Funktionen, Geometrie und Wahrscheinlichkeit (ZP10 Teil 1)
Am Donnerstag im Mai schreibst du die ZP10. In Teil 1 hast du 30 Minuten Zeit, ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung. Die Aufgaben sind kurz, aber du musst Formeln und Verfahren im Kopf haben. Wie bekommst du die Punkte sicher? Auf dieser Seite wiederholst du die Basiskompetenzen aus den Bereichen Funktionen, Geometrie und Wahrscheinlichkeit und übst das Rechnen mit „glatten“ Zahlen.
Geraden und lineare Funktionen
Eine Gerade hat die Gleichung $y = mx + b$. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt, also der Punkt $(0\,|\,b)$ auf der y-Achse.
So liest du eine Gerade ab und stellst sie auf:
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Funktionswert: Setze den $x$-Wert in den Term ein. Für $y = 3x + 2$ ist $y(4) = 3 \cdot 4 + 2 = 14$.
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Punktprobe: Setze beide Koordinaten ein. Der Punkt liegt auf der Geraden, wenn die Gleichung stimmt.
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Steigung aus zwei Punkten: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Das ist das Steigungsdreieck: „nach oben durch nach rechts“.
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Nullstelle: Setze $y = 0$ und löse nach $x$ auf. Dort schneidet die Gerade die x-Achse.
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Aus einer Wertetabelle: $b$ ist der $y$-Wert bei $x = 0$. $m$ ist die Änderung von $y$, wenn $x$ um 1 wächst.
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. 1. Berechne für die Gerade $y = 2x - 1$ den Wert von $y$ an der Stelle $x = 3$. 2. Gib für die Gerade…
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.
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Berechne für die Gerade $y = 2x - 1$ den Wert von $y$ an der Stelle $x = 3$.
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Gib für die Gerade $y = -0{,}5x + 4$ die Steigung und den y-Achsenabschnitt an.
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Gib eine lineare Gleichung an, die zu dieser Wertetabelle passt:
| $x$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $y$ | 3 | 5 | 7 |
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Ein Rechteck ist $8\,\mathrm{cm}$ lang und $5\,\mathrm{cm}$ breit. Berechne Umfang und Flächeninhalt.
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Berechne das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $3\,\mathrm{cm}$.
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In einer Urne liegen $3$ rote und $7$ blaue Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Gib die Wahrscheinlichkeit für „rot“ an.
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. 1. Eine Gerade geht durch $A(0\,|\,1)$ und $B(2\,|\,5)$. Bestimme ihre Gleichung. 2. Bestimme den Schnittpunkt der…
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.
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Eine Gerade geht durch $A(0\,|\,1)$ und $B(2\,|\,5)$. Bestimme ihre Gleichung.
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Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x - 6$ mit der x-Achse.
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Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $6\,\mathrm{cm}$ und die Höhe $5\,\mathrm{cm}$. Berechne ihr Volumen.
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Berechne das Volumen eines Zylinders mit $r = 2\,\mathrm{cm}$ und $h = 5\,\mathrm{cm}$ als Vielfaches von $\pi$.
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In einer Urne liegen $2$ rote und $3$ blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für „zweimal rot“.
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In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete von $\alpha$ $3\,\mathrm{cm}$ und die Ankathete $4\,\mathrm{cm}$ lang. Gib $\tan\alpha$ an.
Parabeln und Exponentialfunktionen
Bei einer quadratischen Funktion wie $f(x) = x^2 - 2x - 3$ setzt du für $x$ ein und rechnest den Term aus: $f(4) = 16 - 8 - 3 = 5$.
Nullstellen sind die Lösungen von $f(x) = 0$. Bei $x^2 + px + q = 0$ hilft die p-q-Formel $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$. Ohne Taschenrechner rechnest du am besten mit „glatten“ Zahlen und machst am Ende die Probe durch Einsetzen.
Scheitelpunktform: Bei $f(x) = (x - d)^2 + e$ liegt der Scheitelpunkt bei $S(d\,|\,e)$. Für $y = (x + 1)^2 - 3$ ist das $S(-1\,|\,-3)$. Das Vorzeichen in der Klammer kehrt sich also um. Ein unbekannter Parameter ergibt sich, indem du eine bekannte Nullstelle oder einen bekannten Punkt einsetzt.
