Funktionen in der ZP10 (Teil 2)
In Teil 2 der ZP10 bekommst du Aufgaben wie diese: Ein Taxi, ein Ball, ein Sparbuch. Immer steht eine Funktion dahinter. Die erste Frage lautet dann: Welche Art von Funktion passt zur Situation? Wenn du das erkennst, ist der Rest Routine mit Taschenrechner und Formelsammlung. Am Ende der Seite kannst du diese Frage sicher beantworten.
Lineare Funktionen: konstanter Zuwachs
Ein Fahrradverleih in Münster verlangt $3\,€$ Grundgebühr und $1{,}50\,€$ pro Stunde. Jede Stunde kommt derselbe Betrag dazu. Das ist das Kennzeichen linearer Funktionen.
Im Sachkontext ist $b$ meist die Grundgebühr und $m$ der Preis pro Einheit. Für den Verleih gilt also $K(x) = 1{,}5x + 3$.
Aufgaben der Form „für $40\,€$ höchstens wie viele Kilometer?“ löst du durch Gleichsetzen mit dem Funktionsterm und Auflösen nach $x$.
Ein Taxiunternehmen in Bielefeld berechnet eine Grundgebühr von $4\,€$ und zusätzlich $2{,}50\,€$ für jeden gefahrenen Kilometer. a) Gib eine Funktionsgleichung an, die…
Ein Taxiunternehmen in Bielefeld berechnet eine Grundgebühr von $4\,€$ und zusätzlich $2{,}50\,€$ für jeden gefahrenen Kilometer.
- a) Gib eine Funktionsgleichung an, die die Kosten $K$ in Euro in Abhängigkeit von der Fahrstrecke $x$ in Kilometern beschreibt.
- b) Berechne die Kosten für eine Fahrt über $12\,\mathrm{km}$.
- c) Bestimme, wie viele Kilometer man für $40\,€$ höchstens fahren kann.
Zwei Handytarife stehen zur Wahl. Tarif A kostet $12\,€$ Grundgebühr im Monat plus $0{,}06\,€$ je Minute. Tarif B kostet $5\,€$ Grundgebühr im Monat plus $0{,}10\,€$ je…
Zwei Handytarife stehen zur Wahl. Tarif A kostet $12\,€$ Grundgebühr im Monat plus $0{,}06\,€$ je Minute. Tarif B kostet $5\,€$ Grundgebühr im Monat plus $0{,}10\,€$ je Minute.
- a) Gib für beide Tarife die monatlichen Kosten in Abhängigkeit von der Anzahl $x$ der Minuten als Term an.
- b) Bestimme, bei welcher Minutenzahl beide Tarife gleich teuer sind.
- c) Mia telefoniert durchschnittlich $240$ Minuten im Monat. Entscheide begründet, welcher Tarif für sie günstiger ist.
Quadratische Funktionen: Parabeln
Ein Ball fliegt nach oben und fällt wieder herunter. Seine Höhe steigt erst, erreicht einen höchsten Punkt und sinkt dann. Solche Vorgänge beschreiben quadratische Funktionen $f(x) = ax^2 + bx + c$. Ihr Graph ist eine Parabel. Bei $a < 0$ ist sie nach unten geöffnet, bei $a > 0$ nach oben.
Zwei Punkte sind in Aufgaben wichtig:
-
Nullstellen: Hier gilt $f(x) = 0$. Das ist der Aufprall des Balles oder der Rand einer Brücke.
-
Scheitelpunkt: der höchste oder tiefste Punkt der Parabel (Maximum oder Minimum).
Oft fragt eine Aufgabe nicht nach $f(x) = 0$, sondern nach einer bestimmten Höhe, also $f(x) = c$. Dann bringst du alles auf eine Seite, sodass $0$ dort steht, teilst durch $a$ (Normalform $x^2 + px + q = 0$) und nutzt die p-q-Formel. Die beiden Lösungen sind die x-Werte links und rechts vom Scheitelpunkt. Ihr Abstand ist die Breite in dieser Höhe.
Bei einer Aufgabe mit Startwert wie $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$ ist $h(0) = 2$ die Abwurfhöhe. Der Ball schlägt erst nach der positiven Nullstelle auf. Die negative Lösung der Gleichung passt nicht zur Situation und wird verworfen. Für den Scheitelpunkt brauchst du hier die Symmetrie nicht über die Nullstellen: Bei $f(x) = ax^2 + bx + c$ ist $x_S = -\frac{b}{2a}$.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. a) Berechne die Funktionswerte für $x = 0; 1; 2; 3; 4$ und zeichne den Graphen von $f$ im Intervall $[0;\,4]$. b)…
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.
- a) Berechne die Funktionswerte für $x = 0; 1; 2; 3; 4$ und zeichne den Graphen von $f$ im Intervall $[0;\,4]$.
- b) Berechne die Nullstellen von $f$.
