Vierfeldertafeln

Übertrage die folgende Vierfeldertafel in dein Heft und vervollständige sie. Sie zeigt die Verteilung einer Gruppe von Schülern nach Geschlecht und danach, ob sie eine Brille tragen oder nicht.

Bei einer Umfrage unter $80$ Personen zu ihrem hauptsächlichen Verkehrsmittel auf dem Weg zur Arbeit ergaben sich die folgenden absoluten Häufigkeiten:

Gib die absolute Häufigkeit der Personen an, die „unter 30 Jahre“ alt sind und „zu Fuß“ gehen, und berechne die absolute Randhäufigkeit derjenigen, die das „Auto“ benutzen.

In einem Sportverein gibt es $120$ Mitglieder. Wir wissen, dass $70$ Tennis spielen und $50$ Padel spielen, und dass von den Tennisspielern $20$ Frauen sind. Wenn es im Verein insgesamt $45$ Frauen gibt, erstelle die Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten, die das Geschlecht (Mann / Frau) mit der ausgeübten Sportart (Tennis / Padel) verknüpft.

Du kannst die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto deiner Lösung einsenden.

Gegeben ist die folgende Tafel, die die Handymarke und die Altersgruppe der Besitzer verknüpft. Bestimme den Modalwert der gemeinsamen Verteilung und den Modalwert der Randverteilung des Merkmals „Marke“.

Erstelle aus der folgenden Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten die zugehörige Tafel der relativen Häufigkeiten bezogen auf die Gesamtzahl (gib die Ergebnisse als vollständig gekürzte Brüche an).

In einer Sprachschule werden Französisch- und Deutschkurse vormittags und nachmittags angeboten. Die Tafel zeigt die Anzahl der Angemeldeten:

Berechne, wie viel Prozent aller Teilnehmer auf diejenigen entfallen, die nachmittags Französisch lernen.

Es wurden $200$ Kunden einer Pizzeria nach ihrer bevorzugten Teigart gefragt. Die Ergebnisse stehen in der folgenden Tafel:

Schreibe die Randverteilung des Merkmals „Teigart“ mit ihren absoluten Häufigkeiten auf.

Bei einer Umfrage an einem Gymnasium in Nordrhein-Westfalen zu nachhaltiger Mobilität und körperlicher Aktivität wurden die Daten von $80$ Schülern der Klasse 10 in der folgenden Vierfeldertafel erfasst:

Der Lehrer stellt die folgende Frage: „Wie groß ist der Anteil der Schüler, die keinen Sport treiben, unter denen, die ein Schülerticket haben?“ Lukas argumentiert so: „Da es $16$ Schüler gibt, die ein Ticket haben und keinen Sport treiben, bei insgesamt $80$ Schülern, beträgt der Anteil $\frac{16}{80} = 0,2$ (also $20\%$ )“.

1. a) Erkläre genau den Denkfehler von Lukas: Welche Art von Häufigkeit hat er berechnet, und welche war eigentlich gefragt?
2. b) Korrigiere die Rechnung von Lukas, indem du klar angibst, welche Gesamtzahl als Bezugsgröße (Nenner) gelten muss, und gib die richtige bedingte Häufigkeit $h(\text{Treibt keinen Sport} \mid \text{Hat ein Schülerticket})$ als gekürzten Bruch und in Prozent an.

Betrachte die folgende Tafel, die die Teilnehmer eines Kongresses nach Nationalität und nach der Sprache einteilt, in der sie die Unterlagen erhalten wollten:

Berechne die bedingte relative Häufigkeit dafür, dass ein Teilnehmer die Unterlagen auf Englisch bevorzugt, wenn er Europäer ist.

Eine medizinische Studie untersucht die Wirksamkeit zweier Behandlungen (Behandlung A und Behandlung B) gegen eine Hauterkrankung. Die Ergebnisse nach einem Monat sind folgende:

Berechne den Erfolgsanteil (Geheilte) in Prozent für jede der beiden Behandlungen getrennt und begründe anhand dieser Prozentsätze, welche der beiden Behandlungen wirksamer zu sein scheint.

In einem Unternehmen mit $500$ Beschäftigten wird der Zusammenhang zwischen der Abteilung, zu der sie gehören, und ihrer Arbeitszufriedenheit untersucht.

Berechne die Randverteilung des Merkmals „Zufriedenheit“ in Prozent und die bedingte Verteilung der Zufriedenheit innerhalb der Abteilung „Produktion“.

In der Mensa einer Schule werden die Menüwünsche eines Tages mit $200$ Essensteilnehmern (Lehrkräfte und Schüler) untersucht:

Drei Schüler diskutieren, wie man prüfen kann, ob die Wahl des Menütyps unabhängig von der Gruppe (Lehrkraft oder Schüler) ist:

• Irene behauptet: „Da der Unterschied bei der Zahl derer, die das traditionelle Menü wählen, zwischen Schülern und Lehrkräften sehr groß ist ($112 - 28 = 84$), hängt die Wahl eindeutig von der Gruppe ab.“

• Marta schlägt vor, den Anteil der Vegetarier unter den Lehrkräften mit dem Anteil der Vegetarier unter den Schülern zu vergleichen: $h(\text{Vegetarisch} \mid \text{Lehrkräfte}) \stackrel{?}{=} h(\text{Vegetarisch} \mid \text{Schülerschaft})$.

