Basiskompetenzen für die ZP10 (Teil 1 ohne Taschenrechner)
In der ZP10 beginnt Teil 1 mit 30 Minuten ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung. Ben fragt sich: „Wie soll ich das schaffen, wenn ich nichts nachschlagen darf?“ Die Antwort: Mit wenigen Techniken, die du sicher im Kopf hast. Am Ende der Seite weißt du, welche das sind.
Überschlagen und sinnvoll runden
Beim Überschlagen ersetzt du krumme Zahlen durch nahe, „glatte“ Zahlen und rechnest damit im Kopf. Das Ergebnis ist nicht genau, aber es zeigt die richtige Größenordnung. So erkennst du auch Tippfehler im Taschenrechner.
Überschlage ohne Taschenrechner und runde sinnvoll: a) $498 \cdot 21$ b) $3{,}9 \cdot 2{,}02 \cdot 10$ c) $\dfrac{1\,998}{4{,}1}$
Überschlage ohne Taschenrechner und runde sinnvoll:
- a) $498 \cdot 21$
- b) $3{,}9 \cdot 2{,}02 \cdot 10$
- c) $\dfrac{1\,998}{4{,}1}$
Prozent, Dreisatz und Einheiten
Prozentwerte rechnest du im Kopf über „Bausteine“: $10\,\% $ ist ein Zehntel, $1\,\%$ ein Hundertstel, $50\,\%$ die Hälfte, $25\,\%$ ein Viertel.
Beim Dreisatz (proportional) gehst du über die Einheit: erst auf 1 herunter, dann auf die gewünschte Menge hoch.
Einheiten musst du sicher umwandeln:
| Größe | Umrechnung |
|---|---|
| Länge | $1\,\mathrm{km} = 1\,000\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}$ |
| Volumen | $1\,\ell = 1\,000\,\mathrm{ml}$, $1\,\mathrm{dm}^3 = 1\,\ell$, $1\,\mathrm{m}^3 = 1\,000\,\ell$ |
| Zeit | $1\,\mathrm{h} = 60\,\mathrm{min}$, $15\,\mathrm{min} = 0{,}25\,\mathrm{h}$ |
Rückwärts-Prozent: Preis nach Rabatt oder Erhöhung wird immer vom neuen Grundwert aus weitergerechnet.
Durchschnittsgeschwindigkeit: Sie ist Strecke durch Zeit, $v = \dfrac{s}{t}$. Bei mehreren Teilstrecken rechnest du Gesamtstrecke durch Gesamtzeit, nicht den Mittelwert der Geschwindigkeiten.
Rechne ohne Taschenrechner: a) Wie viel sind 15 % von 240 €? b) 5 Hefte kosten 6,50 €. Was kosten 8 Hefte? c) Wandle um: $2{,}5\ \text{km} = \ ?\ \text{m}$ und…
Rechne ohne Taschenrechner:
- a) Wie viel sind 15 % von 240 €?
- b) 5 Hefte kosten 6,50 €. Was kosten 8 Hefte?
- c) Wandle um: $2{,}5\ \text{km} = \ ?\ \text{m}$ und $350\ \text{ml} = \ ?\ \text{l}$.
Ein Fahrrad kostet 480 €. Im Schlussverkauf wird es um 25 % reduziert. a) Berechne den neuen Preis ohne Taschenrechner. b) Anschließend steigt der Preis um 10 % des…
Ein Fahrrad kostet 480 €. Im Schlussverkauf wird es um 25 % reduziert.
- a) Berechne den neuen Preis ohne Taschenrechner.
- b) Anschließend steigt der Preis um 10 % des reduzierten Preises. Berechne den Endpreis.
- c) Ist der Endpreis höher oder niedriger als 480 €? Begründe.
Frau Becker fährt mit dem Auto 150 km in 1,5 Stunden. Auf dem Rückweg braucht sie wegen eines Staus 2 Stunden und 15 Minuten. a) Berechne ohne Taschenrechner jeweils die…
Frau Becker fährt mit dem Auto 150 km in 1,5 Stunden. Auf dem Rückweg braucht sie wegen eines Staus 2 Stunden und 15 Minuten.
- a) Berechne ohne Taschenrechner jeweils die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem Hinweg und auf dem Rückweg.
