Flächeninhalte und Volumina von Körpern
Eine Dose Erbsen, ein Fußball, das Zelt auf dem Campingplatz am Möhnesee: Jeder Gegenstand hat die Form eines Körpers, und für jeden Körper gibt es Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen. Du kennst viele davon schon. Hier ordnen wir sie nach Familien und wenden sie auf Körper an, die aus mehreren Formen zusammengesetzt sind.
Prismen und Zylinder
Das Volumen eines Prismas oder Zylinders ist Grundfläche mal Höhe: $V = G \cdot h$. Der Grund: Man stapelt die Grundfläche $h$-mal übereinander.
Bei geraden Prismen und Zylindern ist die Mantelfläche ein Rechteck: Umfang der Grundfläche mal Höhe. Der Oberflächeninhalt ist $O = 2 \cdot G + M$.
| Körper | Mantelfläche $M$ | Oberflächeninhalt $O$ | Volumen $V$ |
|---|---|---|---|
| gerades Prisma | $u_G \cdot h$ | $2G + M$ | $G \cdot h$ |
| Quader ($a, b, c$) | $2c(a+b)$ | $2(ab+ac+bc)$ | $a \cdot b \cdot c$ |
| Würfel (Kante $a$) | $4a^2$ | $6a^2$ | $a^3$ |
| Zylinder (Radius $r$) | $2\pi r h$ | $2\pi r^2 + 2\pi r h$ | $\pi r^2 h$ |
Nicht jede Grundfläche ist ein Rechteck oder Dreieck. Bei einem Trapez mit den parallelen Seiten $a$ und $c$ und der Höhe $h_T$ gilt $A = \dfrac{1}{2}(a + c) \cdot h_T$. Auch dann gilt $V = G \cdot h$: Die Grundfläche ist das Trapez, die Höhe des Prismas ist die Länge des Körpers.
Ein quaderförmiger Karton, wie in der Abbildung, hat die Maße $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm} \times 12\ \text{cm}$. a) Berechne sein Volumen. b) Berechne seinen…
Ein quaderförmiger Karton, wie in der Abbildung, hat die Maße $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm} \times 12\ \text{cm}$.
- a) Berechne sein Volumen. b) Berechne seinen Oberflächeninhalt.
Eine zylindrische Dose hat einen Radius von $3$ cm und eine Höhe von $10$ cm. a) Berechne ihren Mantelflächeninhalt (die Fläche, die das Etikett bedeckt). b) Berechne…
Eine zylindrische Dose hat einen Radius von $3$ cm und eine Höhe von $10$ cm. a) Berechne ihren Mantelflächeninhalt (die Fläche, die das Etikett bedeckt). b) Berechne ihren Oberflächeninhalt.
Ein Zelt hat die Form eines dreiseitigen Prismas: Die Giebelfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite $1$ m, der Höhe $1{,}2$ m und den gleich langen…
Ein Zelt hat die Form eines dreiseitigen Prismas: Die Giebelfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite $1$ m, der Höhe $1{,}2$ m und den gleich langen Seiten $1{,}3$ m, und das Zelt ist $2{,}5$ m lang, wie in der Abbildung dargestellt.
- a) Berechne das Innenvolumen des Zelts. b) Berechne, wie viel Stoff für die Herstellung benötigt wird, einschließlich der Seitenflächen und der beiden Giebelflächen, aber ohne den Boden.
Ein zylindrischer Teich hat einen Radius von $2$ m und eine Tiefe von $0{,}5$ m. a) Wie viele Liter Wasser passen hinein? b) Wie lange dauert das Füllen mit einem…
Ein zylindrischer Teich hat einen Radius von $2$ m und eine Tiefe von $0{,}5$ m. a) Wie viele Liter Wasser passen hinein? b) Wie lange dauert das Füllen mit einem Schlauch, der $25$ Liter pro Minute einlaufen lässt? Gib das Ergebnis in Stunden an. c) Wenn das Wasser $1{,}60\ \text{€}$ pro Kubikmeter kostet, was kostet das Füllen des Teichs?