Bei einer Exponentialfunktion $f(x) = a \cdot q^x$ steht die Variable im Exponenten. $a$ ist der Anfangswert, denn $q^0 = 1$ und somit $f(0) = a$. $q$ ist der Wachstumsfaktor. Er ist die konstante Zahl, mit der du pro Schritt multiplizierst. Bei einem Wachstum von $p\,\%$ ist $q = 1 + \frac{p}{100}$. Bei $0 < q < 1$ nimmt der Wert ab (Zerfall).
| lineares Wachstum | exponentielles Wachstum | |
|---|---|---|
| Tabelle | gleiche Differenzen | gleiche Quotienten |
| Term | $y = mx + b$ | $y = a \cdot q^x$ |
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. 1. Berechne für die Funktion $f(x) = 2^x$ die Funktionswerte $f(0)$ und $f(3)$. 2. Kreuze die Formel für das…
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.
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Berechne für die Funktion $f(x) = 2^x$ die Funktionswerte $f(0)$ und $f(3)$.
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Kreuze die Formel für das Volumen eines Zylinders an: $\pi \cdot r \cdot h$ $\;\square$ $\quad \pi \cdot r^2 \cdot h$ $\;\square$ $\quad 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$ $\;\square$
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In einem Dreieck sind zwei Winkel $50^\circ$ und $60^\circ$ groß. Berechne den dritten Winkel.
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Ein Netz besteht aus einem Quadrat und vier gleichschenkligen Dreiecken, die an den Seiten des Quadrats liegen. Benenne den zugehörigen Körper.
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Ein Glücksrad hat vier gleich große Sektoren mit den Zahlen $1$ bis $4$. Gib die Wahrscheinlichkeit für „Zahl größer als $2$“ an.
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Berechne den Mittelwert der Zahlen $3$, $5$, $7$ und $9$.
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. 1. Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2 - 6x + 5$. 2. Gib den Scheitelpunkt der Parabel…
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.
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Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
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Gib den Scheitelpunkt der Parabel $y = (x - 2)^2 + 1$ an.
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Berechne für $f(x) = 3 \cdot 2^x$ die Funktionswerte $f(0)$ und $f(3)$.
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Ein Bestand von $200$ Stück wächst jedes Jahr um $10\,\%$. Berechne den Bestand nach zwei Jahren.
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Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse $13\,\mathrm{cm}$ und eine Kathete mit $5\,\mathrm{cm}$. Berechne die andere Kathete.
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Ein Glücksrad zeigt mit $P(\text{rot}) = 0{,}4$ die Farbe Rot, sonst Blau. Es wird zweimal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit für „zweimal rot“ und für „genau einmal rot“.
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. 1. Ein Stoff zerfällt nach $f(x) = 80 \cdot 0{,}5^x$ (x in Stunden, $f(x)$ in Gramm). Berechne $f(3)$. 2. Tarif A…
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.
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Ein Stoff zerfällt nach $f(x) = 80 \cdot 0{,}5^x$ (x in Stunden, $f(x)$ in Gramm). Berechne $f(3)$.
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Tarif A kostet $10\,€$ Grundgebühr plus $0{,}05\,€$ je Minute, Tarif B kostet $4\,€$ Grundgebühr plus $0{,}15\,€$ je Minute. Bestimme die Minutenzahl, bei der beide Tarife gleich teuer sind.
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Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $10\,\mathrm{cm}$ und die Höhe $12\,\mathrm{cm}$. Berechne die Seitenhöhe $h_s$.
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Eine Straße hat eine Steigung von $10\,\%$. Berechne den Höhenunterschied bei $200\,\mathrm{m}$ horizontaler Strecke.
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In einer Urne liegen $1$ rote und $4$ blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Begründe, dass $P(\text{rot, rot}) = 0$ gilt, und berechne $P(\text{blau, blau})$.
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Gegeben sind $f(x) = 2x + 10$ und $g(x) = 10 \cdot 2^x$. Berechne beide Funktionswerte für $x = 3$ und entscheide, welche Funktion schneller wächst.
