Aufgaben: Modellierung im Sachkontext

Ein Schwimmbecken in Gelsenkirchen hat die Form eines Quaders mit der Länge $25\,\mathrm{m}$, der Breite $12{,}5\,\mathrm{m}$ und der Wassertiefe $1{,}8\,\mathrm{m}$.

1. a) Berechne, wie viele Liter Wasser das Becken fasst.

1. b) Eine Pumpe füllt das Becken mit $50\,\mathrm{m}^3$ pro Stunde. Berechne die Füllzeit.

1. c) Boden und Seitenwände (ohne Deckfläche) werden gefliest. Berechne die zu fliesende Fläche und die Kosten bei $28\,€$ pro $\mathrm{m}^2$.

Eine Ferienwohnung an der Ostsee kostet $85\,€$ pro Nacht, dazu kommen einmalig $60\,€$ für die Endreinigung.

1. a) Gib einen Term für die Gesamtkosten bei $n$ Nächten an.

1. b) Berechne die Kosten für einen Aufenthalt von $7$ Nächten.

1. c) Familie Schulte hat ein Budget von $800\,€$. Bestimme, wie viele Nächte sie höchstens buchen kann. Berechne außerdem den Preis für $7$ Nächte nach einem Rabatt von $15\,\%$ auf den Gesamtpreis.

Familie Yildiz legt $8\,000\,€$ für $5$ Jahre bei einer Bank zu einem Zinssatz von $2{,}5\,\%$ pro Jahr an. Die Zinsen werden mitverzinst.

1. a) Berechne das Guthaben am Ende der $5$ Jahre.

1. b) Berechne den Gesamtbetrag der Zinsen.

1. c) Ein anderes Angebot bietet $2\,\%$ Zinsen pro Jahr und einen Bonus von $300\,€$ nach $5$ Jahren. Entscheide begründet, welches Angebot günstiger ist.

Ein Heißluftballon hat näherungsweise die Form einer Kugel mit dem Durchmesser $20\,\mathrm{m}$.

1. a) Berechne das Volumen des Ballons.

1. b) Berechne den Oberflächeninhalt der Hülle.

1. c) Für die Hülle wird Stoff für $12\,€$ pro $\mathrm{m}^2$ benötigt, dazu kommen $10\,\%$ Verschnitt. Berechne die Stoffkosten.

Ein Dorf in der Eifel hat heute $3\,200$ Einwohner. Man erwartet, dass die Einwohnerzahl jedes Jahr um $1{,}5\,\%$ sinkt.

1. a) Berechne die erwartete Einwohnerzahl nach $5$ Jahren.

1. b) Bestimme, nach wie vielen Jahren die Einwohnerzahl erstmals unter $2\,500$ sinkt.

1. c) Vergleiche den Wert nach $17$ Jahren mit einem linearen Rückgang um jährlich $48$ Einwohner und beurteile, welches Modell langfristig sinnvoller ist.

Im Tierpark Olderdissen in Bielefeld zahlt Familie A für $2$ Erwachsene und $3$ Kinder insgesamt $21\,€$, Familie B für $1$ Erwachsenen und $4$ Kinder insgesamt $15{,}50\,€$.

1. a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, wenn $e$ der Eintrittspreis für Erwachsene und $k$ der für Kinder ist.

1. b) Bestimme die beiden Eintrittspreise und führe die Probe durch.

1. c) Eine Klasse mit $28$ Kindern und $2$ Lehrkräften besucht den Tierpark und erhält $10\,\%$ Gruppenrabatt. Berechne den Gesamtpreis.

Ein Hersteller in Hagen produziert zylinderförmige Konservendosen mit dem Volumen $500\,\mathrm{cm}^3$.

1. a) Berechne die Höhe einer Dose mit dem Radius $4\,\mathrm{cm}$.

1. b) Berechne den Materialbedarf (Oberflächeninhalt) dieser Dose.

1. c) Eine zweite Dose hat denselben Inhalt, aber den Radius $5\,\mathrm{cm}$. Vergleiche den Materialbedarf beider Dosen und gib an, welche Dose mit weniger Material auskommt.

Eine Seilbahn im Sauerland überwindet von der Talstation (Höhe $420\,\mathrm{m}$ über NN) bis zur Bergstation (Höhe $780\,\mathrm{m}$ über NN) eine horizontale Entfernung von $1\,200\,\mathrm{m}$. Das Seil wird als gerade Strecke angenommen.

1. a) Berechne den Höhenunterschied und den mittleren Steigungswinkel.

1. b) Berechne die Länge des Seils.

1. c) Die Gondel fährt mit $4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Berechne die Fahrzeit in Minuten.

1. d) Die Gondel hat $40\,\%$ der Strecke zurückgelegt. Bestimme ihre Höhe über NN und begründe dein Vorgehen mit Ähnlichkeit.

Eine Kantine in Essen mischt Apfelsaft aus zwei Sorten. Sorte A hat einen Fruchtanteil von $40\,\%$, Sorte B von $10\,\%$. Es sollen $20\,\ell$ Mischung mit einem Fruchtanteil von $28\,\%$ entstehen.

1. a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und bestimme, wie viele Liter jeder Sorte benötigt werden. Führe die Probe durch.

1. b) Sorte A kostet $1{,}80\,€$ pro Liter, Sorte B $0{,}90\,€$ pro Liter. Berechne die Kosten der Mischung und den Preis pro Liter.

1. c) Begründe, warum man mit diesen Sorten keine Mischung mit einem Fruchtanteil von $45\,\%$ herstellen kann.