Unabhängige Ereignisse

Eine faire Münze und ein normaler Würfel (mit den Augenzahlen 1 bis 6) werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit der Münze „Zahl“ und mit dem Würfel eine „5“ zu erhalten?

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments erfüllen $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ und $P(A \cap B) = 0,2$. Sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig? Begründe deine Antwort mathematisch.

In einer Klasse 10 führen Sarah und ihre Gruppe ein Experiment mit einer Urne durch, die 4 rote und 6 schwarze Kugeln enthält. Das Experiment besteht darin, eine Kugel zu ziehen, ihre Farbe zu notieren, sie in die Urne zurückzulegen (Ziehen mit Zurücklegen) und eine zweite Kugel zu ziehen.

Sarah behauptet: „Weil wir die Kugel zurücklegen, sind die beiden Züge unabhängige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug Rot zu ziehen, ist $\frac{4}{10} = 0,4$, und beim zweiten Zug ebenfalls $0,4$. Also ist die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, $0,4 + 0,4 = 0,8$, denn bei Unabhängigkeit muss man nur die Wahrscheinlichkeiten addieren.“

1. a) Finde und erkläre den Denkfehler von Sarah. Warum ergibt das Addieren von Wahrscheinlichkeiten hier logisch keinen Sinn (überlege, was bei 3 Zügen passieren würde)?
2. b) Korrigiere die Rechnung, indem du die richtige Regel für unabhängige Ereignisse anwendest, um die genaue Wahrscheinlichkeit für zwei aufeinanderfolgende rote Kugeln zu erhalten.

In einer Urne liegen 3 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen, ihre Farbe notiert, sie wird in die Urne zurückgelegt und es wird eine zweite Kugel gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot und die zweite blau ist.

Zwei Bogenschützen, Anna und Karl, schießen auf eine Zielscheibe. Die Wahrscheinlichkeit, dass Anna die Mitte trifft, beträgt $0,7$, die, dass Karl trifft, $0,6$. Wenn beide unabhängig voneinander schießen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide die Mitte der Zielscheibe treffen?

Bei einem europäischen Roulette gibt es 18 rote, 18 schwarze und 1 grünes Feld (die Null). Das Roulette wird zweimal nacheinander gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in beiden Durchgängen auf einem schwarzen Feld landet?

Aus einem spanischen Kartenspiel mit 40 Karten wird eine Karte gezogen, ihr Wert notiert, sie wird wieder in den Stapel gemischt und eine zweite Karte gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Ziehen einen „König“ und beim zweiten Ziehen eine Karte der Farbe „Kelche“ (Copas) zu ziehen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem Montag im Herbst regnet, beträgt $0,3$. Unabhängig davon beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Schulbus an diesem Tag zu spät kommt, $0,2$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es am nächsten Montag nicht regnet und der Bus zu spät kommt?

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von $80\%$ bei Freiwürfen. Wenn er 3 Freiwürfe unabhängig voneinander wirft, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau zwei davon trifft?

Von zwei Ereignissen $A$ und $B$ ist bekannt, dass sie stochastisch unabhängig sind. Wenn die Wahrscheinlichkeit für $A$ gleich $P(A) = 0,3$ ist und die Wahrscheinlichkeit für $B$ gleich $P(B) = 0,8$, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden eintritt, also $P(A \cup B)$.

Ein Schüler beantwortet einen kurzen Test mit 3 Fragen völlig zufällig. Jede Frage hat 4 Antwortmöglichkeiten, von denen nur eine richtig ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er alle Fragen richtig beantwortet?

In einer Fabrik prüfen zwei Qualitätskontrollmaschinen die Produkte unabhängig voneinander. Maschine 1 erkennt einen Defekt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,9$, Maschine 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,85$. Wenn ein fehlerhaftes Produkt beide Maschinen durchläuft, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden den Defekt erkennt?

Das Computersystem eines Krankenhauses verfügt über 3 unabhängige Server, um Ausfälle zu vermeiden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Server an einem beliebigen Tag ausfällt, beträgt $0,05$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System einen ganzen Tag lang weiterläuft (also mindestens ein Server nicht ausfällt)?

Ein kleines Online-Handelsunternehmen in Düsseldorf speichert die Sicherungskopien seiner Bestellungen auf drei identischen, voneinander unabhängigen externen Festplatten. Durch Verschleiß und Dauerbetrieb beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Festplatte über Nacht ausfällt, $0,05$ (und $0,95$, dass sie einwandfrei funktioniert). Damit das Unternehmen am nächsten Tag ohne Datenverlust arbeiten kann, genügt es, wenn mindestens eine der drei Festplatten funktioniert.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Daten gesichert bleiben, schlagen zwei Techniker verschiedene Wege vor:

• Lauras Methode (direkt): Die Wahrscheinlichkeiten, dass genau eine Festplatte funktioniert (3 mögliche Fälle), genau zwei Festplatten funktionieren (3 mögliche Fälle) und alle drei funktionieren (1 Fall), getrennt berechnen und addieren.

• Karls Methode (Gegenereignis): Die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass alle drei Festplatten gleichzeitig ausfallen, und diesen Wert von 1 subtrahieren.

1. a) Vergleiche beide Methoden und begründe, welche von beiden bei dieser Aufgabe besser geeignet ist und warum.
2. b) Wende die effizientere Methode an, um die genaue Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass das Unternehmen seine Sicherungskopien in dieser Nacht behält.
3. c) Wenn das Unternehmen wächst und statt 3 insgesamt 8 unabhängige Festplatten hat, welche der beiden Methoden bliebe ähnlich aufwendig und welche würde von Hand praktisch unbewältigbar? Begründe deine Antwort.