Exponentialfunktion

Gib an, welche der folgenden Terme zu einer Exponentialfunktion gehören, und begründe deine Antwort:

1. a) $f(x) = x^3$
2. b) $g(x) = 3^x$
3. c) $h(x) = 3x$
4. d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$
5. e) $j(x) = 1^x$

Berechne für die Exponentialfunktion $f(x) = 4^x$ die Funktionswerte für $x = -2$, $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$ und $x = 2$. Gib die Ergebnisse, wenn nötig, als vollständig gekürzten Bruch an.

Der Graph einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = a^x$ verläuft durch den Punkt $P(3|125)$. Bestimme den Wert der Basis $a$ und gib den Funktionsterm an.

Beim Vereinfachen des Terms einer Exponentialfunktion $f(x) = 2^x \cdot 2^3$ erhält ein Schüler als Ergebnis $f(x) = 4^{x+3}$. Erkläre, welches Potenzgesetz er beim Umformen der Basen falsch angewendet hat, und gib den richtig vereinfachten Term an.

Ordne die folgenden Exponentialfunktionen als monoton steigend oder monoton fallend ein und begründe deine Entscheidung mit dem Wert der Basis:

1. a) $f(x) = 1,8^x$
2. b) $g(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$
3. c) $h(x) = 0,3^x$
4. d) $i(x) = \left(\frac{7}{4}\right)^x$

Vervollständige eine Wertetabelle für die Funktion $f(x) = 5^{-x}$ mit den ganzzahligen Werten von $x$ von $-2$ bis $2$. Gib eine zu $f(x)$ äquivalente Exponentialfunktion an, die einen positiven Exponenten hat.

Betrachte die Graphen der Exponentialfunktionen in den Abbildungen A und B. Einer gehört zu $f(x) = 3^x$ und der andere zu $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Ordne jeden Term seinem Graphen zu und erkläre, welche geometrische Beziehung zwischen beiden besteht.

Berechne die mittlere Änderungsrate der Exponentialfunktion $f(x) = 3^x$ in den Intervallen $[1; 2]$ und $[2; 3]$. Was fällt dir beim Vergleich beider Ergebnisse auf? Was sagt das über die Wachstumsgeschwindigkeit der Exponentialfunktion im Vergleich zu einer linearen Funktion aus?

Bestimme und begründe, für welche Werte des Parameters $m$ die Funktion $f(x) = \left(\frac{2m - 5}{3}\right)^x$ eine streng monoton fallende Exponentialfunktion darstellt. Beachte die Bedingungen, die die Basis einer solchen Exponentialfunktion erfüllen muss.

Bestimme die Definitionsmenge, die Wertemenge und die Gleichung der waagerechten Asymptote der Exponentialfunktion $f(x) = 2,5^x$. Schneidet diese Funktion die x-Achse in irgendeinem Punkt? Begründe deine Antwort.

Beim Untersuchen von Verschiebungen elementarer Funktionen behauptet ein Schüler, der Graph von $y = 3^{x+2}$ entstehe, indem man den ursprünglichen Graphen von $y = 3^x$ um zwei Einheiten nach rechts verschiebt. Korrigiere diese Aussage, indem du die tatsächliche Richtung der Verschiebung angibst.

Erkläre ausgehend von der Funktion $f(x) = 2^x$, welche geometrischen Transformationen (Verschiebungen) nötig sind, um den Graphen der Funktion $g(x) = 2^{x-3} + 4$ zu erhalten. Gib die Gleichung der waagerechten Asymptote der Funktion $g(x)$ an.

Der folgende Graph gehört zu einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = 2^{x-p} + q$. Bestimme mithilfe der waagerechten Asymptote und der markierten Punkte auf der Kurve die Werte der Parameter $p$ und $q$ und gib den vollständigen Funktionsterm an.

Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte der Exponentialfunktion $f(x) = 3^{x+2} - 27$ mit den Koordinatenachsen.

Betrachte den Graphen der Exponentialfunktion, deren Funktionsterm die Form $f(x) = k \cdot a^x + c$ hat. Bestimme die Gleichung der waagerechten Asymptote, um den Wert von $c$ abzuleiten, und stelle mithilfe der Koordinaten der markierten Punkte ein Gleichungssystem auf, mit dem du die Parameter $k$ und $a$ berechnen kannst. Gib den endgültigen Funktionsterm an.

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = 2^x$ und $g(x) = 4 - x^2$. Begründe anhand der Graphen, wie viele Schnittpunkte sie haben. Überprüfe anschließend durch Probieren mit kleinen ganzzahligen Werten, zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen die x-Werte dieser Schnittpunkte liegen.

