Logarithmen

Berechne den Wert der folgenden Logarithmen direkt mit der Definition:

• $\log_2 64$

• $\log_3 \frac{1}{9}$

• $\log_{10} 0,001$

• $\log_5 \sqrt{5}$

Bestimme in jedem Fall den Wert der Variablen $x$ mithilfe der Definition des Logarithmus:

• $\log_x 81 = 4$

• $\log_2 x = 5$

• $\log_7 x = -2$

Es gilt $\log 2 \approx 0,301$ und $\log 3 \approx 0,477$. Berechne mithilfe der Logarithmengesetze den ungefähren Zahlenwert von $\log 6$ und $\log 1,5$.

Fasse den folgenden mathematischen Term zu einem einzigen Logarithmus zusammen und berechne seinen Zahlenwert:

$\log 5 + \log 20 - \log 10$

Wende die Logarithmengesetze in umgekehrter Richtung an, um die folgende Kombination als einen einzigen Logarithmus zu schreiben:

$3 \log x + \frac{1}{2} \log y$

Lea versuchte in ihrer Klassenarbeit, den Term $\log(2x + 8)$ zu vereinfachen, und schrieb die folgenden Schritte auf:

1. a) Benenne den begrifflichen Fehler von Lea und erkläre ausführlich anhand der Logarithmengesetze, warum ihr erster Schritt mathematisch falsch ist.
2. b) Zeige, dass die Gleichung falsch ist, indem du $x = 1$ einsetzt und den Wert des ursprünglichen Terms sowie den von Lea erhaltenen Wert berechnest.
3. c) Wenn wir $\log(2x + 8)$ auf zulässige Weise so umformen wollten, dass eine Summe von Logarithmen entsteht, wie müssten wir dann das Argument zuvor durch Faktorisieren umformen?

Forme den folgenden logarithmischen Term unter Anwendung aller möglichen Logarithmengesetze so um, dass er in Abhängigkeit von $\log x$, $\log y$ und $\log z$ dasteht:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2} \right)$

Fasse den folgenden Term unter Anwendung der entsprechenden Logarithmengesetze zu einem einzigen Logarithmus zusammen:

$2 \log a - 3 \log b + \log c - \frac{1}{3} \log d$

Verwende die Basiswechselformel, um den Wert von $\log_5 120$ zu berechnen, wobei du nur die Taste für den dekadischen Logarithmus ($\log$) oder den natürlichen Logarithmus ($\ln$) deines Taschenrechners benutzt. Runde das Ergebnis auf drei Nachkommastellen.

Schließe den Wert von $\log_3 50$ zunächst ohne Taschenrechner zwischen zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ein und begründe deine Antwort mithilfe der Potenzen der Basis $3$. Verwende anschließend die Basiswechselformel und den Taschenrechner, um einen Näherungswert auf zwei Nachkommastellen gerundet zu erhalten. Überprüfe zuletzt, ob das Zahlenergebnis zu deiner anfänglichen Schätzung passt, und begründe, ob dieser Wert näher an der unteren oder an der oberen Grenze des zuvor bestimmten Intervalls liegt.

Vereinfache den folgenden zusammengesetzten logarithmischen Term und berechne seinen exakten Wert ohne Taschenrechner:

$\frac{\log_2 8 + \log_3 81 - \log 1000}{\log_5 125 \cdot \log_4 \sqrt{4}}$

Zeige mithilfe der Formel zum Basiswechsel und der grundlegenden Logarithmengesetze, dass $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ für alle Zahlen $a, b > 0$ und ungleich $1$ gilt. Wende dieses Ergebnis anschließend an, um den Wert von $\log_8 2$ im Kopf zu berechnen, wenn du bereits weißt, dass $\log_2 8 = 3$.

Berechne den Wert von $x$ in der Exponentialgleichung $3^x = 45$. Gib das Endergebnis auf Hundertstel gerundet an (für den letzten Schritt darfst du den Taschenrechner benutzen).

