Lösen von Gleichungssystemen

Löse das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:

$\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases}$

Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:

$\begin{cases} x + 4y = 1 \\ x - 2y = 13 \end{cases}$

Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren:

$\begin{cases} 5x + 2y = 11 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}$

Betrachte die beiden folgenden linearen Gleichungssysteme genau:

System A: $\begin{cases} x = 3y - 2 \\ 2x + 5y = 18 \end{cases}$

System B: $\begin{cases} 4x + 3y = 11 \\ 4x - 5y = -5 \end{cases}$

1. a) Analysiere, ohne sie bereits zu lösen, den Aufbau beider Systeme und gib begründet an, welches der drei grundlegenden algebraischen Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) für jedes von ihnen am schnellsten und direktesten ist. Erkläre, welches sichtbare Merkmal der Gleichungen deine Wahl begründet.
2. b) Wähle eines der beiden Systeme und löse es mit dem Verfahren, das du im vorigen Teil ausgewählt hast. Überprüfe am Ende, ob die erhaltene Lösung beide Gleichungen erfüllt.

Bestimme den Wert des Parameters $k$ so, dass das folgende lineare Gleichungssystem unlösbar ist, und begründe, wie die beiden Geraden, die es bilden, im Koordinatensystem zueinander liegen würden:

$\begin{cases} 3x - (k+1)y = 5 \\ 6x - 8y = 12 \end{cases}$

Stell dir vor, du gehörst zu dem Team, das die Vergleichsarbeiten für Klasse 10 erstellt, und sollst ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen ($x$ und $y$) entwerfen, das gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Seine einzige Lösung muss genau $x = 3$, $y = -2$ sein.

2. Keiner der Koeffizienten der Variablen und keines der Absolutglieder darf $0$, $1$ oder $-1$ sein.

3. Wenn man beim Additionsverfahren die beiden Gleichungen direkt Seite für Seite addiert (ohne vorher eine Gleichung mit einer anderen Zahl multiplizieren zu müssen), muss eine der Variablen vollständig wegfallen.

1. a) Schreibe das System auf, das du konstruiert hast, und begründe Schritt für Schritt, warum es jede der drei Bedingungen erfüllt.
2. b) Verändere die zweite Gleichung deines Systems so, dass das neue System unlösbar ist (keine Lösung hat). Erkläre begründet die algebraische Rechtfertigung und die geometrische Deutung (Lage der Geraden zueinander), warum diese Änderung eine Lösung verhindert.

Löse die Klammern auf und löse das folgende lineare Gleichungssystem:

$\begin{cases} 2(x + 1) - 3(y - 2) = 16 \\ 5x + y = 3 \end{cases}$

Löse das folgende lineare Gleichungssystem, indem du zuvor mit den Nennern rechnest, um einfachere äquivalente Gleichungen zu erhalten:

$\begin{cases} \frac{x - 1}{3} + \frac{y + 2}{4} = 3 \\ \frac{2x + y}{7} - \frac{x - y}{2} = 3 \end{cases}$

Lea hat versucht, das folgende Gleichungssystem mit Nennern an der Tafel zu lösen:

$\begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{y-2}{3} = 2 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

In ihrem Heft hat sie diese Rechnung notiert:

• Schritt 1 (Nenner beseitigen, indem die erste Gleichung mit $6$ multipliziert wird): $3 \cdot (x + 1) - 2 \cdot (y - 2) = 12 \implies 3x + 3 - 2y - 4 = 12 \implies 3x - 2y = 13$.

• Schritt 2 ($y$ in der zweiten Gleichung auflösen): $y = 2x - 1$.

• Schritt 3 (in die vereinfachte erste Gleichung einsetzen): $3x - 2 \cdot (2x - 1) = 13 \implies 3x - 4x - 2 = 13 \implies -x = 15 \implies x = -15$.

• Schritt 4 (die verbleibende Unbekannte berechnen): $y = 2 \cdot (-15) - 1 = -31$.

