Polyeder

Betrachte den folgenden Würfel und benenne seine grundlegenden Elemente. Gib an, wie viele Flächen, Ecken und Kanten er insgesamt hat. Mache das in deinem Heft.

Überprüfe, ob der Eulersche Polyedersatz bei einem Prisma mit dreieckiger Grundfläche gilt. Zähle dazu seine Elemente und wende die Formel an:

$C + V = A + 2$

Dabei ist $C$ die Anzahl der Flächen, $V$ die der Ecken und $A$ die der Kanten.

Gegeben ist ein konvexes Polyeder mit 12 Flächen und 20 Ecken (ein Dodekaeder). Berechne mit dem Eulerschen Polyedersatz die Anzahl seiner Kanten.

Ein Architekt entwirft ein Bauwerk für ein Museum für moderne Kunst. Das zentrale Stück ist ein konvexes Polyeder mit $12$ Flächen und $30$ Kanten. Wegen eines Fehlers in den Plänen ist die Anzahl der Ecken nicht angegeben. Berechne mit dem Eulerschen Polyedersatz, wie viele Ecken die Skulptur hat, und erkläre anhand ihrer Elemente, ob es sich um ein regelmäßiges Dodekaeder handeln kann.

Es wurde ein Maschinenteil entworfen, das aus einem Würfel mit der Kantenlänge $8 \text{ cm}$ besteht, von dem durch einen ebenen Schnitt, der durch die Mittelpunkte der drei in einer Ecke $V$ zusammenlaufenden Kanten geht, eine kleine dreiseitige Pyramide entfernt wurde (Abschneiden der Ecke). In der Abbildung markieren die roten gestrichelten Linien die entfernte Pyramide und die grauen gestrichelten Linien verdeckte Kanten.

1. a) Wie viele Flächen, Ecken und Kanten hat das entstandene Polyeder?

1. b) Gilt der Eulersche Polyedersatz nach dem Schnitt weiterhin?

Ordne den folgenden Körper ein: Ist er ein Prisma oder eine Pyramide? Begründe deine Antwort anhand seiner Seitenflächen und Grundflächen.

Betrachte die Zeichnung dieser quadratischen Pyramide. Benenne die mit dem Buchstaben $h$ markierte Strecke (die von der Spitze zum Mittelpunkt der Grundfläche verläuft) und die mit dem Buchstaben $a$ markierte Strecke (Höhe einer Seitenfläche).

Ein Parfümhersteller hat einen Flakon in Form einer regelmäßigen quadratischen Pyramide entworfen. Die Grundkante misst $6 \text{ cm}$ und die Seitenkante (die die Spitze mit einer Ecke der Grundfläche verbindet) misst $10 \text{ cm}$. Berechne die Höhe der Pyramide, um zu prüfen, ob sie in ein Regal mit $9 \text{ cm}$ Höhe passt.

In der Technik-AG baut eine Schülergruppe eine Box in Form eines regelmäßigen sechseckigen Prismas, um Filamente für einen 3D-Drucker aufzubewahren. Die Grundkante misst $10 \text{ cm}$ und die Höhe des Prismas beträgt $25 \text{ cm}$. Berechne den gesamten Pappebedarf für die Box (einschließlich Deckel).

Hinweis: Berechne zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Höhe eines Teildreiecks (Apothem) der Grundfläche.

Berechne das Volumen eines Prismas, dessen Grundfläche ein gleichschenkliges Trapez ist. Die parallelen Seiten des Trapezes messen $12 \text{ cm}$ und $8 \text{ cm}$, seine Schenkel messen $5 \text{ cm}$. Die Höhe des Prismas beträgt $20 \text{ cm}$.

Hinweis: Du musst zuerst die Höhe des Trapezes in der Grundfläche bestimmen, um seinen Flächeninhalt berechnen zu können.

Ein Wassertank hat die Form eines geraden Prismas, dessen Grundfläche ein gleichschenkliges Trapez ist. Die parallelen Seiten des Trapezes sind $4$ m und $10$ m lang, die gleich langen Schenkel messen $5$ m. Die Höhe des Tanks (die Länge des Prismas) beträgt $15$ m:

1. a) Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche des Tanks (du musst zuerst die Höhe des Trapezes bestimmen).
2. b) Berechne den Oberflächeninhalt des Tanks.
3. c) Der Tank wird bis zu $80\%$ seines Fassungsvermögens gefüllt. Wie viele Liter Wasser enthält er?