- b) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Strecke.
- c) Begründe, warum diese nicht das arithmetische Mittel der beiden Geschwindigkeiten ist.
Lineare Gleichungen und lineare Funktionen
Eine lineare Gleichung löst du mit Äquivalenzumformungen: Auf beiden Seiten das Gleiche tun, bis $x$ allein steht.
Eine lineare Funktion hat die Form $f(x) = mx + b$ mit Steigung $m$ und y-Achsenabschnitt $b$.
Zwei Geraden vergleichst du, indem du ihre Funktionsterme gleichsetzt. Der Schnittpunkt ist die Stelle, an der beide Funktionen denselben Wert haben. Links davon liegt die eine Gerade unten, rechts davon die andere.
Die Gerade $g$ verläuft durch $A(1|2)$ und $B(5|10)$. a) Berechne die Steigung von $g$ und gib die Funktionsgleichung an. b) Prüfe rechnerisch, ob $C(8|16)$ auf $g$…
Die Gerade $g$ verläuft durch $A(1|2)$ und $B(5|10)$.
- a) Berechne die Steigung von $g$ und gib die Funktionsgleichung an.
- b) Prüfe rechnerisch, ob $C(8|16)$ auf $g$ liegt.
- c) Bestimme die Nullstelle von $g$ und löse $g(x) = 12$.
Ein Handyvertrag A kostet 10 € Grundgebühr plus 0,05 € pro Minute, Vertrag B kostet 4 € Grundgebühr plus 0,15 € pro Minute. a) Stelle für beide Verträge eine…
Ein Handyvertrag A kostet 10 € Grundgebühr plus 0,05 € pro Minute, Vertrag B kostet 4 € Grundgebühr plus 0,15 € pro Minute.
- a) Stelle für beide Verträge eine Funktionsgleichung der Kosten in Abhängigkeit von der Minutenzahl $x$ auf.
- b) Bei wie vielen Minuten sind beide Verträge gleich teuer?
- c) Erkläre mithilfe der Graphen, für welche Nutzung welcher Vertrag günstiger ist.
Das Pyramidenvolumen
Im Teil 1 gibt es keine Formelsammlung. Das Volumen einer Pyramide musst du auswendig wissen. Der Grund: Drei gleiche Pyramiden füllen genau ein Prisma mit derselben Grundfläche und Höhe (Füllversuch mit Sand).
Die Formel zeigt dir auch Änderungen ohne Rechnung: Verdoppelst du die Höhe, verdoppelt sich $V$. Verdoppelst du die Grundkante, vervierfacht sich $G$ und damit $V$.
a) Löse die Gleichung $3x - 7 = 14$. b) Gegeben ist $f(x) = 2x - 3$. Berechne $f(4)$ und die Nullstelle von $f$. c) Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide mit…
- a) Löse die Gleichung $3x - 7 = 14$.
- b) Gegeben ist $f(x) = 2x - 3$. Berechne $f(4)$ und die Nullstelle von $f$.
- c) Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide mit Grundkante 6 cm und Höhe 5 cm.
Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge 9 m und das Volumen $162\ \text{m}^3$. a) Berechne die Höhe der Pyramide. b) Eine zweite Pyramide hat…
Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge 9 m und das Volumen $162\ \text{m}^3$.
- a) Berechne die Höhe der Pyramide.
- b) Eine zweite Pyramide hat dieselbe Grundfläche, aber die doppelte Höhe. Wie groß ist ihr Volumen?
- c) Gib das Volumen der ersten Pyramide in Litern an.
Ein Zelt hat die Form einer quadratischen Pyramide mit Grundkante 4 m und Höhe 3 m. a) Berechne das Volumen. b) Wie ändert sich das Volumen, wenn die Grundkante…
Ein Zelt hat die Form einer quadratischen Pyramide mit Grundkante 4 m und Höhe 3 m.
- a) Berechne das Volumen.
- b) Wie ändert sich das Volumen, wenn die Grundkante verdoppelt und die Höhe halbiert wird? Begründe ohne vollständige Rechnung.
- c) Der Luftinhalt soll mindestens $20\ \text{m}^3$ betragen. Wie hoch muss die Pyramide bei gleicher Grundkante mindestens sein?
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