Problemlösen mit Gleichungssystemen

Die Differenz zweier Zahlen beträgt $14$. Addiert man zur größeren Zahl das Doppelte der kleineren, erhält man $53$. Bestimme beide Zahlen, indem du ein Gleichungssystem aufstellst.

Die Summe der Alter von Salma und ihrem Großvater beträgt $72$ Jahre. Vor $6$ Jahren war der Großvater fünfmal so alt wie Salma. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme das heutige Alter der beiden.

Hugo versucht, folgende Aufgabe aus seinem Buch zu lösen: „Marta ist derzeit dreimal so alt wie ihr Bruder Lucas. In $4$ Jahren ist Marta nur noch doppelt so alt wie Lucas. Wie alt sind die beiden heute?“. Zur Lösung stellt Hugo folgendes Gleichungssystem auf, wobei er das heutige Alter von Marta mit $x$ und das von Lucas mit $y$ bezeichnet:

Wenn Hugo auf beiden Seiten der zweiten Gleichung $4$ subtrahiert, erhält er $x = 2y$, was im direkten Widerspruch zur ersten Gleichung ($x = 3y$) steht. Hugo behauptet daraufhin: „Die Aufgabe ist falsch formuliert und hat in der Realität keine sinnvolle Lösung.“

1. a) Finde den Denkfehler, den Hugo bei der Übersetzung der Bedingung „in $4$ Jahren“ in die Sprache der Algebra gemacht hat.
2. b) Erkläre mit eigenen Worten, warum sein Ansatz falsch ist, und schreibe die zweite Gleichung richtig auf.
3. c) Löse das korrigierte Gleichungssystem und überprüfe, dass die berechneten Alter beide Aussagen der ursprünglichen Aufgabe genau erfüllen.

Ein Händler möchte $50 \text{ kg}$ einer Kaffeemischung herstellen. Er verwendet einen Kaffee zu $6 \text{ €/kg}$ und einen weiteren zu $8 \text{ €/kg}$. Der Preis der Mischung soll genau $7,20 \text{ €/kg}$ betragen. Wie viele Kilogramm von jeder Kaffeesorte muss er verwenden?

Eine Anlegerin verteilt ein Kapital von $20\,000 \text{ €}$ auf zwei Investmentfonds. Der erste bringt eine jährliche Rendite von $4\%$, der zweite von $6\%$. Nach einem Jahr betragen die Gesamterträge beider Fonds $1\,050 \text{ €}$. Wie viel hat sie in jeden Fonds investiert?

Ein Goldschmied hat zwei Goldlegierungen. Die erste enthält $80\%$ Gold, die zweite $60\%$ Gold. Er möchte Teile von beiden einschmelzen, um $50 \text{ Gramm}$ einer neuen Legierung mit $75\%$ Gold zu erhalten. Wie viel Gramm von jeder Legierung muss er verwenden?

Auf einem Parkplatz stehen Motorräder und Autos. Insgesamt zählt man $35$ Fahrzeuge und $114$ Räder (Ersatzräder nicht mitgezählt). Berechne, wie viele Motorräder und wie viele Autos auf dem Parkplatz stehen.

In einem Schreibwarengeschäft kosten $3$ Hefte und $2$ Kugelschreiber zusammen $12$ Euro, während $4$ Hefte und $1$ Kugelschreiber $13,50$ Euro kosten. Wie teuer sind ein Heft und ein Kugelschreiber?

Eine Spardose enthält $45$ Münzen mit einem Gesamtwert von $14,40$ Euro. Wenn alle Münzen entweder $20 \text{ Cent}$ oder $50 \text{ Cent}$ wert sind, bestimme, wie viele Münzen es von jeder Sorte gibt.

Zwei Fahrzeuge fahren gleichzeitig um $09:00\text{ h}$ los, um die Strecke zwischen Madrid und Zaragoza ($315\text{ km}$ entlang der Autobahn A-2) in entgegengesetzter Richtung zurückzulegen: Ein Pkw fährt von Madrid nach Zaragoza, ein Lieferwagen von Zaragoza nach Madrid. Aufgrund von Ladung und Fahrzeugtyp liegt die Durchschnittsgeschwindigkeit des Pkw um $15\text{ km/h}$ über der des Lieferwagens. Beide Fahrzeuge begegnen sich auf der Autobahn nach genau $1\text{ Stunde und } 30\text{ Minuten}$ ($1,5\text{ Stunden}$) ununterbrochener Fahrt.

