Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Prüfe, ob die Wertepaare $(1|2)$, $(3|-1)$ und $(0|4)$ Lösungen der linearen Gleichung $3x + 2y = 7$ sind.

Gib mit Begründung an, welche der folgenden Gleichungen lineare Gleichungen mit zwei Variablen sind:

• a) $x^2 + y = 7$

• b) $3x - \frac{y}{4} = 1$

• c) $x \cdot y = 12$

• d) $-x + 6y = 0$

Bestimme den Wert, den der Koeffizient $c$ haben muss, damit das Wertepaar $(-2|5)$ eine Lösung der Gleichung $4x - 3y = c$ ist.

Bestimme für die Gleichung $7x + 3y = 21$ den Wert von $y$ für $x = 0$ und den Wert von $x$ für $y = 0$.

Betrachte die Gerade im folgenden Koordinatensystem.

Bestimme die lineare Gleichung mit zwei Variablen, die zu dieser Geraden gehört, und gib sie in der Form $ax + by = c$ mit ganzzahligen Koeffizienten an. Berechne mithilfe der erhaltenen Gleichung den Wert von $y$ für $x = 12$.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das der Graph der Gleichung $8x + 5y = 40$ mit den Koordinatenachsen $X$ und $Y$ bildet.

Löse die lineare Gleichung mit zwei Variablen $5x - 2y = 10$ nach $y$ in Abhängigkeit von $x$ auf.

Finde drei verschiedene Lösungen der linearen Gleichung $-2x + 4y = 8$.

Bestimme für die lineare Gleichung $4x - y = 18$ die Lösung, bei der beide Variablen genau denselben Wert haben (also $x = y$).

Bestimme die Koeffizienten $a$ und $b$ der linearen Gleichung $ax + by = 12$, wenn bekannt ist, dass die Gerade durch den Punkt $P(2|-1)$ verläuft und dass beim Auflösen nach $y$ die Steigung der entstehenden Geraden $4$ beträgt.

Schreibe zwei Gleichungen auf, die zu $6x - 9y = 15$ äquivalent sind. Die eine erhältst du, indem du alle Terme mit einer ganzen Zahl multiplizierst, die andere, indem du sie dividierst.

Mateo möchte die lineare Gleichung mit zwei Variablen $2x + 4y = 12$ vereinfachen, um leichter Lösungspaare zu finden. In seinem Heft hat er Folgendes gerechnet:

„Ich dividiere durch $2$, damit die Zahlen kleiner werden: $x + 2y = 12$.

Nun wähle ich den Wert $y = 3$ und setze ein: $x + 2 \cdot 3 = 12 \implies x + 6 = 12 \implies x = 6$.

Also ist das Paar $(6|3)$ eine Lösung der ursprünglichen Gleichung."

1. a) Finde den Fehler, den Mateo beim Suchen einer äquivalenten Gleichung gemacht hat, und erkläre, warum sein Vorgehen die Waagenregel verletzt.
2. b) Prüfe durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung $2x + 4y = 12$, ob das von Mateo erhaltene Paar $(6|3)$ tatsächlich eine Lösung ist.
3. c) Schreibe die richtig vereinfachte Gleichung auf und finde ein Paar $(x|y)$, das wirklich eine Lösung ist.

Bringe die lineare Gleichung mit Bruchkoeffizienten $\frac{x - 1}{2} + \frac{2y + 3}{5} = 1$ auf die allgemeine Form $ax + by = c$, indem du die Nenner beseitigst. Finde anschließend eine Lösung, bei der $x$ eine negative ganze Zahl ist.

Finde eine lineare Gleichung der Form $ax + by = c$, die die Wertepaare $(2|3)$ und $(4|-1)$ als Lösungen hat.

Übersetze den folgenden Satz in eine lineare Gleichung mit zwei Variablen: „Der Preis für drei Kinokarten für Erwachsene plus der Preis für zwei Kinderkarten beträgt insgesamt 34 Euro."

Im Stadtbusverkehr einer spanischen Stadt kostet der Einzelfahrschein $1,50$ € und eine Fahrt mit der Mehrfahrtenkarte $0,80$ €. Eine Gruppe von Freunden hat an einem Nachmittag insgesamt genau $12$ € ausgegeben und dabei beide Zahlungsarten kombiniert.

1. a) Schreibe die lineare Gleichung mit zwei Variablen auf ($x$ = Anzahl der Einzelfahrscheine, $y$ = Anzahl der Fahrten mit der Karte), die die Gesamtausgaben beschreibt.
2. b) Schätze, bevor du genau rechnest, im Kopf ab, ob es möglich ist, dass sie mit diesem Budget $10$ Einzelfahrscheine gekauft haben, und begründe deine Antwort.
3. c) Prüfe, ob das Wertepaar mit $x = 4$ und $y = 7,5$ rechnerisch eine Lösung der Gleichung ist, und erkläre, warum es im Sachzusammenhang dieser Aufgabe keine sinnvolle Lösung sein kann.

