Schrägbilder von Pyramide und Kegel
Im Erdkundebuch ist der Kölner Dom oft als Skizze zu sehen, bei der man die Tiefe des Raumes erkennt, obwohl das Bild flach auf dem Papier liegt. Genau das leistet ein Schrägbild. Wie zeichnet man eine Turmspitze, also eine Pyramide, so, dass man sie räumlich sieht und trotzdem noch Maße ablesen kann?
Das Schrägbild: Regeln
Ein Schrägbild zeichnest du so, dass die Vorderseite in wahrer Größe erscheint. Alles, was in die Tiefe geht, wird schräg und verkürzt gezeichnet.
Warum $\tfrac12$? Ohne Verkürzung wirkt der Körper in die Tiefe viel zu lang und verzerrt. Mit dem Faktor $\tfrac12$ sieht das Bild natürlich aus und lässt sich trotzdem leicht umrechnen.
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante 10 cm. Im Schrägbild (Verkürzung $\tfrac12$, $45°$) wird die Grundfläche gezeichnet. a) Gib die Seitenlängen des…
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante 10 cm. Im Schrägbild (Verkürzung $\tfrac12$, $45°$) wird die Grundfläche gezeichnet.
- a) Gib die Seitenlängen des gezeichneten Parallelogramms an.
- b) Welche Kanten bleiben in wahrer Länge, welche werden verkürzt?
Ein Schrägbild einer quadratischen Pyramide zeigt eine in die Tiefe verlaufende Kante mit der Länge 3,5 cm (Verkürzung $\tfrac12$). a) Wie lang ist die Grundkante in…
Ein Schrägbild einer quadratischen Pyramide zeigt eine in die Tiefe verlaufende Kante mit der Länge 3,5 cm (Verkürzung $\tfrac12$).
- a) Wie lang ist die Grundkante in Wirklichkeit?
- b) Das Schrägbild der Höhe misst 9 cm. Wie hoch ist die Pyramide wirklich?
- c) Berechne das Volumen der Pyramide.
Schrägbild einer Pyramide
Bei einer geraden Pyramide liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Die Höhe verläuft also parallel zur Zeichenebene und wird deshalb in wahrer Länge gezeichnet.
Aus dem Schrägbild liest du wahre Längen nur bei Strecken parallel zur Zeichenebene ab, zum Beispiel Höhe und Breite. Seitenkanten und Seitenhöhen erscheinen verzerrt. Sie berechnest du mit dem Satz des Pythagoras.
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante 6 cm und die Höhe 8 cm. Du sollst ein Schrägbild zeichnen (Verkürzungsfaktor $\tfrac12$, Winkel $45°$). a) Welche Länge…
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante 6 cm und die Höhe 8 cm. Du sollst ein Schrägbild zeichnen (Verkürzungsfaktor $\tfrac12$, Winkel $45°$).
- a) Welche Länge haben die in die Tiefe verlaufenden Grundkanten im Schrägbild?
- b) Beschreibe die Zeichenschritte in der richtigen Reihenfolge.
Eine Pyramide hat ein Rechteck mit den Seiten 8 cm (breit) und 5 cm (tief) als Grundfläche. Die Höhe beträgt 6 cm. Die Spitze liegt senkrecht über dem Schnittpunkt der…
Eine Pyramide hat ein Rechteck mit den Seiten 8 cm (breit) und 5 cm (tief) als Grundfläche. Die Höhe beträgt 6 cm. Die Spitze liegt senkrecht über dem Schnittpunkt der Diagonalen.
- a) Gib die Länge der Grundkanten im Schrägbild an (Verkürzung $\tfrac12$).
- b) Beschreibe, wie du den Fußpunkt der Höhe und die Spitze im Schrägbild konstruierst.
- c) Wie lang ist die Höhe im Schrägbild?
Eine Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat mit der Kantenlänge 6 cm. Die Spitze liegt senkrecht über einer Ecke der Grundfläche in der Höhe 6 cm. a) Beschreibe das…
Eine Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat mit der Kantenlänge 6 cm. Die Spitze liegt senkrecht über einer Ecke der Grundfläche in der Höhe 6 cm.
