Lineare Gleichungssysteme

Prüfe, ob das Wertepaar $x = 3$, $y = -2$ eine Lösung des folgenden Gleichungssystems ist. Begründe deine Antwort mit Rechnung.

Auf einem Bauernhof gibt es Kühe und Hühner. Wenn man insgesamt $35$ Köpfe und $110$ Beine zählt, stelle ein lineares Gleichungssystem auf, um herauszufinden, wie viele Tiere von jeder Art es gibt.

Betrachte die folgende grafische Darstellung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen. Bestimme die Lösung des Systems anhand der Grafik und gib an, wie viele Lösungen es hat.

Löse das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:

Wende das Gleichsetzungsverfahren an, um die Lösung des folgenden Gleichungssystems zu finden:

Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren:

Löse das folgende lineare Gleichungssystem. Vereinfache dazu zunächst die Klammern und die Nenner:

Um das Gleichungssystem

zu lösen, schlagen drei Mitschüler verschiedene Wege vor:

• Lucía schlägt vor, die erste Gleichung nach $x$ aufzulösen und das Einsetzungsverfahren anzuwenden.

• Sergio schlägt vor, die zweite Gleichung direkt von der ersten zu subtrahieren und so das Additionsverfahren anzuwenden.

• Raquel möchte beide Gleichungen nach der Variablen $y$ auflösen und die beiden Geraden mit dem Lineal in ein Koordinatensystem zeichnen, um den Schnittpunkt zu finden.

1. a) Vergleiche die drei Vorschläge und begründe, welcher am direktesten und schnellsten ist und das geringste Rechenrisiko birgt. Begründe deine Wahl anhand der Koeffizienten der Variablen.
2. b) Nenne, welche technische Einschränkung das grafische Verfahren von Raquel hätte, wenn die Lösung des Systems ein Paar nicht ganzer Zahlen wäre (zum Beispiel mit Brüchen oder periodischen Dezimalzahlen).
3. c) Löse das System mit dem algebraischen Verfahren, das du in Teilaufgabe a) für am besten geeignet gehalten hast.

Die Differenz zweier Zahlen ist $14$ und das Doppelte der größeren Zahl plus die kleinere Zahl ist gleich $55$. Stelle ein Gleichungssystem auf und berechne beide Zahlen.

In einem Kino in Bonn kostet die normale Eintrittskarte $8,50$ € und die ermäßigte Karte mit dem Jugendausweis $6,00$ €. Eine Gruppe von 10 Freunden ging am Freitag ins Kino und zahlte an der Kasse insgesamt $67,50$ € für die Karten.

1. a) Lege die Variablen $x$ und $y$ eindeutig fest und schreibe das System aus zwei linearen Gleichungen auf, das diese Kaufsituation beschreibt.
2. b) Prüfe, ohne das System algebraisch zu lösen, durch Einsetzen, ob die Gruppe aus 5 Personen mit normaler Karte und 5 mit Jugendausweis bestanden haben kann.
3. c) Löse das System mit einem Verfahren deiner Wahl und bestimme genau, wie viele Freunde jede Kartenart gekauft haben.

Berechne die Koeffizienten $a$ und $b$ so, dass das Paar $(x|y) = (2|-1)$ die Lösung des folgenden Gleichungssystems ist:

Vor $4$ Jahren war das Alter eines Vaters das Vierfache des Alters seiner Tochter. In $8$ Jahren wird der Vater doppelt so alt sein wie die Tochter. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme das heutige Alter beider.

Eine Parfümerie mischt zwei Sorten Eau de Cologne: Die eine kostet $12$ €/Liter, die andere $20$ €/Liter. Man möchte eine Mischung von $50$ Litern erhalten, die einen Endpreis von $15$ €/Liter hat. Wie viele Liter jeder Sorte müssen verwendet werden?

Ein Güterzug fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von $80$ km/h von einem Bahnhof ab. Anderthalb Stunden später fährt vom selben Bahnhof in dieselbe Richtung ein Personenzug mit $120$ km/h ab. Stelle ein Gleichungssystem auf, um herauszufinden, wie lange der Personenzug braucht, um den Güterzug einzuholen, und in welcher Entfernung vom Bahnhof das geschieht.

