Trigonometrische Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

Betrachte das rechtwinklige Dreieck in der Abbildung.

1. a) Schreibe die Verhältnisse $\sin\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ und $\tan\ \alpha$ des markierten Winkels als Bruch. b) Schreibe dieselben Verhältnisse für den anderen spitzen Winkel auf. Welchen Zusammenhang erkennst du zwischen den beiden?

Im rechtwinkligen Dreieck der Abbildung sind die Katheten $6$ cm und $8$ cm lang.

1. a) Berechne die Hypotenuse. b) Bestimme die drei trigonometrischen Verhältnisse des markierten Winkels $\beta$.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse $13$ cm lang und die dem Winkel $\alpha$ gegenüberliegende Kathete $5$ cm. a) Berechne die andere Kathete. b) Bestimme $\sin\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ und $\tan\ \alpha$.

Im Dreieck der Abbildung ist die Hypotenuse $10$ cm lang und der Winkel $\alpha$ misst $30^\circ$.

Berechne die Länge der Kathete, die dem Winkel $\alpha$ gegenüberliegt. (Gegeben: $\sin\ 30^\circ = 0{,}5$.)

Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind jeweils $4$ cm lang. a) Wie groß ist der Tangens jedes der spitzen Winkel? b) Wie groß sind diese Winkel? Begründe ohne Taschenrechner.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete eines Winkels von $60^\circ$ $8$ m lang. Berechne die Hypotenuse. (Gegeben: $\cos\ 60^\circ = 0{,}5$.)

Eine $5$ m lange Leiter lehnt an einer Wand und bildet mit dem Boden einen Winkel von $65^\circ$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Welche Höhe erreicht die Leiter an der Wand? b) Wie weit steht ihr Fußende von der Wand entfernt?

Ein Drachen fliegt an einer gespannten Schnur von $40$ m Länge, die mit dem Boden einen Winkel von $50^\circ$ bildet, wie die Abbildung zeigt.

Wenn die Hände der Person, die den Drachen hält, $1{,}5$ m über dem Boden sind, in welcher Höhe fliegt der Drachen?

Eine Zugangsrampe überwindet einen Höhenunterschied von $0{,}8$ m bei einer horizontalen Strecke von $6$ m, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Welchen Winkel bildet die Rampe mit dem Boden? b) Wie groß ist ihre Steigung in Prozent? c) Die Barrierefreiheitsnorm empfiehlt, dass solche Rampen eine Steigung von $10\ \%$ nicht überschreiten. Erfüllt diese Rampe die Empfehlung?

In einer Mathestunde der Klasse 10 soll Lukas die trigonometrischen Verhältnisse des Neigungswinkels $\alpha$ einer Rampe berechnen, die $1{,}5\text{ m}$ hoch ist und am Boden eine horizontale Grundlinie von $4\text{ m}$ hat. Lukas schreibt in sein Heft:

„$\sin\ \alpha = \frac{1{,}5}{4} = 0{,}375$“.

1. a) Erkläre mit eigenen Worten, welchen begrifflichen Fehler Lukas bei der Zuordnung der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks gemacht hat. Welches trigonometrische Verhältnis hat er tatsächlich statt des Sinus berechnet?
2. b) Begründe, ohne den Winkel mit dem Taschenrechner zu berechnen, warum der tatsächliche Wert von $\sin\ \alpha$ zwingend kleiner als $0{,}375$ sein muss. Nutze dazu das Größenverhältnis zwischen Hypotenuse und Ankathete.
3. c) Berechne die genaue Länge der Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras und bestimme den korrigierten Wert von $\sin\ \alpha$, auf drei Dezimalstellen gerundet.

An einer Bergstraße steht ein Schild, das vor einer Steigung von $12\ \%$ warnt, wie in der Abbildung.

1. a) Erkläre, was diese $12\ \%$ in Bezug auf Höhenunterschied und horizontale Entfernung bedeuten. b) Welchen Winkel bildet die Straße mit der Horizontalen? c) Wenn ein Radfahrer auf dieser Straße $250$ m zurücklegt, gemessen auf der Fahrbahn, welchen Höhenunterschied hat er überwunden?

Ein $3{,}2$ m hoher Pfosten wirft einen $4{,}5$ m langen Schatten auf den Boden, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Unter welchem Höhenwinkel steht die Sonne in diesem Moment? b) Wie lang ist zur gleichen Zeit der Schatten eines $18$ m hohen Gebäudes?

Beurteile, ob diese Aussagen über einen spitzen Winkel $\alpha$ wahr oder falsch sind: a) „Der Sinus von $\alpha$ kann größer als $1$ sein.“ b) „Der Tangens von $\alpha$ kann größer als $1$ sein.“ Begründe beide Antworten anhand der Definition der Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck und gib im bejahenden Fall ein Beispiel an.

Von einem spitzen Winkel $\alpha$ ist bekannt, dass $\sin\ \alpha = 0{,}6$. Berechne $\cos\ \alpha$ und $\tan\ \alpha$ mithilfe der Grundbeziehungen.

Gilt $\tan\ \alpha = 2$ und ist $\alpha$ spitz, berechne $\sin\ \alpha$ und $\cos\ \alpha$.

Ein Schüler schreibt: „Da $\sin\ \alpha = 0{,}9$ gilt, ist $\cos\ \alpha = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$.“ Erkläre, welche Beziehung er verwechselt hat, korrigiere den Fehler und berechne den richtigen Wert von $\cos\ \alpha$.

Es gilt $\tan\ \alpha = \frac{3}{2}$. Berechne den Wert von $\frac{\sin\ \alpha + \cos\ \alpha}{\sin\ \alpha - \cos\ \alpha}$, ohne den Winkel zu berechnen. (Tipp: Teile Zähler und Nenner durch $\cos\ \alpha$.)

Die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks messen $35^\circ$ und $55^\circ$. Es gilt $\sin\ 35^\circ \approx 0{,}574$. Bestimme ohne Taschenrechner, wie groß $\cos\ 55^\circ$ ist, und begründe das mithilfe der Definition der trigonometrischen Verhältnisse.

1. a) Betrachte Teil A der Abbildung, in dem ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $2$ durch eine Höhe geteilt wurde, und bestimme die exakten Werte von $\sin 30^\circ$, $\cos 30^\circ$ und $\tan 30^\circ$.

1. b) Betrachte Teil B, in dem ein Quadrat mit der Seitenlänge $1$ durch eine Diagonale geteilt wurde, und bestimme die trigonometrischen Verhältnisse von $45^\circ$ ($\sin 45^\circ$, $\cos 45^\circ$ und $\tan 45^\circ$).

1. c) Vervollständige mit dem Obigen und den Beziehungen zwischen Komplementärwinkeln die folgende Tabelle mit den Verhältnissen von $30^\circ$, $45^\circ$ und $60^\circ$:

Berechne ohne Taschenrechner mithilfe der Tabelle der besonderen Winkel: a) $\sin^2\ 30^\circ + \cos^2\ 60^\circ + \tan\ 45^\circ$. b) $\frac{\sin\ 60^\circ}{\cos\ 30^\circ} + \tan^2\ 30^\circ$.

Ein Dreieck hat zwei Seiten von $8$ cm und $12$ cm Länge, die einen Winkel von $50^\circ$ einschließen. a) Berechne die Höhe auf die Seite der Länge $12$ cm mithilfe des Sinus von $50^\circ$. b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. c) Verallgemeinere: Schreibe eine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn zwei Seiten $a$ und $b$ und der eingeschlossene Winkel $\gamma$ bekannt sind.