Untersuche die Stetigkeit der folgenden abschnittsweise definierten Funktion an der Stelle $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} 3^{x-1} + 2 & \text{für } x \le 2 \\ m \cdot x - 1 & \text{für } x > 2 \end{cases}$

Bestimme den exakten Wert des Parameters $m$, sodass die Funktion auf ihrer gesamten Definitionsmenge $\mathbb{R}$ stetig ist.

In einem Labor wird das Wachstum einer Bakterienkultur untersucht. Anfangs werden $50$ Bakterien in eine Petrischale gegeben, und man beobachtet, dass sich ihre Anzahl jede Stunde verdoppelt. Stelle die Funktion $P(t)$ auf, die die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Stunden) angibt, und berechne, wie viele es nach $4$ Stunden sind.

Typ: MODELLIERE. Nach Daten des Statistischen Bundesamts (Destatis) hatte eine Gemeinde im ländlichen Raum im Sauerland am 1. Januar 2018 $1250$ Einwohner. Aufgrund von Abwanderung und demografischer Alterung sinkt die Einwohnerzahl gleichmäßig um etwa $4\%$ pro Jahr.\na) Gib den Funktionsterm der Exponentialfunktion $P(t)$ an, die die geschätzte Einwohnerzahl in Abhängigkeit von den seit 2018 vergangenen Jahren $t$ modelliert.\nb) Bestimme die Basis $a$ deiner Funktion. Begründe mithilfe des Wertes dieser Basis, warum es sich um eine fallende Funktion handelt.\nc) Berechne die prognostizierte Bevölkerung für das Jahr 2026 und runde auf die nächste ganze Person. Wird die mathematische Funktion irgendwann genau $0$ Einwohner vorhersagen? Begründe deine Antwort, indem du gegenüberstellst, was die waagerechte Asymptote des mathematischen Modells aussagt und was in der Wirklichkeit des Dorfes unausweichlich geschehen wird.

Eine Familie legt $6000$ Euro auf einem Sparkonto an, das einen jährlichen Zinseszins von $2,5\%$ bietet. Stelle die Funktion $C(t)$ auf, die das angesparte Kapital nach $t$ Jahren angibt. Wie hoch ist der Kontostand nach $8$ Jahren, wenn keine Ein- oder Auszahlungen erfolgen? Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Eine radioaktive Substanz verliert alle $15$ Tage die Hälfte ihrer Masse. Wenn zu Beginn eine Probe von $200$ Gramm vorhanden ist, stelle die Funktion $M(t)$ auf, die die verbleibende Masse in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen) modelliert. Wie viele Gramm bleiben nach $60$ Tagen genau übrig?

Der Preis eines technischen Bauteils sinkt im Laufe der Zeit gemäß einer Exponentialfunktion der Form $V(t) = k \cdot a^t$, wobei $t$ in Jahren gemessen wird. Wenn das Bauteil im Neuzustand ($t=0$) $800$ Euro kostete und sein Wert nach $2$ Jahren $450$ Euro beträgt, berechne die exakten Werte von $k$ und $a$. Wie hoch ist sein Wert nach $4$ Jahren?

Typ: WÄHLE DIE METHODE. Ein Lieferunternehmen mit Fahrrädern und Transportern in Düsseldorf kauft ein Nutzfahrzeug für $32\,000$ €. Um die Entwicklung seines Vermögens in den nächsten Jahren zu berechnen, schwankt der Geschäftsführer zwischen zwei Abschreibungsmethoden:\n- Lineare Methode: Das Fahrzeug verliert jedes Jahr einen festen Betrag von $3200$ €: $f(t) = 32\,000 - 3200 \cdot t$.\n- Exponentielle Methode: Das Fahrzeug verliert $15\%$ seines Buchwerts des Vorjahres: $g(t) = 32\,000 \cdot 0{,}85^t$.\na) Berechne den Wert, den jede Methode dem Fahrzeug nach $3$ Jahren und nach $10$ Jahren Nutzung zuweist.\nb) Untersuche, was bei der linearen Methode nach $11$ Jahren Nutzung geschehen würde. Warum verliert das lineare Modell langfristig seine mathematische und wirtschaftliche Gültigkeit? Erkläre, welche Eigenschaft der Exponentialfunktion (Wertemenge und Asymptoten) das exponentielle Modell zur Beschreibung langfristiger Wertverluste begrifflich stimmiger macht.\nc) Welches der beiden Modelle bildet in den ersten $4$ Jahren der Nutzungsdauer des Fahrzeugs den schnelleren Wertverlust ab? Wenn die Unternehmensleitung nach dem Prinzip größtmöglicher finanzieller Vorsicht entscheiden will (in den ersten Jahren den möglichst geringen Wert ansetzen, um ihr Vermögen nicht zu überbewerten), begründe mathematisch, welche der beiden Methoden sie wählen sollte.