Die Funktion f(x) = a·sin(b·x)

Die Sinuskurve

Die Sinusfunktion $f(x) = \sin(x)$ ordnet jedem Winkel $x$ einen Wert zwischen $-1$ und $1$ zu. Den Sinus kennst du aus dem rechtwinkligen Dreieck. Hier lässt du auch Winkel über $90^\circ$ zu. Stelle den Taschenrechner dazu auf DEG (Gradmaß). Zeichne die Funktion auch einmal mit einem Funktionenplotter oder dem GTR und vergleiche den Graphen mit der Wertetabelle.

Jede Darstellung hat Vor- und Nachteile. Die Wertetabelle zeigt genaue Werte, aber nur an einzelnen Stellen. Der Graph zeigt den gesamten Verlauf auf einen Blick, Werte liest du dort aber nur ungefähr ab. Mit dem Term berechnest du jeden Funktionswert schnell und genau. Die Wortform („die Werte schwanken regelmäßig zwischen −1 und 1“) beschreibt das Verhalten anschaulich, ist aber ungenau. Wechsle zwischen diesen Darstellungen und benenne ihre Vor- und Nachteile.

Eine Wertetabelle zeigt das Muster:

Zeichnest du diese Punkte und verbindest sie, entsteht die Sinuskurve:

Das fällt auf:

• Nach $360^\circ$ wiederholt sich die Kurve. Die Periode ist $360^\circ$.

• Der größte Wert ist $1$ (bei $90^\circ$), der kleinste $-1$ (bei $270^\circ$).

• Die Nullstellen liegen bei $0^\circ$, $180^\circ$ und $360^\circ$.

Der Faktor a: die Amplitude

Bei $f(x) = a \cdot \sin(x)$ werden alle Funktionswerte mit $a$ multipliziert. Der Graph wird in y-Richtung gestreckt (oder gestaucht). Die Nullstellen bleiben gleich, denn $a \cdot 0 = 0$.

Der Faktor b: die Periode

Bei $f(x) = \sin(b x)$ läuft der Winkel $b x$ „b-mal so schnell“ durch. Die Kurve wird in x-Richtung gestaucht. Für $b = 3$ passen drei Perioden in $360^\circ$.

Die Abbildung zeigt $f(x) = 2\sin(3x)$. Die Periode ist $360^\circ : 3 = 120^\circ$, die Amplitude ist $2$:

Innerhalb einer Periode liegen die wichtigen Punkte regelmäßig:

• Nullstellen bei $0$, einer halben Periode und einer ganzen Periode. Danach folgen sie im Abstand einer halben Periode.

• Hochpunkt bei einer Viertel Periode.

• Tiefpunkt bei drei Vierteln der Periode.

Gleichungen $a\sin(bx) = c$ lösen

Wann nimmt die Funktion einen bestimmten Wert an? Das führt auf die Gleichung $a\sin(bx) = c$. Gehe so vor:

1. Teile durch $a$: $\sin(bx) = \frac{c}{a}$. Ist $\left|\frac{c}{a}\right| > 1$, gibt es keine Lösung.

2. Setze $z = bx$. Mit dem Taschenrechner (DEG) erhältst du $z_1 = \sin^{-1}\left(\frac{c}{a}\right)$.

3. Es gibt noch eine zweite Lösung in der Periode: $z_2 = 180^\circ - z_1$. Dazu kommen alle Werte, die um $360^\circ$ verschoben sind.

4. Teile alle $z$-Werte durch $b$. Beachte dabei den Bereich: Für $0^\circ \le x \le 360^\circ$ liegt $z$ zwischen $0^\circ$ und $360^\circ \cdot b$.

Anzahl der Lösungen kannst du auch ohne Rechnung abschätzen. Die Gleichung $f(x) = 2$ für $f(x) = 1{,}5\sin(2x)$ hat keine Lösung, denn der größte Wert von $f$ ist $1{,}5$. Für $f(x) = -1$ gilt: In jeder Periode (hier $180^\circ$) schneidet die Gerade $y = -1$ den Graphen zweimal. Im Intervall $0^\circ \le x \le 360^\circ$ liegen zwei Perioden, also gibt es vier Lösungen.

Sinus in Sachsituationen

Schwingungen beschreibst du mit $h(t) = a\sin(b \cdot t)$. Hier ist $t$ die Zeit, und $b$ hat die Einheit „Grad pro Sekunde“. Die Amplitude ist die größte Auslenkung, die Periodendauer ist die Zeit für eine volle Schwingung: $T = 360^\circ : b$.

Vorsicht bei Ungleichungen wie $h(t) \ge 0{,}2$: Hier suchst du das Zeitintervall zwischen den beiden Lösungen, nämlich von $0{,}25\ \mathrm{s}$ bis $1{,}25\ \mathrm{s}$. Das sind $1\ \mathrm{s}$ pro Periode.

Zurück zum Anfang: Bei Leas Schaukel liest du Amplitude und Periodendauer direkt aus $h(t) = a\sin(b \cdot t)$ ab. Die Amplitude $a$ ist die größte Auslenkung, und $360^\circ : b$ ist die Dauer eines Hin und Her.

Auf einen Blick