- c) Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel.
Ein Ball wird auf dem Sportplatz in Hamm nach oben geworfen. Seine Höhe über dem Boden wird näherungsweise durch $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$ beschrieben ($t$ in Sekunden,…
Ein Ball wird auf dem Sportplatz in Hamm nach oben geworfen. Seine Höhe über dem Boden wird näherungsweise durch $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$ beschrieben ($t$ in Sekunden, $h(t)$ in Metern).
- a) Berechne die Höhe des Balles nach $0{,}5$ Sekunden.
- b) Bestimme die maximale Höhe des Balles und den Zeitpunkt, zu dem sie erreicht wird.
- c) Berechne, nach wie vielen Sekunden der Ball auf dem Boden aufschlägt.
Ein Brückenbogen über der Ruhr hat näherungsweise die Form einer Parabel mit der Gleichung $f(x) = -0{,}02x^2 + 0{,}8x$ ($x$ und $f(x)$ in Metern, die Fahrbahn liegt auf…
Ein Brückenbogen über der Ruhr hat näherungsweise die Form einer Parabel mit der Gleichung $f(x) = -0{,}02x^2 + 0{,}8x$ ($x$ und $f(x)$ in Metern, die Fahrbahn liegt auf der x-Achse).
- a) Berechne die Spannweite des Bogens.
- b) Bestimme die größte Höhe des Bogens.
- c) Ein Schiff ist $6\,\mathrm{m}$ hoch. Bestimme die größte Breite, die das Schiff haben darf, wenn es mittig unter dem Bogen hindurchfahren soll.
Exponentielle Funktionen: konstanter Faktor
Zinseszins, Medikamentenabbau, Algenwachstum: Hier wird nicht immer derselbe Betrag addiert, sondern immer mit demselben Faktor multipliziert.
Beispiele für den Faktor: $+3\,\%$ ergibt $q = 1{,}03$. Bei $-15\,\%$ ist $q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$. Bei $q > 1$ liegt Wachstum vor, bei $0 < q < 1$ Abnahme. Der Zinseszins ist ein Spezialfall: $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$.
Bei $q^3 = 3{,}375$ ziehst du die dritte Wurzel (Taschenrechner: Taste $\sqrt[x]{\ }$ oder Probieren).
Familie Becker legt $1\,500\,€$ bei der Sparkasse an. Das Geld wird mit $2\,\%$ pro Jahr verzinst, die Zinsen werden mitverzinst. a) Berechne das Guthaben nach $3$…
Familie Becker legt $1\,500\,€$ bei der Sparkasse an. Das Geld wird mit $2\,\%$ pro Jahr verzinst, die Zinsen werden mitverzinst.
- a) Berechne das Guthaben nach $3$ Jahren.
- b) Gib einen Funktionsterm $K(n)$ für das Guthaben nach $n$ Jahren an.
- c) Bestimme durch Probieren, nach wie vielen Jahren das Guthaben erstmals mehr als $1\,800\,€$ beträgt.
Nach der Einnahme eines Medikaments befinden sich $200\,\mathrm{mg}$ des Wirkstoffs im Blut. Der Wirkstoffgehalt nimmt stündlich um $15\,\%$ ab. a) Gib den…
Nach der Einnahme eines Medikaments befinden sich $200\,\mathrm{mg}$ des Wirkstoffs im Blut. Der Wirkstoffgehalt nimmt stündlich um $15\,\%$ ab.
- a) Gib den Wachstumsfaktor an und stelle einen Funktionsterm $m(t)$ für die Menge in Milligramm nach $t$ Stunden auf.
- b) Berechne die Wirkstoffmenge nach $4$ Stunden.
- c) Bestimme, nach wie vielen vollen Stunden die Menge erstmals unter $50\,\mathrm{mg}$ liegt.
In einem Teich im Sauerland breitet sich eine Algenart aus. Die bedeckte Fläche kann durch $f(t) = a \cdot q^t$ beschrieben werden ($t$ in Tagen, $f(t)$ in…
In einem Teich im Sauerland breitet sich eine Algenart aus. Die bedeckte Fläche kann durch $f(t) = a \cdot q^t$ beschrieben werden ($t$ in Tagen, $f(t)$ in $\mathrm{m}^2$). Zu Beginn sind $20\,\mathrm{m}^2$ bedeckt, nach $3$ Tagen sind es $67{,}5\,\mathrm{m}^2$.
- a) Bestimme die Werte von $a$ und $q$.
- b) Gib die Wachstumsrate in Prozent an und berechne die bedeckte Fläche nach $7$ Tagen.
- c) Der Teich hat eine Fläche von $800\,\mathrm{m}^2$. Bestimme, nach wie vielen Tagen er vollständig bedeckt wäre, wenn das Wachstum so weitergeht. Beurteile, ob das Modell langfristig realistisch ist.