Körper, Volumen und Oberfläche
Ohne Formelsammlung musst du diese Formeln auswendig können:
| Körper | Volumen | Oberflächeninhalt |
|---|---|---|
| Quader | $V = a \cdot b \cdot c$ | $O = 2(ab + ac + bc)$ |
| Würfel | $V = a^3$ | $O = 6a^2$ |
| Zylinder | $V = \pi r^2 h$ | $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ |
| Pyramide | $V = \frac13 G h$ | $O = G + M$ |
| Kugel | $V = \frac43 \pi r^3$ | $O = 4\pi r^2$ |
Beim Kreis gilt $U = 2\pi r$ und $A = \pi r^2$. Wenn die Aufgabe „als Vielfaches von $\pi$“ verlangt, lässt du $\pi$ stehen und rechnest nur mit den übrigen Zahlen.
Zur Pyramide: Sie hat genau ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe. Das kannst du dir mit einem Füllversuch merken: Drei Pyramidenfüllungen füllen das Prisma.
Auch Netze helfen: Ein Quadrat mit vier gleichschenkligen Dreiecken an den Seiten ist das Netz einer quadratischen Pyramide.
Vergrößern: Wird bei einem Zylinder der Radius mit dem Faktor $k$ multipliziert, steht $r^2$ in der Formel. Das Volumen wird also mit $k^2$ multipliziert. Bei $r \to 3r$ wird es $9$-mal so groß, bei $r \to 2r$ viermal so groß, weil $(2r)^2 = 4r^2$ ist.
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. 1. Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius $3\,\mathrm{cm}$ als Vielfaches von $\pi$. 2. Ein Quader ist…
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.
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Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius $3\,\mathrm{cm}$ als Vielfaches von $\pi$.
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Ein Quader ist $4\,\mathrm{cm}$ lang, $3\,\mathrm{cm}$ breit und $2\,\mathrm{cm}$ hoch. Berechne Volumen und Oberflächeninhalt.
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Eine Gerade hat die Steigung $-1$ und geht durch $P(2\,|\,3)$. Bestimme ihre Gleichung.
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Die Wertetabelle gehört zu einer Funktion $f$:
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 2 | 4 | 8 | 16 |
Begründe, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt, und gib den Wachstumsfaktor an.
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen $3\,\mathrm{cm}$, $4\,\mathrm{cm}$ und $5\,\mathrm{cm}$ wird mit dem Faktor $2$ vergrößert. Berechne den Umfang des vergrößerten Dreiecks.
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In einem Säulendiagramm beginnt die y-Achse bei $90$ statt bei $0$. Begründe, warum Unterschiede zwischen den Säulen dadurch größer wirken.
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. 1. Bei einem Zylinder wird der Radius verdoppelt, die Höhe bleibt gleich. Begründe, dass sich das Volumen…
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.
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Bei einem Zylinder wird der Radius verdoppelt, die Höhe bleibt gleich. Begründe, dass sich das Volumen vervierfacht.
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Prüfe rechnerisch, ob die Punkte $P(3\,|\,7)$ und $Q(-2\,|\,-3)$ auf der Geraden $y = 2x + 1$ liegen.
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Ein Becken hat die Form eines Quaders mit den Maßen $5\,\mathrm{m} \times 4\,\mathrm{m} \times 2\,\mathrm{m}$. Berechne das Volumen in Litern und die Zeit, die eine Pumpe mit $2\,000\,\ell$ pro Minute zum Füllen braucht.
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Ein Glücksrad zeigt Rot mit der Wahrscheinlichkeit $\frac12$, Blau mit $\frac13$ und Grün mit $\frac16$. Es wird zweimal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Farben.
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Gib für $f(x) = -x^2 + 4$ die Nullstellen und den Scheitelpunkt an.
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Die Strecke $AB$ ist ein Durchmesser eines Kreises mit $\overline{AB} = 10\,\mathrm{cm}$. Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis und es gilt $\overline{AC} = 6\,\mathrm{cm}$. Begründe, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist, und berechne $\overline{BC}$.
Pythagoras, Winkel und Sinus
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$. Dabei sind $a$ und $b$ die Katheten und $c$ ist die Hypotenuse. Ohne Taschenrechner helfen dir diese „Pythagoras-Zahlen“: $3\text{-}4\text{-}5$, $5\text{-}12\text{-}13$, $6\text{-}8\text{-}10$ und $8\text{-}15\text{-}17$. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$.
Sinus: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt $\sin\alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$. Ist die Hypotenuse bekannt, erhältst du die Gegenkathete als $\sin\alpha \cdot \text{Hypotenuse}$. Die zweite Kathete berechnest du dann mit Pythagoras.
