ entstehen.
- a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und bestimme, wie viele Liter jeder Sorte benötigt werden. Führe die Probe durch.
- b) Sorte A kostet $1{,}80\,€$ pro Liter, Sorte B $0{,}90\,€$ pro Liter. Berechne die Kosten der Mischung und den Preis pro Liter.
- c) Begründe, warum man mit diesen Sorten keine Mischung mit einem Fruchtanteil von $45\,\%$ herstellen kann.
Höhen und Strecken: Trigonometrie und Ähnlichkeit
Seilbahnen, Türme, Rampen: Hier kommt ein rechtwinkliges Dreieck vor. Skizziere es und markiere den gesuchten Winkel $\alpha$.
Du hast zwei Werkzeuge:
-
$\tan\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$, $\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$, $\cos\alpha=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ (Taschenrechner auf DEG!). Winkel bekommst du mit $\tan^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$.
-
Der Satz des Pythagoras: $a^2+b^2=c^2$.
Für Teilstrecken nutzt du Ähnlichkeit: Legt man $40\,\%$ der Seilstrecke zurück, dann ist das kleine Dreieck zum großen ähnlich mit dem Streckfaktor $k=0{,}4$. Alle Längen (Höhe, waagerechte Strecke) sind dann auch $40\,\%$ der ursprünglichen.
Eine Seilbahn im Sauerland überwindet von der Talstation (Höhe $420\,\mathrm{m}$ über NN) bis zur Bergstation (Höhe $780\,\mathrm{m}$ über NN) eine horizontale…
Eine Seilbahn im Sauerland überwindet von der Talstation (Höhe $420\,\mathrm{m}$ über NN) bis zur Bergstation (Höhe $780\,\mathrm{m}$ über NN) eine horizontale Entfernung von $1\,200\,\mathrm{m}$. Das Seil wird als gerade Strecke angenommen.
- a) Berechne den Höhenunterschied und den mittleren Steigungswinkel.
- b) Berechne die Länge des Seils.
- c) Die Gondel fährt mit $4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Berechne die Fahrzeit in Minuten.
- d) Die Gondel hat $40\,\%$ der Strecke zurückgelegt. Bestimme ihre Höhe über NN und begründe dein Vorgehen mit Ähnlichkeit.
Auf einen Blick
| Situation | Modell | Wichtig |
|---|---|---|
| Fixkosten plus gleicher Betrag pro Stück | linear: $y=mx+b$ | Ganze Anzahl beachten |
| Prozentuale Änderung pro Schritt | exponentiell: $a\cdot q^x$, $q=1\pm\frac p{100}$ | $n$ bei $q^n=c$ durch Probieren |
| Zwei Unbekannte, zwei Aussagen | LGS (I), (II) | Probe am Text |
| Quader, Zylinder, Kugel | Formeln aus der Formelsammlung | Einheiten, $r=d:2$ |
| Höhe, Entfernung, Winkel | $\sin$, $\cos$, $\tan$, Pythagoras, Ähnlichkeit | Taschenrechner auf DEG |
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Gehe immer: Situation verstehen → Modell → Rechnung → Antwortsatz mit Einheit und Probe.
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Vorwärts rechnen heißt einsetzen, rückwärts rechnen heißt die Formel nach der gesuchten Größe umstellen.
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Prüfe jedes Ergebnis auf Plausibilität: Passt die Größenordnung? Muss ich runden, und wie?
Zurück zum Anfang: Aus der Geschichte wird eine Rechnung, wenn du Variablen festlegst und das passende Modell wählst (linear, exponentiell, LGS, Körper oder Dreieck). Dass du richtig liegst, siehst du an der Probe am Text.