Wachstumsmodelle vergleichen
Stadt Harri wächst jedes Jahr um die gleiche Zahl an Einwohnern (linear), Stadt Betti um den gleichen Prozentsatz (exponentiell). Wer liegt vorn?
| linear | exponentiell | |
|---|---|---|
| Term | $f(x) = mx + b$ | $f(x) = a \cdot q^x$ |
| pro Schritt | derselbe Summand $m$ wird addiert | derselbe Faktor $q$ wird multipliziert |
| Tabelle | gleiche Differenzen | gleiche Quotienten |
| Graph | Gerade | steigende (oder fallende) Kurve |
Zum Vergleich gehört auch quadratisches Wachstum mit $f(x) = ax^2 + bx + c$: Die Differenzen benachbarter Werte sind nicht gleich, sie wachsen selbst gleichmäßig (die zweiten Differenzen sind konstant). Beispiel $f(x) = x^2$:
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| linear $2x$ | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| quadratisch $x^2$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| exponentiell $2^x$ | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
Beim linearen Wachstum sind die Differenzen konstant ($2$), beim quadratischen wachsen sie ($1; 3; 5; 7$), beim exponentiellen sind die Quotienten konstant ($2$). Der Graph des quadratischen Wachstums ist eine Parabel, die langfristig schneller steigt als jede Gerade, aber langsamer als jede Exponentialfunktion mit $q > 1$.
So erkennst du das Modell in einer Wertetabelle: Berechne die Differenzen und die Quotienten benachbarter Werte. Sind die Differenzen gleich, ist es linear. Sind die Quotienten gleich, ist es exponentiell.
Ein exponentielles Modell mit $q > 1$ überholt langfristig jedes lineare und jedes quadratische Modell, auch wenn es mit weniger Startwert beginnt. Das siehst du im Graphen: Die Kurve wird immer steiler, die Gerade nicht.
Beim Vergleich schreibst du immer die beiden Terme auf. Dann erstellst du eine Wertetabelle und suchst die Stelle, an der sich die Reihenfolge ändert. Zum Schluss formulierst du einen Antwortsatz mit Begründung. Gleichsetzen und Auflösen klappt bei exponentiellen Termen in Klasse 10 nur durch Probieren.
Für die Bevölkerungsentwicklung zweier Städte werden zwei Modelle verwendet. Stadt Harri hat heute $50\,000$ Einwohner und wächst jedes Jahr um $1\,500$ Einwohner. Stadt…
Für die Bevölkerungsentwicklung zweier Städte werden zwei Modelle verwendet. Stadt Harri hat heute $50\,000$ Einwohner und wächst jedes Jahr um $1\,500$ Einwohner. Stadt Betti hat heute $40\,000$ Einwohner und wächst jedes Jahr um $3\,\%$.
- a) Gib für beide Städte einen Funktionsterm für die Einwohnerzahl nach $t$ Jahren an.
- b) Berechne die Einwohnerzahlen beider Städte nach $10$ Jahren.
- c) Bestimme, nach wie vielen Jahren Betti mehr Einwohner hat als Harri. Begründe, welche Stadt langfristig mehr Einwohner hat.
Sinusfunktion: periodische Vorgänge
Tageslänge, Schwingungen, Gezeiten an der Nordsee: Manche Vorgänge wiederholen sich regelmäßig. Dafür gibt es die Sinusfunktion.
Der Graph ist eine Wellenlinie, die zwischen $-a$ und $a$ schwankt. Stelle den Taschenrechner dafür auf DEG (Gradmaß) oder nutze einen Funktionenplotter.
Auf einen Blick
Zurück zur Eingangsfrage: Welche Funktionsart steckt hinter einer Aufgabe? Achte auf das Wort, das den Zuwachs beschreibt.
| Situation | Funktionsart | Term | Typische Frage → Verfahren |
|---|---|---|---|
| gleicher Betrag pro Schritt (Grundgebühr + Preis pro Einheit) | linear | $mx + b$ | Gleichsetzen und nach $x$ auflösen |
| Wurf, Brücke, Bogen: steigt, fällt | quadratisch | $ax^2 + bx + c$ | Nullstellen: Ausklammern oder p-q-Formel; Scheitelpunkt: Mitte der Nullstellen |
| gleicher Prozentsatz pro Schritt (Zinseszins, Abbau) | exponentiell | $a \cdot q^x$ | Werte einsetzen; $a$ und $q$ aus zwei Werten; Zeitpunkt durch Probieren |
-
Prozent in Faktor umrechnen: $+3\,\%$ ergibt $1{,}03$, $-15\,\%$ ergibt $0{,}85$.
-
Immer: Term aufstellen, rechnen, Probe am Text machen und einen Antwortsatz mit Einheit schreiben.
-
Lineares Wachstum addiert, exponentielles multipliziert. Langfristig gewinnt das exponentielle Wachstum, solange $q > 1$.