- a) Beschreibe das Schrägbild (Verkürzung $\tfrac12$, $45°$) mit Maßen.
- b) Berechne die Länge der längsten Seitenkante in Wirklichkeit.
- c) Begründe, warum diese Länge im Schrägbild nicht einfach durch Messen und Verdoppeln bestimmt werden kann.
Schrägbild eines Kegels
Beim Kegel ist die Grundfläche ein Kreis. Liegt der Kreis waagerecht, sieht man ihn im Schrägbild als Ellipse: In der Breite behält sie den wahren Durchmesser $2r$, in der Tiefe hat sie nur die Länge $r$ (also $2r \cdot \tfrac12$).
Ein gerader Kegel hat den Grundkreisradius 4 cm und die Höhe 7 cm. a) Beschreibe, wie die Grundfläche im Schrägbild dargestellt wird. b) Wo liegt die Spitze im…
Ein gerader Kegel hat den Grundkreisradius 4 cm und die Höhe 7 cm.
- a) Beschreibe, wie die Grundfläche im Schrägbild dargestellt wird.
- b) Wo liegt die Spitze im Schrägbild, wenn der Grundkreismittelpunkt gezeichnet ist?
Ein Kegel mit Radius 3 cm und Höhe 6 cm soll als Schrägbild gezeichnet werden. a) Welche Form hat die gezeichnete Grundfläche und welche Maße haben ihre Achsen in Breite…
Ein Kegel mit Radius 3 cm und Höhe 6 cm soll als Schrägbild gezeichnet werden.
- a) Welche Form hat die gezeichnete Grundfläche und welche Maße haben ihre Achsen in Breite und Tiefe?
- b) Beschreibe, wie die Mantellinien an die Grundfläche gelegt werden.
- c) Berechne das Volumen des Kegels (auf eine Nachkommastelle).
Zusammengesetzte Körper und Eigenschaften
Bei einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel zeichnest du zuerst beide Ellipsen (unten und auf Höhe 4 cm, oben ist die Kegelgrundfläche) und gehst dann vom Mittelpunkt der oberen Ellipse um die Kegelhöhe nach oben. Die Mantellinie des Kegels berechnest du aus dem rechtwinkligen Dreieck mit $r$ und $h$: $s = \sqrt{r^2 + h^2}$. Längen, die schräg im Bild liegen, kannst du nicht durch Messen und Verdoppeln bestimmen: Nur Tiefenkanten werden genau halbiert, schräge Kanten setzen sich aus Anteilen in Breite, Tiefe und Höhe zusammen.
Ein Körper besteht aus einem Zylinder (Radius 3 cm, Höhe 4 cm) mit aufgesetztem Kegel (gleicher Radius, Höhe 5 cm). a) Beschreibe die Konstruktion des Schrägbildes. b)…
Ein Körper besteht aus einem Zylinder (Radius 3 cm, Höhe 4 cm) mit aufgesetztem Kegel (gleicher Radius, Höhe 5 cm).
- a) Beschreibe die Konstruktion des Schrägbildes.
- b) Berechne das Gesamtvolumen.
- c) Berechne die Länge einer Mantellinie des Kegels.
Maria behauptet: „Im Schrägbild sind alle rechten Winkel der Grundfläche wieder rechte Winkel.“ a) Widerlege die Behauptung am Beispiel einer quadratischen Pyramide. b)…
Maria behauptet: „Im Schrägbild sind alle rechten Winkel der Grundfläche wieder rechte Winkel.“
- a) Widerlege die Behauptung am Beispiel einer quadratischen Pyramide.
- b) Nenne zwei Größen, die im Schrägbild unverändert bleiben, und eine, die sich ändert.
- c) Warum wird der Verkürzungsfaktor $\tfrac12$ verwendet?
Zurück zum Anfang: Auch die Turmspitze des Kölner Doms zeichnest du als Pyramide, indem du die Grundfläche zum Parallelogramm machst und die Spitze senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt setzt.