Löse die logarithmische Gleichung $\log_3 (2x + 5) = 2$, indem du die Definition des Logarithmus anwendest, um nach der Variablen $x$ aufzulösen.

Ein Kapital von $5000$ € wird bei einer Bank mit einem Zinseszins von $3,5\,\%$ pro Jahr angelegt. Wie viele volle Jahre müssen vergehen, bis das angesammelte Kapital $7000$ € übersteigt?

Denke daran, dass die Formel für das Endkapital $C_f = C_i \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$ lautet.

Eine Bakterienpopulation verdoppelt sich jede Stunde. Wenn anfangs $1500$ Bakterien vorhanden sind, ist die Anzahl der Bakterien nach $t$ Stunden durch die Funktion $P(t) = 1500 \cdot 2^t$ gegeben. Wie viel Zeit muss exakt vergehen, bis die Population $100000$ Bakterien erreicht?

Ein neues Fahrzeug hat einen Anschaffungspreis von $24000$ €. Durch den Wertverlust auf dem Markt sinkt sein Wert jedes Jahr um $12\,\%$. Die Funktion, die seinen Restwert nach $t$ Jahren beschreibt, ist $V(t) = 24000 \cdot (0,88)^t$. Wie viele Jahre müssen vergehen, bis der Wert des Autos genau auf die Hälfte seines ursprünglichen Preises gesunken ist?

Löse die Exponentialgleichung $5^{x+1} = 2^{3x-2}$, indem du auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus bildest und nach der Variablen $x$ auflöst. Gib das Endergebnis auf Tausendstel gerundet an.

In einem bekannten sozialen Netzwerk wächst die Anzahl der Follower eines viralen Accounts nach dem Exponentialmodell $S(t) = S_0 \cdot k^t$, wobei $t$ in Tagen gemessen wird. Es ist bekannt, dass der Account am Starttag ($t = 0$) $200$ Follower hatte und am Tag $5$ $6400$ Follower erreichte. Berechne zuerst den exakten Wert der Wachstumskonstanten $k$. Bestimme anschließend, an welchem Tag der Account die Marke von einer Million Followern überschreitet.

Löse das folgende Gleichungssystem mit Logarithmen und bestimme die Werte von $x$ und $y$:

Zur Lösung der Gleichung $\log_2 x + \log_4 x = 6$ schlagen zwei Schüler unterschiedliche Strategien vor:

• Alexanders Methode: $\log_4 x$ mithilfe der Formel zum Basiswechsel zur Basis $2$ ausdrücken und nach $\log_2 x$ auflösen.

• Bertas Methode: Den ersten Summanden mithilfe der Eigenschaft $\log_2 x = \log_4 (x^2)$ umformen, um die Logarithmen zur Basis $4$ direkt über den Logarithmus eines Produkts zusammenzufassen.

1. a) Führe die Lösung nach Alexanders Methode vollständig durch.
2. b) Zeige formal durch Basiswechsel, dass die von Berta vorgeschlagene Äquivalenz $\log_2 x = \log_4 (x^2)$ für alle $x > 0$ gilt, und löse die Gleichung mit ihrem Verfahren zu Ende. Überprüfe dabei, dass du zur selben Lösung kommst.
3. c) Vergleiche beide Wege: Welche der beiden Methoden hältst du für sicherer gegenüber möglichen Fehlern bei der Definitionsmenge oder bei algebraischen Umformungen? Begründe deine Antwort.

Der pH-Wert einer chemischen Lösung ist durch die Formel $pH = -\log [H^+]$ definiert, wobei $[H^+]$ die Konzentration der Wasserstoffionen in mol/L angibt. Eine Zitronensaftprobe hat eine Wasserstoffionenkonzentration von $10^{-3}$ mol/L. Wie groß ist ihr pH-Wert?