Pyramiden und Kegel
Pyramide und Kegel fassen ein Drittel des Prismas bzw. Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Das kannst du mit einem Füllversuch zeigen: Man muss dreimal eine Pyramide voll Sand in das Prisma schütten, bis es voll ist. Lerne diese Formeln auswendig, denn in Teil 1 der ZP10 gibt es keine Formelsammlung.
| Körper | Mantelfläche $M$ | Oberflächeninhalt $O$ | Volumen $V$ |
|---|---|---|---|
| gerade Pyramide (Seitenhöhe $h_s$) | Summe der Dreiecke, bei $n$ gleichen: $n \cdot \dfrac{a \cdot h_s}{2}$ | $G + M$ | $\dfrac{1}{3} G h$ |
| Kegel (Radius $r$, Mantellinie $s$) | $\pi r s$ | $\pi r^2 + \pi r s$ | $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ |
Beim Kegel bilden $h$, $r$ und die Mantellinie $s$ ein rechtwinkliges Dreieck: $s = \sqrt{h^2 + r^2}$.
Bei der quadratischen Pyramide gibt es zwei Pythagoras-Dreiecke: $h_s^2 = h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2$ (Höhe, halbe Grundseite, Seitenhöhe).
Berechne das Volumen einer kegelförmigen Eiswaffel, wie in der Abbildung, mit einem Öffnungsradius von $6$ cm und einer Höhe von $10$ cm.
Berechne das Volumen einer kegelförmigen Eiswaffel, wie in der Abbildung, mit einem Öffnungsradius von $6$ cm und einer Höhe von $10$ cm.
Hugo möchte berechnen, wie viel flüssiges Wachs er braucht, um eine Duftkerze in Form einer geraden quadratischen Pyramide herzustellen. Die Grundseite misst…
Hugo möchte berechnen, wie viel flüssiges Wachs er braucht, um eine Duftkerze in Form einer geraden quadratischen Pyramide herzustellen. Die Grundseite misst $8\text{ cm}$ und die Höhe der Seitenflächen (Apothema) misst $5\text{ cm}$. Hugo schreibt in sein Heft:\n$V = \dfrac{G \cdot h}{3} = \dfrac{8^2 \cdot 5}{3} = \dfrac{64 \cdot 5}{3} \approx 106,67\text{ cm}^3$\na) Nenne und erkläre den Denkfehler, den Hugo gemacht hat, indem er direkt die Höhe der Seitenfläche statt der Höhe der Pyramide verwendet hat.\nb) Skizziere den passenden Schnitt, berechne mit dem Satz des Pythagoras die tatsächliche Höhe der Pyramide und bestimme das korrekte Wachsvolumen, das die Kerze benötigt.
Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat die Grundseite $10$ m und die Höhe $12$ m, wie in der Abbildung. a) Berechne ihr Volumen. b) Berechne die Höhe der…
Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat die Grundseite $10$ m und die Höhe $12$ m, wie in der Abbildung.
- a) Berechne ihr Volumen. b) Berechne die Höhe der Seitenfläche der Pyramide mit dem Satz des Pythagoras. c) Berechne ihren Mantelflächeninhalt.
Bei der Berechnung des Volumens eines Kegels mit dem Radius $5$ cm und der Höhe $9$ cm schreibt ein Schüler: „$V = \pi \cdot 5^2 \cdot 9 \approx 706{,}9\ \text{cm}^3$“.…
Bei der Berechnung des Volumens eines Kegels mit dem Radius $5$ cm und der Höhe $9$ cm schreibt ein Schüler: „$V = \pi \cdot 5^2 \cdot 9 \approx 706{,}9\ \text{cm}^3$“. Erkläre, welchen Fehler er gemacht hat, berechne das richtige Volumen und beschreibe den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Kegels und dem eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe.