In einem Multiple-Choice-Test mit $50$ Fragen gibt es für jede richtige Antwort $3$ Punkte und für jede falsche oder nicht beantwortete Frage werden $1$ Punkt abgezogen. Wenn ein Schüler insgesamt $98$ Punkte erreicht hat, wie viele Fragen hat er richtig beantwortet und wie viele falsch oder gar nicht?

Gegeben ist ein Rechteck mit unbekannten Maßen. Wenn man die Grundseite um $3$ cm verlängert und die Höhe um $2$ cm verkürzt, ändert sich der Flächeninhalt des Rechtecks nicht. Verkürzt man andererseits die Grundseite um $2$ cm und verlängert die Höhe um $4$ cm, nimmt der Flächeninhalt um $16$ cm$^2$ zu. Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, um die ursprünglichen Maße des Rechtecks zu berechnen.

Nach Daten der Beherbergungsstatistik des Statistischen Bundesamts verzeichnen Landhotels an Brückentagen Spitzenauslastungen. Ein Landhotel auf Rügen hat insgesamt 50 Zimmer, aufgeteilt in „Standard" (zu $70$ € pro Nacht) und „Superior mit Terrasse" (zu $100$ € pro Nacht). An einem Feiertagswochenende, an dem es zu $100\,\%$ ausgelastet war, betrug der Umsatz pro Nacht $4.100$ €.

1. a) Schätze, bevor du algebraisch rechnest, begründet ab, ob das Hotel mehr Standardzimmer oder mehr Superiorzimmer hat. Hinweis: Berechne im Kopf oder auf einem Schmierblatt, was das Hotel eingenommen hätte, wenn alle Zimmer Standardzimmer gewesen wären, und was, wenn alle Superiorzimmer gewesen wären.
2. b) Stelle das lineare Gleichungssystem auf und löse es, um die genaue Anzahl der Zimmer jeder Kategorie des Hotels zu berechnen.
3. c) Prüfe, ob das genaue Ergebnis mit deiner Schätzung aus Teilaufgabe a) übereinstimmt, und berechne, wie viel Prozent aller Zimmer die Superiorzimmer ausmachen.

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt $40$ cm. Wenn die Basis um $25\%$ größer und die gleich langen Seiten um $10\%$ kleiner würden, wäre das Dreieck gleichseitig. Stelle ein Gleichungssystem auf, um die Seitenlängen des ursprünglichen Dreiecks zu bestimmen.

Ein Boot fährt auf einem Fluss. Fährt es mit der Strömung, legt es eine Strecke von $60$ km in $3$ Stunden zurück. Fährt es gegen die Strömung, braucht es für dieselbe Strecke $5$ Stunden. Stelle ein Gleichungssystem auf, um die Geschwindigkeit des Bootes in ruhigem Wasser und die Fließgeschwindigkeit des Flusses zu berechnen.

Marcos möchte das folgende lineare Gleichungssystem klassifizieren, ohne es rechnerisch zu lösen:

In sein Heft hat er geschrieben: „Ich prüfe die Verhältnisse der Koeffizienten: $\dfrac{2}{4} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}$. Da die beiden Quotienten übereinstimmen, sind die beiden Geraden identisch und das System hat unendlich viele Lösungen."

1. a) Finde den inhaltlichen Fehler von Marcos und erkläre, warum seine Analyse unvollständig ist. Beziehe dich dabei auf den Zusammenhang zwischen den Quotienten $\dfrac{a_1}{a_2}$, $\dfrac{b_1}{b_2}$ und $\dfrac{c_1}{c_2}$.
2. b) Korrigiere die Einordnung: Wie viele Lösungen hat dieses System tatsächlich und wie liegen die beiden Geraden im Koordinatensystem zueinander?

Ordne die folgenden Systeme als eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen oder unlösbar ein, indem du das Verhältnis ihrer Koeffizienten untersuchst, ohne sie zu lösen. Begründe deine Antwort jeweils.

1. a) $ \begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ -6x + 4y = -10 \end{cases} $
2. b) $ \begin{cases} x + 4y = 7 \\ 2x + 8y = 12 \end{cases} $
3. c) $ \begin{cases} 5x - y = 3 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases} $

Diskutiere das folgende Gleichungssystem in Abhängigkeit vom Parameter $k$. Bestimme, für welche Werte von $k$ das System keine Lösung hat und für welche es genau eine Lösung hat.