Es soll ein Zirkuszelt in Form einer regelmäßigen achteckigen Pyramide gebaut werden. Die Grundkante misst $6$ m, die Höhe des Zeltes in der Mitte beträgt $10$ m. Der Inkreisradius (Apothem) eines regelmäßigen Achtecks mit der Seitenlänge $L$ beträgt ungefähr $1,21 \cdot L$:

1. a) Berechne die Höhe einer Seitenfläche der Pyramide.
2. b) Berechne die Menge an Plane, die benötigt wird, um die Seitenwände des Zeltes zu bedecken.
3. c) Berechne das Luftvolumen im Zelt.

Wie heißt der regelmäßige Körper, der 4 Flächen hat, die gleichseitige Dreiecke sind? Zeichne eine einfache Skizze seiner Form und gib an, wie viele Ecken er hat.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ordne jedem der 5 regelmäßigen Polyeder (platonische Körper) das Vieleck zu, das seine Flächen bildet:

• Tetraeder

• Würfel (Hexaeder)

• Oktaeder

• Dodekaeder

• Ikosaeder

Die zur Verfügung stehenden Vielecke sind: gleichseitiges Dreieck, Quadrat und regelmäßiges Fünfeck.

Ein Würfelsammler besitzt einen ganz besonderen Würfel in Form eines regelmäßigen Oktaeders (8 dreieckige Flächen), bei dem jede Kante $4 \text{ cm}$ misst. Er beschließt, einen neuen Würfel herzustellen, indem er die Mittelpunkte der Flächen des ursprünglichen Oktaeders verbindet:

1. a) Wie heißt das entstehende Polyeder (sein duales Polyeder)?
2. b) Wie viele Flächen und wie viele Ecken hat dieses neue Polyeder? Überprüfe, ob es die Eulersche Formel erfüllt.

Ein geheimnisvolles konvexes Polyeder soll identifiziert werden, von dem nur zwei Angaben bekannt sind: Es hat genau $30$ Kanten ($A = 30$) und die Anzahl seiner Ecken ist um $8$ größer als die Anzahl seiner Flächen ($V = C + 8$).

1. a) Stelle mithilfe des Eulerschen Polyedersatzes ($C + V = A + 2$) eine Gleichung auf und berechne genau, wie viele Flächen und wie viele Ecken das Polyeder hat.
2. b) Alle Flächen sind untereinander gleiche regelmäßige Vielecke mit je $n$ Seiten. Jede Kante gehört zu genau zwei Flächen (also $n \cdot C = 2 \cdot A$). Leite algebraisch her, welches regelmäßige Vieleck die Flächen dieses Polyeders bildet.
3. c) Bestimme anhand der bisherigen Ergebnisse, um welchen der fünf platonischen Körper es sich handelt, und berechne mithilfe der Beziehung $k \cdot V = 2 \cdot A$, wie viele Kanten in jeder Ecke zusammenlaufen, wobei $k$ die Anzahl der Kanten pro Ecke ist.

Ein Hersteller von Geschenkboxen möchte eine Box in Form eines Quaders entwerfen. Die Maße der Grundfläche sind $10\text{ cm}$ und $15\text{ cm}$, die Höhe beträgt $20\text{ cm}$. Gib an, wie viele ihrer Flächen untereinander gleich sind.

Du möchtest einen starren Regenschirm, der genau $55\text{ cm}$ lang ist, in einem quaderförmigen Handgepäckkoffer transportieren, dessen Innenmaße $40\text{ cm}$ Länge, $30\text{ cm}$ Breite und $20\text{ cm}$ Höhe betragen.

1. a) Schätze, bevor du den genauen Wert berechnest, begründet ab, ob der Regenschirm entlang der Raumdiagonale des Koffers hineinpasst. Berechne dazu im Kopf die Diagonale der Grundfläche ($40\text{ cm} \times 30\text{ cm}$) und grenze ein, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden vollen Zehnern die gesamte Raumdiagonale liegen muss, wenn du weißt, dass $50^2 = 2500$ und $60^2 = 3600$.
2. b) Berechne die genaue Länge der Raumdiagonale des Quaders (auf zwei Dezimalstellen gerundet) und überprüfe, ob deine Schätzung zutraf und ob der Regenschirm schließlich in den Koffer passt.