1. a) Lea hat beim Auflösen von Klammern zwei typische Vorzeichenfehler gemacht. Finde heraus, in welchen Schritten sie stecken, und erkläre genau, welche mathematische Eigenschaft oder Regel sie jeweils nicht beachtet hat.
2. b) Korrigiere das Vorgehen und löse das Gleichungssystem richtig, um die korrekten Werte von $x$ und $y$ zu erhalten.

Die Summe zweier Zahlen ist $45$ und ihre Differenz ist $11$. Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und bestimme diese Zahlen.

Ein Jugendverein aus Toledo organisiert einen ehrenamtlichen Umwelteinsatz und kauft am Schalter zwei Arten von Fahrscheinen für den Regionalverkehr: Einzelfahrscheine für kurze Strecken zu je $1,80$ € und Mehrfahrtenkarten zu je $9,50$ €. Insgesamt kaufen sie $25$ Fahrscheine, und die Rechnung beträgt genau $137,40$ €.

1. a) Lege klar fest, welche Größe jede Variable darstellt, und schreibe das Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen auf, das diesen Kauf beschreibt.
2. b) Löse das Gleichungssystem mit dem Verfahren, das du für am geeignetsten hältst, und deute das Ergebnis, indem du erklärst, wie viele Einzelfahrscheine und wie viele Mehrfahrtenkarten der Verein gekauft hat.

Eine Familie aus Düsseldorf mit einem Stromtarif mit Hoch- und Niedertarif (HT/NT) untersucht den Arbeitspreisanteil (Energiekosten) ihrer beiden letzten Zweimonatsrechnungen. In der ersten verbrauchte sie $250\text{ kWh}$ in der Hochtarifzeit und $180\text{ kWh}$ in der Niedertarifzeit bei Gesamtenergiekosten von $81,60$ €. In der zweiten Rechnung verbrauchte sie $150\text{ kWh}$ zu Hochtarif- und $220\text{ kWh}$ zu Niedertarifzeiten, was Kosten von $62,40$ € ergab. Der Preis pro kWh zu Hochtarifzeiten ($p$) und zu Niedertarifzeiten ($v$) blieb in beiden Rechnungszeiträumen konstant.

1. a) Begründe, ohne das Gleichungssystem schon zu lösen, welcher der beiden Preise ($p$ oder $v$) höher sein muss, und schätze für jeden Zeitraum einen realistischen Preisbereich in Euro pro kWh (oder Cent) ab, wobei du die üblichen Stromkosten in Privathaushalten berücksichtigst.
2. b) Stelle das lineare Gleichungssystem auf, das die Situation beschreibt, und löse es mit dem Additionsverfahren, um die genauen Preise von $p$ und $v$ in €/kWh zu erhalten.
3. c) Vergleiche die genauen Ergebnisse mit deiner vorherigen Schätzung und beurteile kritisch, ob die erhaltenen Werte deine anfängliche Erwartung bestätigen.

Ein Großvater sagt zu seinem Enkel: „Vor $5$ Jahren war ich fünfmal so alt wie du, aber in $10$ Jahren bin ich nur noch doppelt so alt.“ Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und bestimme das heutige Alter von beiden.

Der Umfang eines rechteckigen Grundstücks beträgt $140$ Meter. Wenn die Grundseite um $5$ Meter kürzer und die Höhe um $5$ Meter länger würde, wäre das Grundstück ein Quadrat. Berechne die tatsächlichen Maße des Grundstücks.

In einem Chemielabor wurden zwei saure Lösungen gemischt. Die erste hat eine Konzentration von $20\%$, die zweite von $50\%$. Wenn man $60$ Liter einer neuen Lösung mit $30\%$ erhalten möchte, wie viele Liter jeder Sorte muss man mischen?

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig in zwei Städten A und B, die $90$ km voneinander entfernt sind, und fahren aufeinander zu. Bei konstanten Geschwindigkeiten treffen sie sich nach $3$ Stunden. Wäre der Radfahrer aus A eine Stunde früher gestartet als der aus B, hätten sie sich $2$ Stunden und $40$ Minuten nach der Abfahrt des Radfahrers aus B getroffen. Mit welcher Geschwindigkeit fährt jeder Radfahrer?