• Sergio schlägt vor, den Anteil der Vegetarier unter den Lehrkräften mit dem Gesamtanteil der Vegetarier in der ganzen Schule zu vergleichen: $h(\text{Vegetarisch} \mid \text{Lehrkräfte}) \stackrel{?}{=} h(\text{Vegetarisch})$.

1. a) Erkläre, warum Ireness Methode falsch ist, und zeige, warum absolute Unterschiede nicht aussagekräftig sind, wenn die Gruppen unterschiedlich groß sind.
2. b) Führe die Berechnungen von Marta und Sergio durch. Kommen beide Methoden zum selben Schluss, ob die Merkmale stochastisch unabhängig sind?
3. c) Begründe anhand der Theorie der Vierfeldertafeln („die bedingte Verteilung stimmt mit der Randverteilung überein“), welche der beiden gültigen Methoden (die von Marta oder die von Sergio) die Definition der stochastischen Unabhängigkeit am direktesten und strengsten wiedergibt.

In einer Bevölkerung von $400$ Einwohnern werden zwei Merkmale untersucht: „Treibt Sport“ (Ja/Nein) und „Raucht“ (Ja/Nein). Die Randverteilungen sind bekannt: $240$ Personen treiben Sport und $160$ nicht; außerdem rauchen $100$ Personen und $300$ rauchen nicht.

Erstelle die Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten unter der Annahme, dass in dieser Bevölkerung zwischen dem Rauchverhalten und dem Sporttreiben perfekte stochastische Unabhängigkeit besteht.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Lösung senden.

Zwei statistische Merkmale heißen unabhängig, wenn die bedingten relativen Häufigkeiten gleich den entsprechenden relativen Randhäufigkeiten sind; das heißt, der Anteil bleibt in allen Zeilen und Spalten konstant.

Gegeben ist die folgende unvollständige Tafel:

Berechne den exakten Wert von $y$, damit die beiden Merkmale („Kategorie“ und „Typ“) vollständig unabhängig sind.

Das folgende Venn-Diagramm zeigt die Verteilung von $110$ Schülern einer Sprachschule danach, ob sie Englisch ($A$) oder Französisch ($B$) lernen.

Übertrage die Information des Diagramms in eine Vierfeldertafel, in der die Merkmale „Lernt Englisch“ (Ja/Nein) und „Lernt Französisch“ (Ja/Nein) sind. Berechne anschließend den Anteil der Schüler, die Französisch lernen, unter denen, die kein Englisch lernen.

Das folgende Baumdiagramm stellt die Anteile einer Population von $500$ Individuen dar, die nach zwei dichotomen Merkmalen $A$ und $C$ eingeteilt sind.

Übertrage die Information dieses Diagramms in eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten, in der die Zeilen $A$ und $B$ und die Spalten $C$ und $D$ sind. Berechne die relative Randhäufigkeit von $C$.

An einer Schule mit $300$ Schülern nehmen $60\%$ an außerunterrichtlichen Aktivitäten (AGs) teil. Von den Schülern, die an diesen Aktivitäten teilnehmen, sind $40\%$ in der Theater-AG angemeldet. Außerdem weiß man, dass $15\%$ aller Schüler der Schule weder an AGs teilnehmen noch Theater mögen. Erstelle die Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten und bestimme, wie viele Schüler an keinen AGs teilnehmen, aber trotzdem für Theater angemeldet sind.

Du kannst die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto deiner Lösung einsenden.

Bei einer Qualitätskontrolle überprüft ein Metalldetektor $1000$ Gepäckstücke. Man weiß, dass $40$ Gepäckstücke verbotene Gegenstände enthalten. Der Detektor schlägt bei $35$ der Gepäckstücke mit verbotenen Gegenständen Alarm und löst außerdem bei $24$ Gepäckstücken, die nichts Verbotenes enthalten, einen Fehlalarm aus. Erstelle die Vierfeldertafel und berechne den Prozentsatz der Gepäckstücke, die tatsächlich verbotene Gegenstände enthalten, unter allen, bei denen der Alarm ausgelöst wurde.

Betrachte die folgende Vierfeldertafel, in der einige absolute Häufigkeiten von einem Parameter $x$ abhängen:

Die relative Randhäufigkeit der „Bedingung 1“ ist gleich $0,6$. Stelle eine Gleichung auf, bestimme den Wert von $x$ und rekonstruiere die vollständige Tafel mit Zahlenwerten.

Eine Fabrik für elektronische Bauteile hat zwei Montagemaschinen. Maschine I stellt $60\%$ aller Bauteile her und Maschine II die restlichen $40\%$. Die Qualitätskontrolle zeigt, dass $2\%$ der Bauteile von Maschine I defekt sind, während die Fehlerquote bei Maschine II $5\%$ beträgt.

Erstelle für eine Charge von $2000$ Bauteilen die Vierfeldertafel, die die „Maschine“ (I / II) mit dem „Zustand“ (defekt / in Ordnung) verknüpft. Wenn man aus dieser Charge ein defektes Bauteil auswählt, welcher Anteil der defekten stammt dann von Maschine II?