Gegeben ist ein Pappkarton in Form eines Quaders mit den Maßen $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Darin soll eine Leuchtstoffröhre aufbewahrt werden, die $128 \text{ cm}$ lang ist. Ist es möglich, sie geradlinig entlang zweier gegenüberliegender Ecken des Kartons unterzubringen? Begründe deine Antwort, indem du die Raumdiagonale des Polyeders berechnest.

Um die Länge des gespannten Kabels zu berechnen, das zwei am weitesten entfernte gegenüberliegende Ecken einer quaderförmigen Fabrikhalle mit $12\text{ m}$ Länge, $9\text{ m}$ Breite und $8\text{ m}$ Höhe verbindet, schlagen zwei Techniker unterschiedliche Wege vor:

• Methode A: Zweimal nacheinander den Satz des Pythagoras in zwei Dimensionen anwenden (zuerst in der Bodenebene, um die Diagonale der Grundfläche zu bestimmen, und mit diesem Ergebnis im senkrechten rechtwinkligen Dreieck, das die Höhe enthält).

• Methode B: Direkt die Formel für die Raumdiagonale des Quaders $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ anwenden.

Berechne die Länge des Kabels mit beiden Methoden und zeige den Rechenweg. Vergleiche anschließend beide Verfahren: Welches lässt den geometrischen Ursprung der Formel besser verstehen und welches ist in der Praxis effizienter? Begründe außerdem, ob sich Methode B auf jedes gerade Prisma oder nur auf Quader anwenden lässt.

Ein Kunsthandwerksladen in Toledo muss per Post eine dekorative Nachbildung eines Schwertes verschicken, das $42\text{ cm}$ lang ist und weder gebogen noch zerlegt werden kann. Für den Versand wählen sie einen handelsüblichen quaderförmigen Karton mit den Innenmaßen $32\text{ cm}$ Länge, $24\text{ cm}$ Breite und $15\text{ cm}$ Höhe.

1. a) Modelliere den Karton als geometrischen Quader und berechne die theoretisch größtmögliche Länge, die ein dünner geradliniger Gegenstand haben darf, um unverformt hineinzupassen.
2. b) Bestimme, ob das Schwert von $42\text{ cm}$ in den Karton passt, und berechne, wie viele Zentimeter gegenüber der Raumdiagonale übrig bleiben oder fehlen.
3. c) Wenn das Schwert $45\text{ cm}$ lang wäre, um wie viele Zentimeter müsste man mindestens nur die Höhe des Kartons vergrößern (bei gleichbleibenden $32\text{ cm}$ Länge und $24\text{ cm}$ Breite), damit es gerade noch hineinpasst?

Ein Logistikunternehmen verwendet quaderförmige Kisten für den Transport von Sportgeräten. Ein Kunde möchte einen Trainingsspeer versenden, der genau $2,25$ Meter lang ist. Das Lager hat Kisten mit den Maßen $200$ cm Länge, $80$ cm Breite und $60$ cm Höhe. Bestimme mit Begründung durch Berechnung der Raumdiagonale des Quaders, ob der Speer ungebogen in der Kiste transportiert werden kann (die Dicke des Speers sei vernachlässigbar).

Ein Pokal hat die Form eines regelmäßigen quadratischen Pyramidenstumpfs. Die Kanten der unteren Grundfläche messen $10 \text{ cm}$, die der oberen Grundfläche $4 \text{ cm}$ und die Höhe des Stumpfs beträgt $12 \text{ cm}$. Berechne das Metallvolumen, das zum Gießen dieses Pokals nötig ist.

Tipp: Du kannst die Volumenformel für den Stumpf verwenden oder den Stumpf als Differenz zweier Pyramiden auffassen.

Ein Designer für Pokale eines Videospielturniers hat beschlossen, aus einem Glaswürfel mit der Kantenlänge $12$ cm ein Stück zu fertigen. Dabei wird der Würfel „abgeschnitten“: Jede seiner $8$ Ecken wird durch Ebenen abgetrennt, die durch die Mittelpunkte der drei Kanten gehen, die in dieser Ecke zusammenlaufen.