Die Stärke eines Erdbebens auf der Richterskala berechnet man mit der Formel $M = \log \left( \frac{A}{A_0} \right)$, wobei $A$ die maximale Amplitude der Erdbebenwellen und $A_0$ eine standardisierte Referenzamplitude ist. Wenn ein bestimmtes Erdbeben eine Amplitude registriert, die $1000$ Mal größer als $A_0$ ist, welche Stärke hat es auf der Richterskala? Bestimme außerdem, wie viel Mal größer die Amplitude eines Erdbebens der Stärke $6$ im Vergleich zu einem der Stärke $4$ ist.

Es ist nur bekannt, dass $\log 2 \approx 0,301$ gilt. Berechne den Näherungswert von $\log 25$ und von $\log \sqrt[3]{0,02}$, ohne die Rechnung direkt in den Taschenrechner einzugeben, und stütze dich dabei nur auf die Logarithmengesetze.

Die Lärmschutzverordnung einer deutschen Gemeinde legt für das Innere eines Schlafzimmers während der Nachtzeit einen Höchstwert von $30\text{ dB}$ fest. Der Zusammenhang zwischen dem Schalldruckpegel $L$ (in Dezibel, $\text{dB}$) und der physikalischen Schallintensität $I$ (in $\text{W/m}^2$) ist gegeben durch:

Dabei ist $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ die menschliche Hörschwelle.

1. a) Berechne die Schallintensität $I$, die genau dem gesetzlichen Grenzwert von $30\text{ dB}$ entspricht.
2. b) Bei dringenden Bauarbeiten auf der Straße werden im Schlafzimmer $50\text{ dB}$ gemessen. Ein Nachbar behauptet, der Schall sei „weniger als doppelt so intensiv“, weil $50$ nicht doppelt so groß wie $30$ ist. Widerlege seine Behauptung mathematisch, indem du berechnest, wievielmal intensiver die Schallwelle der Bauarbeiten im Vergleich zum gesetzlichen Grenzwert der Verordnung ist.

Der Graph einer logarithmischen Funktion der Form $f(x) = \log_a (x + b)$ verläuft durch den Koordinatenursprung $O(0|0)$ und durch den Punkt $P(6|1)$.

1. a) Bestimme mit Begründung die exakten Werte der Parameter $a$ und $b$.
2. b) Gib mithilfe der gefundenen Werte die Definitionsmenge der Funktion und die Gleichung ihrer senkrechten Asymptote an.
3. c) Stelle die Gleichung auf, mit der man den Wert von $x$ mit $f(x) = 3$ berechnet, und löse sie.

Der Schallpegel, gemessen in Dezibel (dB), berechnet sich mit der physikalischen Formel $L = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$. Dabei ist $I$ die Schallintensität in $\text{W/m}^2$ und $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ stellt die Hörschwelle des Menschen dar. Wenn der Lärm des starken Verkehrs auf einer Hauptstraße einen Pegel von $85$ dB erreicht, wie groß ist dann seine Schallintensität $I$? Wenn ein Bohrhammer auf der Baustelle mit der doppelten Schallintensität dieses Verkehrs sendet, wie viele Dezibel zeigt dann das Schallpegelmessgerät genau an?

Die Menge an Kohlenstoff-14 ($C-14$) in einem organischen archäologischen Fund folgt dem radioaktiven Zerfallsgesetz $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, wobei die Zerfallskonstante $\lambda \approx 0,0001209$ ist und $t$ die vergangene Zeit in Jahren. Wenn bei einem prähistorischen Knochenfragment durch eine Laboranalyse festgestellt wird, dass nur noch $30\,\%$ der ursprünglichen Menge $C-14$ vorhanden ist (also $N(t) = 0,30 \cdot N_0$), wie alt ist der Knochen schätzungsweise?