Löse das folgende Gleichungssystem in Stufenform mit drei Gleichungen und drei Unbekannten:

$\begin{cases} 2x - y + 3z = 14 \\ 5y - 2z = -3 \\ 4z = 16 \end{cases}$

Löse das folgende Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren oder durch schrittweises Einsetzen:

$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ 3x + y + z = 8 \end{cases}$

Ein Transportunternehmen hat drei Arten von Transportern: A, B und C. Transporter A kann $2$ Tonnen transportieren, B $3$ Tonnen und C $5$ Tonnen. An einem Tag wurden insgesamt $12$ Transporter eingesetzt, um $38$ Tonnen Fracht zu befördern. Wenn die Anzahl der eingesetzten Transporter vom Typ A gleich der Summe der Transporter der Typen B und C ist, stelle ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen auf und löse es, um herauszufinden, wie viele Transporter jeder Art eingesetzt wurden.

In einer regionalen Müllsortieranlage in Galicien werden wöchentlich drei Arten von Wertstoffen verarbeitet: Kunststoff, Papier/Pappe und Glas. In einer Stichprobenwoche wurden folgende Daten erhoben:

1. Insgesamt wurden von den drei Materialien $180\text{ Tonnen}$ verarbeitet.

2. Die Summe der Tonnen von Papier/Pappe und Glas war genau doppelt so groß wie die Menge des verarbeiteten Kunststoffs.

3. Die Logistikkosten für das Recycling betragen $40$ € pro Tonne Kunststoff, $20$ € pro Tonne Papier/Pappe und $10$ € pro Tonne Glas, wobei sich die gesamten Behandlungskosten dieser Woche auf $4300$ € beliefen.

1. a) Ordne jedem Material eine Variable zu und stelle ein lineares Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten auf, das die Situation beschreibt.
2. b) Wende das Gauß-Verfahren an, um das System in ein äquivalentes System in Stufenform umzuformen, und gib dabei die durchgeführten Zeilenumformungen deutlich an.
3. c) Löse das System in Stufenform von unten nach oben, um zu bestimmen, wie viele Tonnen jedes Wertstoffs verarbeitet wurden, und untersuche, ob die Mengen im Zusammenhang mit der getrennten städtischen Müllsammlung in einem sinnvollen Verhältnis stehen.

Löse das folgende nichtlineare Gleichungssystem, das aus der Gleichung einer Parabel und einer Geraden besteht:

$\begin{cases} y = x^2 - 4x + 3 \\ y = x - 1 \end{cases}$

Bestimme alle reellen Lösungen des folgenden Gleichungssystems mit quadratischen Gleichungen:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases}$

Bestimme die Schnittpunkte zwischen der Hyperbel und der Geraden, die durch das folgende nichtlineare Gleichungssystem gegeben sind:

$\begin{cases} x \cdot y = 12 \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

Löse das folgende symmetrische nichtlineare Gleichungssystem:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 58 \\ x \cdot y = 21 \end{cases}$

Ein Leichtathletikstadion hat eine Laufbahn, die aus einem Rechteck in der Mitte und zwei Halbkreisen an den Enden besteht. Der Gesamtumfang der inneren Linie der Bahn beträgt $400$ Meter, und der Flächeninhalt des mittleren Rechtecks beträgt $5600$ Quadratmeter. Stelle ein nichtlineares Gleichungssystem auf, um den Radius $R$ der Halbkreise und die Länge $L$ des geraden Abschnitts zu bestimmen. Verwende $\pi \approx 3$.

Bestimme die Lösungen des folgenden Systems von Wurzelgleichungen:

$\begin{cases} x - y = 5 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases}$

Löse das folgende Gleichungssystem mit Bruchtermen durch eine geeignete Substitution:

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 2 \\ \frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \end{cases}$

Bestimme die Lösung des folgenden Systems von Logarithmusgleichungen:

$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = 2 \\ x - 4y = 0 \end{cases}$

Löse das folgende System von Exponentialgleichungen:

$\begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases}$

Löse das folgende Exponentialgleichungssystem:

$\begin{cases} 3^x + 2^y = 17 \\ 3^{x+1} - 2^{y+2} = -5 \end{cases}$