Kugeln und zusammengesetzte Körper
Für die Kugel mit dem Radius $r$ gilt:
$$O = 4\pi r^2 \qquad\qquad V = \frac{4}{3}\pi r^3$$Diese Formeln benutzt du nur; sie werden nicht hergeleitet.
Für Figuren mit Kreisen brauchst du die Kreisfläche: $A = \pi \cdot r^2$. Ein Halbkreis hat die Fläche $\tfrac{1}{2}\pi r^2$, ein Kreisring (zwei Kreise mit demselben Mittelpunkt) die Differenz $\pi R^2 - \pi r^2$.
Viele Dinge bestehen aus mehreren Körpern: ein Wassertank mit Kegeldach, eine Eiswaffel mit Kugel, ein Fenster aus Rechteck und Halbkreis. Das Vorgehen ist immer gleich: zerlegen in bekannte Teilkörper, jeden Teil einzeln berechnen und dann addieren (bei einem Hohlraum subtrahieren).
Berechne das Volumen eines kugelförmigen Balls mit dem Radius $9$ cm.
Berechne das Volumen eines kugelförmigen Balls mit dem Radius $9$ cm.
Ein Fenster besteht aus einem Rechteck mit der Breite $1{,}2$ m und der Höhe $0{,}8$ m, auf dem ein Halbkreis sitzt, wie die Abbildung zeigt. Berechne den gesamten…
Ein Fenster besteht aus einem Rechteck mit der Breite $1{,}2$ m und der Höhe $0{,}8$ m, auf dem ein Halbkreis sitzt, wie die Abbildung zeigt.
Berechne den gesamten Flächeninhalt des Fensters.
In einem Kreisverkehr mit dem äußeren Radius $8$ m gibt es in der Mitte eine Fläche mit dem Radius $5$ m, auf der eine Skulptur steht; der Rest ist Rasen, wie die…
In einem Kreisverkehr mit dem äußeren Radius $8$ m gibt es in der Mitte eine Fläche mit dem Radius $5$ m, auf der eine Skulptur steht; der Rest ist Rasen, wie die Abbildung zeigt.
- a) Berechne den Flächeninhalt der Rasenfläche. b) Wenn der Kunstrasen $12\ \text{€}$ pro Quadratmeter kostet, was kostet es, die gesamte Fläche damit zu bedecken?
Ein Eis besteht aus einer kegelförmigen Waffel mit dem Radius $3$ cm und der Höhe $12$ cm, auf der eine Eishalbkugel mit demselben Radius sitzt, wie die Abbildung zeigt.…
Ein Eis besteht aus einer kegelförmigen Waffel mit dem Radius $3$ cm und der Höhe $12$ cm, auf der eine Eishalbkugel mit demselben Radius sitzt, wie die Abbildung zeigt.
- a) Berechne das Gesamtvolumen des Eises, wobei die Waffel voll gefüllt ist und die Kugel mitgerechnet wird. b) Welches Volumen hätte eine vollständige Eiskugel mit demselben Radius? Gib es als Bruchteil des Gesamtvolumens des Eises an.
Ein Industrietank besteht aus einem Zylinder mit dem Radius $1{,}5$ m und der Höhe $4$ m mit einem halbkugelförmigen Boden mit demselben Radius, wie in der Abbildung…
Ein Industrietank besteht aus einem Zylinder mit dem Radius $1{,}5$ m und der Höhe $4$ m mit einem halbkugelförmigen Boden mit demselben Radius, wie in der Abbildung dargestellt.
- a) Wie groß ist sein gesamtes Fassungsvermögen in Litern? b) Die Seitenwände und der Boden sollen innen ausgekleidet werden: Welche Fläche muss ausgekleidet werden? c) Wenn die Auskleidung $28\ \text{€}$ pro Quadratmeter kostet, wie hoch sind die Gesamtkosten der Arbeit?
Auf einen Blick
Zurück zum Anfang: Dose, Ball und Zelt lassen sich als Zylinder, Kugel und Prisma beschreiben, und mit diesen Formeln kannst du ihr Volumen und ihren Oberflächeninhalt berechnen.