Das folgende Diagramm zeigt das Wachstum zweier Bakterienkolonien, A und B, in einem Labor. Die Skala der senkrechten Achse (die die Anzahl der Bakterien $N(t)$ angibt) ist logarithmisch zur Basis 10, während die waagerechte Achse (Zeit in Stunden) eine lineare Skala hat. Bestimme anhand der Geraden, die das Verhalten der Kolonie A beschreibt, die zugehörige Exponentialfunktion $N(t) = N_0 \cdot 10^{k \cdot t}$, wenn bekannt ist, dass sie genau durch die Punkte $(0|10^2)$ und $(4|10^4)$ verläuft. Zu welchem Zeitpunkt $t$ erreicht die Kolonie A genau eine Million Bakterien ($10^6$)?

Das Geoforschungszentrum Potsdam (GFZ) registrierte eine Erdbebenserie im Süden Deutschlands, bei der zwei Erdbewegungen hervorstachen: das Hauptbeben $T_1$ mit der Magnitude $M_1 = 4{,}4$ und ein späteres Nachbeben $T_2$ mit der Magnitude $M_2 = 3{,}1$. Die Magnitude auf der Richterskala ist definiert als $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, wobei $A$ die vom Seismografen aufgezeichnete maximale Amplitude und $A_0$ eine Kalibrierungsamplitude ist.

1. a) Zeige mithilfe der Logarithmengesetze, dass der Quotient der Amplituden beider Erdbeben durch $\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2}$ gegeben ist, ohne den Wert von $A_0$ zu kennen.
2. b) Berechne, wievielmal größer die Amplitude der Bodenbewegung von $T_1$ im Vergleich zu der von $T_2$ war.
3. c) Ein drittes Erdbeben $T_3$ erzeugte eine Wellenamplitude, die genau das Dreifache der Amplitude von $T_1$ betrug ($A_3 = 3 \cdot A_1$). Berechne mit der Angabe $\log 3 \approx 0{,}477$ die exakte Magnitude $M_3$ dieses dritten Bebens und begründe, warum eine Verdreifachung der physikalischen Amplitude des Erdbebens keineswegs einer Verdreifachung seiner Magnitude auf der Richterskala entspricht.

Herausforderung des Themas. Wie misst man die Energie eines Erdbebens? Untersuche den nichtlinearen Zusammenhang zwischen Magnitude und Energie anhand offizieller Daten.

1. Datensuche: Rufe den Erdbebenkatalog des GFZ auf und notiere drei neuere Erdbeben in Deutschland bzw. Europa mit den ungefähren Magnituden $M_1 \approx 2,0$, $M_2 \approx 3,5$ und $M_3 \ge 4,5$.

2. Algebra und Schreibweise: Die freigesetzte Energie (in Joule) ergibt sich aus $E = 10^{4,8} \cdot 10^{1,5M}$. Schreibe $10^{1,5M}$ als Wurzel mithilfe von Potenzen mit rationalem Exponenten ($\sqrt{10^{3M}}$). Berechne mit den Potenzgesetzen $E$ in wissenschaftlicher Schreibweise für deine drei Werte und bestimme, wievielmal energiereicher $M_3$ als $M_1$ ist.

3. Digitale Modellierung: Löse nach $M$ auf, um die logarithmische Funktion $M(E) = \frac{2}{3}(\log E - 4,8)$ zu erhalten. Stelle diese Funktion und ihre Umkehrfunktion (Wurzel bzw. Potenz mit Bruch als Exponent) in GeoGebra dar.

4. Abschlussbericht: Verfasse ein kurzes Dokument (eine Seite) mit der Datentabelle des GFZ, den Berechnungen, dem Graphen und einer Erklärung, warum schon Zuwächse der Magnitude um Zehntel die zerstörerische Energie drastisch vervielfachen.

Bewertet werden:

• sorgfältige Beschaffung realer Daten des GFZ und korrekte Berechnung der Energie in wissenschaftlicher Schreibweise,

• sicherer algebraischer Umgang mit ganzzahligen und rationalen Exponenten, Wurzeln und Logarithmen,

• passende grafische Darstellung und Interpretation des Modells in GeoGebra.