1. a) Berechne die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten des entstandenen Polyeders.
2. b) Überprüfe, ob das neue Polyeder weiterhin den Eulerschen Polyedersatz erfüllt.
3. c) Welche Art von Vielecken bilden die Flächen des neuen Pokals?

Eine regelmäßige quadratische Pyramide hat eine Höhe von $24$ cm und einen Grundflächeninhalt von $100$ $cm^2$. Sie wird mit einer Ebene parallel zur Grundfläche in einer Höhe von $12$ cm von der Spitze aus geschnitten (also durch den Mittelpunkt der Höhe).

1. a) Berechne die Kantenlänge der Grundfläche des oberen Pyramidenstumpfs.
2. b) Berechne das Volumen des unteren Pyramidenstumpfs, der nach dem Entfernen des oberen Teils übrig bleibt.

Gegeben sind zwei gerade Prismen mit regelmäßiger sechseckiger Grundfläche, die zueinander ähnlich sind. Das erste hat eine Höhe von $10$ cm und einen Oberflächeninhalt von $350$ $cm^2$. Das zweite Prisma hat genau das $8$-Fache des Volumens des ersten:

1. a) Wie groß ist der Streckfaktor $k$ zwischen beiden Körpern?
2. b) Berechne die Höhe und den Oberflächeninhalt des zweiten Prismas mithilfe der Ähnlichkeitsbeziehungen für Flächeninhalte und Volumina.

Ein Granitblock hat die Form eines Quaders mit den Maßen $40 \times 40 \times 100$ cm. Ein Bildhauer möchte in sein Inneres eine Aussparung in Form einer quadratischen Pyramide meißeln, deren Grundfläche mit einer der Flächen von $40 \times 40$ cm übereinstimmt und deren Spitze genau im Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche liegt.

1. a) Berechne das Volumen des Granits, der nach dem Herausnehmen der Pyramide übrig bleibt.
2. b) Berechne den Oberflächeninhalt des entstandenen Körpers (einschließlich der Innenwände der pyramidenförmigen Aussparung).

Ein Maschinenteil entsteht, indem ein Würfel mit der Kantenlänge $a = 6$ cm und eine regelmäßige Pyramide, deren Grundfläche mit einer Fläche des Würfels übereinstimmt, zusammengefügt werden. Das Gesamtvolumen des Teils beträgt $288$ $cm^3$.

1. a) Berechne die Höhe der Pyramide.
2. b) Berechne den größten Abstand zwischen der Spitze der Pyramide und einer der Ecken der unteren Grundfläche des Würfels.
3. c) Wie viele Symmetrieebenen hat dieses zusammengesetzte Teil?

Das Stadtplanungsamt einer Gemeinde entwirft ein Festzelt in Form einer geraden Pyramide mit regelmäßiger achteckiger Grundfläche. Jede Seite des Achtecks misst $3\text{ m}$ und der Inkreisradius der Grundfläche misst $3{,}62\text{ m}$. Laut technischer Vorgaben gilt:

1. Die Höhe ($h$) der Spitze muss zwingend zwischen $3{,}5\text{ m}$ und $5{,}5\text{ m}$ liegen.

2. Damit das Regenwasser abläuft, muss die Höhe der Seitenfläche der Pyramide ($ap$) mindestens $5\text{ m}$ betragen.

1. a) Die Planer legen zunächst eine Höhe von $h = 4\text{ m}$ fest. Modelliere den zugehörigen Schnitt durch ein rechtwinkliges Dreieck, berechne die Höhe der Seitenfläche ($ap$) und begründe, ob das Kriterium für den Regenablauf erfüllt ist.
2. b) Der Entwurf wird so geändert, dass die Höhe der Seitenfläche genau $ap = 5{,}2\text{ m}$ beträgt. Berechne die neue Höhe $h$ des Zeltes und überprüfe, ob sie im von der Gemeinde vorgegebenen Bereich liegt.
3. c) Bestimme die Gesamtanzahl der Flächen, Ecken und Kanten dieses Zeltes und zeige formal, dass es die Eulersche Charakteristik für konvexe Polyeder erfüllt.