1. a) Lege die Variablen fest und gib ihre Einheiten genau an.
2. b) Stelle mithilfe der physikalischen Beziehung $d = v \cdot t$ ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen auf, das den Geschwindigkeitsunterschied und die Summe der bis zum Zeitpunkt der Begegnung zurückgelegten Strecken modelliert.
3. c) Löse das Gleichungssystem, um die Durchschnittsgeschwindigkeit jedes Fahrzeugs zu bestimmen.
4. d) Deute das Ergebnis: Begründe, ob beide Fahrer die allgemeine gesetzliche Höchstgeschwindigkeit auf Autobahnen in Spanien ($120\text{ km/h}$) eingehalten haben, und berechne, in welcher Entfernung von Madrid die Begegnung stattfand.

Ein Becken kann über zwei Hähne, A und B, gefüllt werden. Sind beide gleichzeitig geöffnet, ist das Becken in $6$ Stunden voll. Der Hahn A braucht allein $5$ Stunden weniger als Hahn B, um das ganze Becken zu füllen. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme, wie lange jeder Hahn allein zum Füllen brauchen würde.

Drei Arbeiter, Alba, Bernat und Karl, sollen ein Gebäude streichen. Arbeiten Alba und Bernat zusammen, brauchen sie $12$ Tage. Arbeiten Bernat und Karl zusammen, brauchen sie $20$ Tage. Arbeiten Alba und Karl zusammen, brauchen sie $15$ Tage. Stelle ein Gleichungssystem auf, um herauszufinden, wie lange jeder allein arbeitend brauchen würde. (Tipp: Verwende als Variablen den Anteil der Arbeit, den jeder an einem Tag schafft).

Die Quersumme einer zweistelligen Zahl beträgt $12$. Vertauscht man die Reihenfolge ihrer Ziffern, erhält man eine neue Zahl, die um $18$ größer ist als die ursprüngliche Zahl. Um welche Zahl handelt es sich?

Eine Zahl besteht aus drei Ziffern, deren Summe $18$ beträgt. Die Hunderterziffer ist gleich der Summe aus Zehner- und Einerziffer. Vertauscht man die Reihenfolge der Ziffern (Umkehrung), ist die entstehende Zahl um $396$ kleiner als die ursprüngliche Zahl. Bestimme, um welche Zahl es sich handelt.

Ein Architekt entwirft einen rechteckigen Raum, dessen Flächeninhalt $108 \text{ m}^2$ betragen soll. Außerdem muss der Umfang des Raums, um das Budget für die Fußleisten einzuhalten, genau $42 \text{ m}$ betragen. Stelle ein Gleichungssystem auf und berechne die Maße des Raums.

Ein Landwirt möchte ein rechteckiges Grundstück einzäunen. Er hat $100 \text{ m}$ Zaun für den Umfang zur Verfügung. Eine der Seiten des Grundstücks soll mindestens $15 \text{ m}$ lang sein, und der Flächeninhalt des Grundstücks soll echt größer als $600 \text{ m}^2$ sein. Stelle ein Ungleichungssystem für die Länge von Grundseite und Höhe auf und bestimme, zwischen welchen Werten die Länge der längeren Seite liegen kann.

In einem rechtwinkligen Dreieck misst die Hypotenuse $25 \text{ cm}$ und die Summe der Katheten beträgt $35 \text{ cm}$. Stelle ein nichtlineares Gleichungssystem auf, um die Länge jeder Kathete zu bestimmen.

Der Flächeninhalt einer Raute beträgt $120 \text{ cm}^2$ und die Summe ihrer Diagonalen ist $34 \text{ cm}$. Stelle ein nichtlineares Gleichungssystem auf, um die Länge der Diagonalen zu bestimmen, und berechne anschließend den Umfang der Raute.

Die Flächeninhalte dreier Seitenflächen eines Quaders, die an einer gemeinsamen Ecke zusammentreffen, betragen $24 \text{ cm}^2$, $32 \text{ cm}^2$ und $48 \text{ cm}^2$. Stelle ein Gleichungssystem mit den Kantenlängen auf und berechne das Volumen des Quaders.