Entwirf selbst ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den Variablen $x$ und $y$, das die folgenden Bedingungen Schritt für Schritt erfüllt:

1. a) Schreibe eine erste lineare Gleichung, deren Koeffizienten $a_1$ und $b_1$ ganze Zahlen ungleich null sind und sich von $1$ und von $-1$ unterscheiden, sodass sie für die spezielle Lösung $x = 3$, $y = -1$ erfüllt ist.
2. b) Konstruiere eine zweite Gleichung, die zusammen mit der ersten ein eindeutig lösbares Gleichungssystem bildet, dessen einzige Lösung das Paar $(3|-1)$ ist. Zeige, dass die Lösung eindeutig ist, indem du die Bedingung für die Quotienten $\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$ überprüfst.
3. c) Verändere nur die Koeffizienten der Variablen ($a_2$ und $b_2$) deiner zweiten Gleichung so, dass das Gleichungssystem unlösbar wird. Zeige, dass die Bedingung $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$ erfüllt ist, und erkläre, wie du das Absolutglied $c_2$ anpassen müsstest, damit das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

Löse das folgende Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Variablen mit dem Additionsverfahren (Gauß-Verfahren):

Die Summe der drei Ziffern einer Zahl ist $15$. Die Zehnerziffer ist das arithmetische Mittel der beiden anderen Ziffern. Kehrt man die Reihenfolge der Ziffern um, ist die erhaltene Zahl um $396$ größer als die ursprüngliche. Stelle ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Variablen auf und bestimme die ursprüngliche Zahl.

Zwei Arbeiter können gemeinsam ein Bauvorhaben in $12$ Tagen fertigstellen. Arbeitet der erste Arbeiter $3$ Tage und der zweite $8$ Tage, erledigen sie genau $\frac{5}{12}$ der Arbeit. Stelle ein Gleichungssystem auf (Tipp: Verwende die Hilfsvariablen $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$), um zu berechnen, wie viele Tage jeder Arbeiter allein für das gesamte Vorhaben brauchen würde.

Löse das folgende nichtlineare Gleichungssystem mit einer geeigneten Substitution (zum Beispiel $A = \frac{1}{x+1}$, $B = \frac{1}{y-2}$):

Ein Anleger teilt sein Kapital von $60\,000$ € auf drei Investmentfonds auf: A, B und C. Fonds A bringt ihm eine jährliche Rendite von $4\%$, Fonds B von $6\%$ und Fonds C von $9\%$. Er hat in Fonds C genauso viel angelegt wie in die Fonds A und B zusammen, und der Gesamtgewinn pro Jahr betrug $4\,050$ €. Stelle ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen auf und berechne, wie viel Geld er in jeden Fonds investiert hat.

Löse das folgende lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Rechne dabei zuerst sorgfältig mit den Brüchen, bevor du das Gauß-Verfahren oder ein anderes Lösungsverfahren anwendest:

In Spanien teilt der regulierte Haushaltsstromtarif (2.0TD) den täglichen Verbrauch in zwei Hauptzeiträume: Hochtarifzeiten (teurer Tarif: $0,22$ €/kWh) und Niedertarifzeiten (günstiger Tarif: $0,12$ €/kWh). Im Oktober verbrauchte eine Familie aus Toledo insgesamt $280$ kWh, und der abgerechnete Energiebetrag lag bei $45,60$ €.

1. a) Stelle das lineare Gleichungssystem auf und berechne, wie viele kWh die Familie im Oktober zu Hochtarif- und wie viele zu Niedertarifzeiten verbraucht hat.
2. b) Im November schaltete die Familie die Speicherheizung ein, und ihr Gesamtverbrauch stieg auf $300$ kWh (mehr als im Vormonat). Weil sie ihre Elektrogeräte jedoch nachts laufen ließ, sank die Rechnung für den Energiepreis auf $44,00$ €. Stelle das neue Gleichungssystem auf und bestimme den Hoch- und Niedertarifverbrauch im November.
3. c) Berechne den prozentualen Anteil des Niedertarifverbrauchs im Haushalt im Oktober und im November. Begründe anhand dieser Prozentsätze mathematisch, wie es möglich ist, dass die Familie im November trotz $20$ kWh Mehrverbrauch insgesamt weniger bezahlt hat.