Eine Klassenarbeit besteht aus Multiple-Choice-Fragen mit je 2 Punkten und Rechenaufgaben mit je 5 Punkten. Stelle eine lineare Gleichung auf, die die Anzahl der Aufgaben jeder Art in Beziehung setzt, damit man die Höchstpunktzahl von 30 Punkten erreicht. Finde eine Lösung, bei der die Anzahl der Multiple-Choice-Fragen genau das Fünffache der Anzahl der Rechenaufgaben ist.

Ein Fahrradverleih verlangt eine feste Gebühr für die Versicherung und zusätzlich einen Betrag für jede Stunde der Nutzung. Wenn das Ausleihen eines Fahrrads für 3 Stunden 14 Euro und für 5 Stunden 22 Euro kostet, stelle eine lineare Gleichung auf, die die Gesamtkosten ($y$) mit der Nutzungsdauer in Stunden ($x$) verbindet. Wie hoch ist die feste Gebühr?

In einer spanischen Gemeinde gibt es eine Ermäßigung bei der Müllgebühr, um die Mülltrennung zu belohnen. Nach dem kommunalen Programm bringt jedes Kilogramm recycelter Leichtverpackungen (gelber Container, $x$) eine Ersparnis von $0,30$ €, und jedes Kilogramm Papier und Pappe (blauer Container, $y$) eine Ersparnis von $0,20$ €. Eine Hausgemeinschaft hat sich zum Ziel gesetzt, in einem Monat eine Gesamtersparnis von genau $60$ € zu erreichen.

1. a) Schreibe die lineare Gleichung mit zwei Variablen auf, die den Zusammenhang zwischen den recycelten Kilogramm jeder Abfallart und der angestrebten Ersparnis beschreibt.
2. b) Berechne die beiden Achsenschnittpunkte: wenn keine Pappe recycelt wird ($y = 0$) und wenn keine Verpackungen recycelt werden ($x = 0$). Erkläre, was jeder dieser beiden Fälle im Alltag der Hausgemeinschaft bedeutet.
3. c) Ein Sprecher der Nachbarn behauptet, mit $100\text{ kg}$ Verpackungen und $150\text{ kg}$ Pappe erreiche man genau die Ermäßigung von $60$ €. Entscheide durch Rechnung, ob die Behauptung wahr oder falsch ist.

In einem Elektronikgeschäft werden USB-Sticks für 14 € und SD-Karten für 9 € verkauft. Eine Schule hat genau 195 € für diese Geräte ausgegeben. Schreibe die zugehörige lineare Gleichung auf und bestimme ALLE möglichen Kombinationen von Sticks und Karten, die sie gekauft haben kann, wenn sie von jeder Sorte mindestens eine gekauft hat.

Zeige mit einer Begründung, dass die lineare Gleichung $15x + 21y = 43$ keine Lösung haben kann, bei der $x$ und $y$ beide ganze Zahlen sind. (Hinweis: Achte auf die Teilbarkeit der Koeffizienten.)

Die folgende Abbildung zeigt drei Geraden, die zu drei linearen Gleichungen mit zwei Variablen der Form $ax + by = c$ gehören.

Ordne jeder Geraden (A, B und C) eine der folgenden Bedingungen für ihre Koeffizienten zu und begründe deine Antwort mathematisch:

• Bedingung 1: $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$

• Bedingung 2: $a > 0$, $b < 0$, $c = 0$

• Bedingung 3: $a = 0$, $b > 0$, $c > 0$

Der Zusammenhang zwischen der Temperatur in Grad Celsius ($C$) und in Grad Fahrenheit ($F$) wird durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen beschrieben. Wasser gefriert bei $0^\circ \text{C}$ (das entspricht $32^\circ \text{F}$) und siedet bei $100^\circ \text{C}$ (das entspricht $212^\circ \text{F}$). Bestimme die allgemeine Gleichung, die beide Größen verbindet. Gibt es eine Temperatur, bei der beide Skalen genau denselben Zahlenwert anzeigen? Wenn ja, berechne sie.

Betrachte die lineare Gleichung $ax + by = c$ mit ganzzahligen Koeffizienten. Der Punkt $(p\,|\,q)$ ist bekanntlich eine ganzzahlige Lösung der Gleichung (d. h. $a \cdot p + b \cdot q = c$). Zeige algebraisch, dass jeder Punkt der Form $(p + n \cdot b \,|\, q - n \cdot a)$, wobei $n$ eine beliebige ganze Zahl ist, ebenfalls eine Lösung der Gleichung ist.