Seitenhöhe: Bei einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche (Seitenlänge $a$) und Höhe $h$ bilden $h$, die halbe Seitenlänge $\frac a2$ und die Seitenhöhe $h_s$ ein rechtwinkliges Dreieck: $h_s^2 = h^2 + \left(\frac a2\right)^2$.
Steigung in Prozent: „$8\,\%$ Steigung“ heißt: $8\,\mathrm{m}$ Höhenunterschied auf $100\,\mathrm{m}$ waagerechter Strecke.
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. 1. Kreuze an, welcher Punkt auf der Geraden $y = x + 2$ liegt: $A(1\,|\,3)$ $\;\square$ $\quad B(2\,|\,5)$…
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.
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Kreuze an, welcher Punkt auf der Geraden $y = x + 2$ liegt: $A(1\,|\,3)$ $\;\square$ $\quad B(2\,|\,5)$ $\;\square$ $\quad C(0\,|\,1)$ $\;\square$
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Berechne für $f(x) = x^2 - 4$ den Funktionswert $f(3)$.
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Ein Kreis hat den Radius $5\,\mathrm{cm}$. Gib den Durchmesser und den Umfang (als Vielfaches von $\pi$) an.
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Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $6\,\mathrm{cm}$ und $8\,\mathrm{cm}$. Berechne die Länge der Hypotenuse.
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Eine Münze wird zweimal geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeit für „zweimal Zahl“ an.
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Ein Spielwürfel wird einmal geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Augenzahl an.
Zweistufige Zufallsexperimente
Bei gleichwahrscheinlichen Ergebnissen gilt $P(A) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}$. Zweistufige Versuche stellst du im Baumdiagramm dar.
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1. Pfadregel: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
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2. Pfadregel: Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.
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Gegenereignis: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. Das ist praktisch bei „mindestens einmal“.
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Ziehen mit Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeiten bleiben auf beiden Stufen gleich. Ohne Zurücklegen: Die zweite Stufe ändert sich, weil eine Kugel fehlt.
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. 1. Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x - 1$ und $y = -x + 5$. 2. Die Funktion $f(x) = x^2 + px$ hat die…
Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.
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Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x - 1$ und $y = -x + 5$.
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Die Funktion $f(x) = x^2 + px$ hat die Nullstelle $x = 4$. Bestimme $p$.
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Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche (Seitenlänge $6\,\mathrm{cm}$) hat das Volumen $96\,\mathrm{cm}^3$. Berechne ihre Höhe.
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In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse $10\,\mathrm{cm}$ gilt $\sin\alpha = 0{,}6$. Bestimme die Längen der beiden Katheten.
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In einer Urne liegen $2$ rote und $3$ blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei Kugeln gleicher Farbe.
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Eine Bakterienkultur mit $500$ Bakterien verdoppelt sich jede Stunde. Berechne die Anzahl nach vier Stunden.
Auf einen Blick
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Gerade: $y = mx + b$. Die Steigung ist $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Die Nullstelle erhältst du mit $y = 0$, den Schnittpunkt zweier Geraden durch Gleichsetzen. Bei der Punktprobe setzt du beide Koordinaten ein.
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Parabel: Nullstellen mit der p-q-Formel. Bei $y = (x - d)^2 + e$ ist der Scheitelpunkt $S(d\,|\,e)$.
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Exponentiell: $f(x) = a \cdot q^x$ mit $f(0) = a$ und $q = 1 + \frac{p}{100}$. Gleiche Quotienten bedeuten exponentiell, gleiche Differenzen linear.
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Körper: $V_{Zyl} = \pi r^2 h$, $V_{Pyr} = \frac13 G h$, $V_{Kugel} = \frac43 \pi r^3$ und $V_{Quader} = abc$. Dazu $1\,\mathrm{dm}^3 = 1\,\ell$ und $1\,\mathrm{m}^3 = 1\,000\,\ell$.
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Dreieck: $a^2 + b^2 = c^2$ und $\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$. Die Winkelsumme beträgt $180^\circ$.
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Wahrscheinlichkeit: Entlang des Pfades multiplizieren, über mehrere Pfade addieren. „Mindestens einmal“ löst du mit $1 - P(\overline{A})$.
Zurück zum Anfang: In Teil 1 bringt dir Sicherheit bei den Grundformeln die Punkte, denn die Zahlen sind klein und „glatt“. Kürze früh, nutze Pythagoras-Zahlen und mache immer eine kurze Probe.